双曲线基础知识点以及训练题.doc

双曲线知识点一双曲线的定义及双曲线的标准方程：1 双曲线定义：(1) 第一定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长2a（|F1F2|）的点的轨迹（为常数）这两个定点叫双曲线的焦点 注意：（1）距离之差的绝对值.（2）2a|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支； 当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a|F1F2|时，动点轨迹不存在.(2).第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线2.双曲线的标准方程：和（a0，b0）. ，|=2c.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.二双曲线的内外部： (1)点在双曲线的内部. (2)点在双曲线的外部.三双曲线的简单几何性质=1（a0，b0） 范围：|x|a，yR;对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称;顶点：轴端点A1（a，0），A2（a，0）; 渐近线： 若双曲线方程为渐近线方程 若渐近线方程为双曲线可设为 若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，焦点在y轴上） 与双曲线共渐近线的双曲线系方程是 与双曲线共焦点的双曲线系方程是四双曲线 与 的区别和联系标准方程性质焦点， 焦距范围顶点对称性关于x轴、y轴和原点对称五.弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，若分别为A、B的纵坐标，则。通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长。若弦AB所在直线方程设为，则。特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解，例：直线与双曲线相交于两点，则=_六、焦半径公式：双曲线（a0，b0）上有一动点当在左支上时,当在右支上时,注：焦半径公式是关于的一次函数，具有单调性，当在左支端点时，当在左支端点时，七、等轴双曲线：（a0，b0）当时称双曲线为等轴双曲线；则：1. ； 2.离心率； 3.两渐近线互相垂直，分别为y=； 4.等轴双曲线的方程，； 5. 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。 八、共轭双曲线： 1.定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线 2.方程; 3.性质：(1)共轭双曲线有共同的渐近线；(2) 共轭双曲线的四个焦点共圆(3)它们的离心率的倒数的平方和等于1。 双曲线知识点扩充1、 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内角.2、 PT平分PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3、 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4、 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）5、 若在双曲线（a0,b0）上，则过的双曲线的切线方程是.6、 若在双曲线（a0,b0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.7、 双曲线（a0,bo）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.8、 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MFNF.9、 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF.10、 AB是双曲线（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。11、 若在双曲线（a0,b0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.12、 （a0;b0）的焦点为与，且p为曲线上任意一点。则的面积，焦点三角形面积公式：考点1 双曲线的定义及标准方程题型1：运用双曲线的定义1.设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则PF1F2的面积为（ ）AB12CD242.如图2所示，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（ ）A9 B16 C18 D27 题型2 求双曲线的标准方程3.已知双曲线C与双曲线=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程4.已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； 5.以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为_.6.已知点，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为A BC（x 0） D考点2 双曲线的几何性质 题型1 与渐近线有关的问题1.焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）A B C D2. 以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是 （A） （B） （C） （D）综合练习1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为.（）求双曲线C的方程（）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且（其中为原点），求k的取值范围2已知直线与双曲线交于、点。（1）求的取值范围；（2）若以为直径的圆过坐标原点，求实数的值；（3）是否存在这样的实数，使、两点关于直线对称？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由。3(1)椭圆C:(ab0)上的点A(1,)到两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程; (2)设K是(1)中椭圆上的动点, F1是左焦点, 求线段F1K的中点的轨迹方程;(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点, 当直线PM、PN的斜率都存在并记为kPM、kPN时，那么是与点P位置无关的定值。试对双曲线 写出具有类似特性的性质，并加以证明。4.已知两定点满足条件的点P