同济高等数学第六版上册第二章ppt.pdf

第二章 微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学 导数导数描述函数变化快慢 微分微分描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数) 导数与微分 导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出. 英国数学家 Newton 一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 五、单侧导数 一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 五、单侧导数 第一节 导数的概念 第一节 导数的概念 第二章 s O 一、 引例一、 引例 1. 变速直线运动的速度变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 )(tfs 则到 的平均速度为 0 tt v )()( 0 tftf 0 tt 而在时刻的瞬时速度为 0 t lim 0 tt v )()( 0 tftf 0 tt 2 2 1 tgs 自由落体运动 0 t )( 0 tf)(tf t 2. 曲线的切线斜率曲线的切线斜率 曲线)(:xfyC N T 0 x M 在 M 点处的切线 x 割线 M N 的极限位置 M T (当时) 割线 M N 的斜率tan )()( 0 xfxf 0 xx 切线 MT 的斜率 tank tanlim lim 0 xx k )()( 0 xfxf 0 xx x y )(xfy C O 两个问题的共性共性: 瞬时速度 lim 0 tt v )()( 0 tftf 0 tt 切线斜率 lim 0 xx k )()( 0 xfxf 0 xx 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变化率问题 N T 0 x M x x y )(xfy C O s O 0 t )( 0 tf)(tf t 二、导数的定义二、导数的定义 定义定义1 . 设函数)(xfy 在点 0 x 0 lim xx 0 0) ()( xx xfxf x y x 0 lim )()( 0 xfxfy 0 xxx 存在,)(xf并称此极限为 )(xfy 记作: ; 0 xx y ; )( 0 xf; d d 0 xxx y 0 d )(d xxx xf 即 0 xx y )( 0 x f x y x 0 lim x xfxxf x )()( lim 00 0h xfhxf h )()( lim 00 0 则称函数 若 的某邻域内有定义 , 在点 0 x处可导可导, 在点 0 x的导数导数. 运动质点的位置函数)(tfs 在时刻的瞬时速度 0 t lim 0 tt v )()( 0 tftf 0 tt 曲线)(:xfyC在M点处的切线斜率 lim 0 xx k )()( 0 xfxf 0 xx )( 0 t f )( 0 x f s O 0 t )( 0 tf)(tf t N T 0 x M x x y )(xfy C O 0 lim xx 0 0) ()( xx xfxf x y x 0 lim )()( 0 xfxfy 0 xxx 不存在, 就说函数在点不可导. 0 x 若 0 lim, x y x 也称 )(xf 在 0 x 若函数在开区间I内每点都可导, 此时导数值构成的新函数称为导函数. 记作:; y ; )(x f ; d d x y . d )(d x xf 注意注意:)( 0 x f 0 )( xx xf x xf d )(d 0 就称函数在I 内可导. 的导数为无穷大 . 若极限 例例1. 求函数Cxf)(C为常数) 的导数. 解解:y x CC x 0 lim0 即 0)(C 例例2. 求函数)()( Nnxxf n .处的导数在ax 解解: ax afxf )()( ax lim)(a f ax ax nn ax lim (lim ax 1n x 2 n xa 32 n xa) 1 n a 1 n an x xfxxf )()( 0 lim x 说明：说明： 对一般幂函数 xy ( 为常数) 1 )( xx 例如，例如，)(x)( 2 1 x 2 1 2 1 x x2 1 x 1 )( 1 x 11 x 2 1 x ) 1 ( xx )( 4 3 x 4 7 4 3 x （以后将证明） h xhx h sin)sin( lim 0 例例2. 求函数 xxfsin)( 的导数. 解解:,xh令则 )(x f h xfhxf)()( 0 lim h 0 lim h ) 2 cos(2 h x 2 sin h ) 2 cos(lim 0 h x h 2 2 sin h h xcos 即 xxcos)(sin 类似可证得xxsin)(cos h )1(ln x h 例例3. 求函数xxfln)(的导数. 解解:)(xf h xfhxf)()( 0 lim hh xhx h ln)ln( lim 0 hh 1 lim 0 )1(ln x h 即 x x 1 )(ln 0 lim h h 1 x 1x x 1 0 lim h )1(ln x h h x eln x 1 x 1 则令, 0 hxt 原式 h tfhtf h2 )()2( lim 0 )(lim 0 tf h )( 0 xf 是否可按下述方法作: 例例4. 证明函数xxf)(在x= 0 不可导. 证证: h fhf)0()0( h h 0h,1 0h,1 h fhf h )0()0( lim 0 不存在 , .0不可导在即xx 例例6. 设 )( 0 xf 存在, 求极限. 2 )()( lim 00 0h hxfhxf h 解解: 原式 0 lim hh hxf 2 )( 0 )( 0 xf h hxf 2 )( 0 )( 0 xf )( 2 1 0 x f )( 2 1 0 x f )( 0 x f )( 2 )( 0 h hxf )( 0 xf 三、 导数的几何意义三、 导数的几何意义 曲线)(xfy 在点),( 00 yx的切线斜率为 )(tan 0 x f 若,0)( 0 x f曲线过上升; 若,0)( 0 x f曲线过下降; x y O 0 x ),( 00 yx 若,0)( 0 x f切线与x 轴平行,称为驻点驻点; ),( 00 yx ),( 00 yx 0 x 若,)( 0 x f切线与x 轴垂直 . 曲线在点处的 ),( 00 yx 切线方程切线方程:)( 000 xxxfyy 法线方程法线方程: )( )( 1 0 0 0 xx xf yy )0)( 0 x f ,)( 0 时 x f x y O )(xfy C T 0 x M x y 0 x O x y O1 1 1 1 例例5. 问曲线 3 xy 哪一点有铅直切线 ? 哪一点处 的切线与直线1 3 1 xy平行 ? 写出其切线方程. 解解:)( 3 xy 3 2 3 1 x, 1 3 1 32 x , 0 x y 0x 令 , 3 11 3 1 32 x 得,1x对应,1y 则在点(1,1) , (1,1) 处与直线1 3 1 xy 平行的切线方程分别为 ),1(1 3 1 xy) 1(1 3 1 xy 即023yx 故在原点 (0 , 0) 有铅直切线 处可导在点xxf)( 四、 函数的可导性与连续性的关系四、 函数的可导性与连续性的关系 定理定理1. 处连续在点xxf)( 证证: 设)(xfy在点x处可导,)(lim 0 xf x y x 存在 , 因此必有 ,)( xf x y 其中0lim 0 x 故xxxfy)( 0x 0 所以函数 )(xfy 在点x连续 . 注意注意: 函数在点x 连续，但在该点未 必可导 连续，但在该点未 必可导. 反例反例:xy xy 在x= 0 处连续 , 但不可导. 即 x y O 在点 0 x的某个右右邻域内 五、 单侧导数五、 单侧导数 )(xfy 若极限 x xfxxf x y xx )()( limlim 00 00 则称此极限值为)(xf在处的右导数右导数, 0 x记作 )( 0 xf 即 )( 0 xf x xfxxf x )()( lim 00 0 (左) (左左) )0( x)0( x )( 0 xf 0 x 例如例如,xxf)(在x= 0 处有 ,1)0( f1)0( f 定义定义2 . 设函数 有定义, 存在, x y O xy 定理定理2. 函数在点 0 x)(xfy ,)()( 00 存在与xfxf 且 )( 0 xf. )( 0 xf )( 0 xf 存在 )( 0 xf)( 0 xf 简写为 在点处右右导数存在 0 x定理定理3. 函数)(xf )(xf在点 0 x必 右右连续. (左左) (左左) 若函数)(xf)(af )(bf与 都存在 , 则称)(xf 显然: )(xf在闭区间 a, b 上可导,)(baCxf 在开区间内可导, ),(ba 在闭区间上可导.,ba 可导的充分必要条件 是 且 内容小结内容小结 1. 导数的实质: 3. 导数的几何意义: 4. 可导必连续, 但连续不一定可导; 5. 已学求导公式 : 6. 判断可导性 不连续, 一定不可导. 直接用导数定义; 看左右导数是否存在且相等. ) (C ) ( x )(sinx )(cosx axf)( 0 2. axfxf )()( 00 ) (lnx ;0 ; 1 x ;cosx;sinx x 1 增量比的极限; 切线的斜率; 目录上页下页返回结束 第二节 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则 函数的求导法则 第二章 目录上页下页返回结束 解决求导问题的思路解决求导问题的思路: x xfxxf xf x )()( lim)( 0 ( 构造性定义) 求导法则求导法则 其他基本初等 函数求导公式 其他基本初等 函数求导公式 0 xcos x 1 ) (C ) sin(x ) ln(x 证明中利用了 两个重要极限 初等函数求导问题初等函数求导问题 本节内容 目录上页下页返回结束 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1. 的和、 差、 积、 商(除分母 为0的点外) 都在点x可导,且 下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和 例题. 可导都在点及函数xxvvxuu)()( )()(xvxu及 )()( )()() 1 (xvxuxvxu )()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu )( )()()()( )( )( )3( 2 xv xvxuxvxu xv xu )0)(xv 目录上页下页返回结束 例例1. 解解: xsin4 1( 2 1 )1sin , )1sincos4( 3 xxxy. 1 x yy及求 y)( x x )1sincos4( 2 1 3 xx x 2 3(xx) 1x y1cos4)1sin43( 1cos21sin 2 7 2 7 )1sincos4( 3 xx )1sincos4( 3 xx 目录上页下页返回结束 ) (cscx xsin 1 x 2 sin )(sinx x 2 sin 例例2. 求证,sec)(tan 2 xx 证证: .cotcsc)(cscxxx x x x cos sin )(tan x 2 cos xxcos)(sin)(cossinxx x 2 cos x 2 cosx 2 sin x 2 sec xcos xxcotcsc 类似可证:,csc)(cot 2 xx.tansec)(secxxx 目录上页下页返回结束 )( x f 二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2. y 的某邻域内单调可导, 证证: 在x处给增量由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知因此 ,)()( 1 的反函数为设yfxxfy 在)( 1 yf 0 )( 1 yf且 d d x y 或 ,0x )()(xfxxfy,0 x y y x ,00yx时必有 x y xf x 0 lim)( lim 0 y y x y x d d 1 )( 1 yf 1 1 )( 1 yf 1 1 目录上页下页返回结束 1 例例3. 求反三角函数及指数函数的导数. 解解:1) 设,arcsinxy 则,sin yx , ) 2 , 2 (y )(arcsinx )(siny ycos 1 y 2 sin1 1 2 1 1 x 类似可求得 ?)(arccosx , 1 1 )(arctan 2 x x 2 1 1 )arccot( x x 2 1 1 x xxarcsin 2 arccos 利用 0cosy, 则 目录上页下页返回结束 2) 设 , )1,0(aaay x 则),0(,logyyx a )( x a )(log 1 y a 1 ayln 1 aylnaa x ln xx e)e( ) arcsin(x 2 1 1 x ) arccos(x 2 1 1 x ) arctan(x 2 1 1 x ) cotarc(x 2 1 1 x aaa xx ln)( xx e)e( 特别当ea时, 小结小结: 推论3) 目录上页下页返回结束 在点x可导, lim 0 xx u x u uf )( x y x y x 0 lim d d 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 定理定理3.)(xgu )(ufy 在点)(xgu 可导复合函数 fy )(xg 且 )()( d d xguf x y 在点x可导, 证证:)(ufy 在点u 可导,故)(lim 0 uf u y u uuufy)(（当时)0u 0 故有 )()(xguf u y )(uf )0()( x x u x u uf x y 目录上页下页返回结束 例如,)(, )(, )(xvvuufy x y d d )()()(xvuf y u v x u y d d v u d d x v d d 关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形. 目录上页下页返回结束 例例4. 求下列导数:. )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxx x 解解: (1)(e)( ln x x xln e )ln(x x x 1 x )(e)( ln xxx x xxln e)ln( xx x x)1ln(x(2) (3) 2 ee )(sh xx x 2 x e x e xch 说明说明: 类似可得 ;sh)(chxx axx a ln e )(thx)( x a x x x ch sh th 2 ee sh xx x ; ch 1 2 x .lnaa x 目录上页下页返回结束 例例5. 设, )cos(eln x y 求 . d d x y 解解: x y d d )cos(e 1 x )sin(e( x x e )tan(ee xx 思考思考: 若)(u f 存在, 如何求)cos(e(ln x f的导数? x f d d )( f ) )cos(e(ln x )cos(eln )( x u uf 这两个记号含义不同 )cos(eln x 目录上页下页返回结束 例例6. 设 , )1(ln 2 xxy . y 求 解解: 1 1 2 xx y1 12 1 2 x x2 1 1 2 x 记, )1(lnarsh 2 xxx则 ) (arshx 1 1 2 x (反双曲正弦) 其他反双曲函数的导数看参考书自推. 2 ee sh xx x 的反函数 双曲正弦 目录上页下页返回结束 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数(P95) ) (C0 ) ( x 1 x ) (sin xxcos ) (cosxxsin ) (tan xx 2 sec ) (cot xx 2 csc ) (secx xxtansec ) (cscxxxcotcsc ) ( x aaa x ln ) (e xx e ) (log x a axln 1 ) (lnx x 1 ) (arcsinx 2 1 1 x ) (arccosx 2 1 1 x ) (arctanx 2 1 1 x ) cot(arcx 2 1 1 x 目录上页下页返回结束 2. 有限次四则运算的求导法则 )(vuvu ) ( uCu C ) ( vuvuvu v u 2 v vuvu ( C为常数) )0( v 3. 复合函数求导法则 )(, )(xuufy x y d d )()(xuf 4. 初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导, ) (C0 ) (sin xxcos ) (ln x x 1 由定义证, 说明说明: 最基本的公式 u y d d x u d d 其他公式 用求导法则推出. 且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数 目录上页下页返回结束 例例7. 求 解解: , 11 11 xx xx y . y 2 122 2 xx y1 2 xx 1 y 12 1 2 x )2( x 1 1 2 x x 例例8. 设),0( aaaxy xaa axa 解解: 1 a aa xayaa a x ln 1 a xa aa x a ln 求 . y aa x ln 先化简后求导 目录上页下页返回结束 例例9. 求 解解: ,1arctane 2sin 2 xy x . y 1arctan)( 2 xy ) (e 2 sin x 2 sin e x2 cosxx2 2 1 x12 1 2 x x2 x21arctan 2 x 2 sin e x2 cosx 2 sin e x 1 1 2 xx 关键关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导 目录上页下页返回结束 例例10. 设求, 11 11 ln 4 1 1arctan 2 1 2 2 2 x x xy. y 解解: y 22 )1(1 1 2 1 x 2 1x x ) 11ln() 11ln( 22 xx 11 1 4 1 2 x 2 1x x 11 1 2 x 2 1x x 2 1 2 1 x x 2 2 1 x 2 1 x 23 1)2( 1 xxx 目录上页下页返回结束 内容小结内容小结 求导公式及求导法则(见P95 P96) 注意注意: 1),)(vuuv v u v u 2) 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 4 1 1 4 3 x 1. xx 1 4 3 1 x 思考与练习思考与练习 对吗? 2 11 4 3 4 1 xx 目录上页下页返回结束 二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则 第三节 一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念 高阶导数 第二章 目录上页下页返回结束 一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念 )(tss 速度即sv 加速度 , d d t s v t v a d d ) d d ( d d t s t 即 )( sa 引例引例：变速直线运动 目录上页下页返回结束 定义定义. 若函数)(xfy 的导数)(xfy可导, 或, d d 2 2 x y 即 )( yy或) d d ( d d d d 2 2 x y x x y 类似地, 二阶导数的导数称为三阶导数, 1n阶导数的导数称为n阶导数, , y , )4( y )( , n y 或, d d 3 3 x y , d d 4 4 x y n n x y d d , )(xf的二阶导数二阶导数, 记作 y )(x f 的导数为 依次类推, 分别记作 则称 目录上页下页返回结束 设 , 2 210 n nx axaxaay求. )(n y 解解: 1 ayxa22 1 n nx an 2 12 ayxa323 2 ) 1( n nx ann 依次类推, n n any! )( 2 3 3xa 例例1. 思考思考: 设, )(为任意常数 xy ? )( n y nn xnx ) 1()2)(1()( )( 问 可得 目录上页下页返回结束 n x)1 ( ,e 3 xa ay 例例2. 设求 解解: 特别有: 解解: ! ) 1( n 规定0 ! = 1 思考思考: ,e xa y . )(n y ,e xa ay ,e 2xa ay xann aye )( xnx e)(e )( 例例3. 设, )1(lnxy 求 . )(n y , 1 1 x y , )1 ( 1 2 x y , )1 ( 21 ) 1( 3 2 x y )(n y 1 ) 1( n , )1(lnxy )(n y x y 1 1 y n x n )1 ( ! ) 1( 2 )1 ( 1 x , 目录上页下页返回结束 例例4. 设,sin xy 求. )(n y 解解: xycos )sin( 2 x )cos( 2 xy)sin( 2 2 x )2sin( 2 x )2cos( 2 xy)3sin( 2 x 一般地,xx n sin()(sin )( 类似可证: xx n cos()(cos )( ) 2 n ) 2 n 目录上页下页返回结束规律 二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则 都有n阶导数, 则 )( )(. 1 n vu )()(nn vu )( )(. 2 n uC )(n uC(C为常数) )( )(. 3 n vuvu n)( !2 ) 1( nn ! ) 1() 1( k knnn vu n)2( )()(kkn vu )(n vu 莱布尼茨莱布尼茨(Leibniz) 公式公式 )(xuu 及 )(xvv 设函数 vun n) 1( 规律规律 目录上页下页返回结束 规律规律 vu 3 )(vuvuvu )( vu)(vuvuvuvu 2 v u )( vu v u vu 3 v u 用数学归纳法可证 ( )()( ) 0 ()C n nkn kk n k uvuv 目录上页下页返回结束 例例5. ,e 22x xy 求. )20( y 解解: 设,e 22 xvu x 则 xkk u 2)( e2 ,2xv ,2 v 0 )( k v 代入莱布尼茨公式, 得 )20( y x220 e2 2 x x219 e220x2 !2 1920 2 x220 e2)9520( 2 xx x218 e2 )20,2,1(k )20,3(k 目录上页下页返回结束 0 !2 ) 1( ) 1( n y nn )(n yn 例例6. 设,arctanxy求).0( )(n y 解解:, 1 1 2 x y 即 1)1 ( 2 yx 用莱布尼茨公式求n阶导数 )1 ( 2 xx22 令,0x得)0() 1()0( ) 1() 1( nn ynny),2, 1(n 由,0)0(y得,0)0( y,0)0( )4( y, )0( ) 12( m y)0() 12(2 ) 12( m ymm )0(! )2() 1(ym m 0)0( )2( m y ) 1(n y 12, ! )2() 1( 2,0 )0( )( mnm mn y m n 即 ), 2, 1 , 0(m 由, 1)0(y得)0(! )2() 1()0( ) 12( ymy mm 目录上页下页返回结束 内容小结内容小结 (1) 逐阶求导法 (2) 利用归纳法 (3) 间接法利用已知的高阶导数公式 (4) 利用莱布尼茨公式 高阶导数的求法 )( 1 n xa 1 )( ! ) 1( n n xa n 如下列公式 xx n sin()(sin )( xx n cos()(cos )( ) 2 n ) 2 n 目录上页下页返回结束 第四节 一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率 一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率 隐函数和参数方程求导 相关变化率 第二章 目录上页下页返回结束 3 1xy 一、隐函数的导数一、隐函数的导数 若由方程0),(yxF可确定y 是x的函数, 由)(xfy表示的函数, 称为显函数显函数. 例如例如,01 3 yx可确定显函数 032 75 xxyy可确定y 是x的函数, 但此隐函数不能显化. 函数为隐函数隐函数. 则称此 隐函数求导方法求导方法:0),(yxF 0),( d d yxF x 两边对x求导( 注意y = y(x) ) (含导数的方程) y 目录上页下页返回结束 例例1. 求由方程032 75 xxyy )(xyy在x = 0处的导数. 0 d d x x y 解解: 方程两边对x求导 )32( d d 75 xxyy x 得 x y y d d 5 4 x y d d 21 6 21x0 25 211 d d 4 6 y x x y 因x= 0 时y= 0 , 故 2 1 0 d d x x y 0 确定的隐函数 目录上页下页返回结束 例例2. 求)0( sin xxy x 的导数. 解解: 两边取对数, 化为隐式 xxylnsinln 两边对 x 求导 y y 1 xx lncos x xsin ) sin lncos( sin x x xxxy x 目录上页下页返回结束 1) 对幂指函数),(),(,xvvxuuuy v 其中 可用对数 uvylnln y y 1 uvln u vu )ln( u vu uvuy v vuuy v lnuuv v 1 说明:说明: 按指数函数求导公式按幂函数求导公式 注意注意: 求导法求导: 目录上页下页返回结束 2) 有些显函数用对数求导法求导很方便. 例如例如,)1,0,0( b a ba a x x b b a y bax 两边取对数 yln 两边对 x 求导 y y b a ln x a x b bax a x x b b a y b a ln x a x b b a xlnlnlnxbalnlnaxb 目录上页下页返回结束 又如又如, )4)(3( )2)(1( xx xx y u u u ) ln( 2 1 lny 对 x 求导 2 1 y y )4)(3( )2)(1( 2 1 xx xx y 4 1 3 1 2 1 1 1 xxxx 两边取对数 2ln1lnxx4ln3lnxx 1 1 x2 1 x3 1 x 4 1 x 目录上页下页返回结束 二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 )( )( ty tx 可确定一个y与x 之间的函数 )(, )(tt 可导, 且 ,0 )( )( 22 tt则 0)( t 时, 有 x y d d x t t y d d d d t x t y d d 1 d d )( )( t t 0)( t 时, 有 y x d d y t t x d d d d t y t x d d 1 d d )( )( t t (此时看成x是y 的函数) 关系, 目录上页下页返回结束 若上述参数方程中 )(, )(tt 二阶可导, 2 2 d d x y ) d d ( d d x y x )( 2 t )()(tt )()(tt )(t )( )()()()( 3 t tttt 3 x yxxy y t x y td d ) d d ( d d t x d d )( )( d d t t x y )(tx 且 ,0)( t 则由它确定的函数)(xfy 可求二阶导数. 利用新的参数方程 ,可得 记记 目录上页下页返回结束 )( )( d d 2 2 t t x y , )( )( t t x y d d ? 例例3. 设 )(tfx , 且,0)( t f求. d d 2 2 x y d d x y)(tft )(t f , t d d 2 2 x y 1 )(t f 已知 解解: )()(tftfty 练习练习: 书P112 题8(1) , 1 2 2 1 ty tx x y d d ; 1 t 2 2 d d x y 2 1 t t 3 1 t 解解: 注意注意 : 对谁求导? 目录上页下页返回结束 内容小结内容小结 1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导 2. 对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法极坐标方程求导 转化转化 求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式 目录上页下页返回结束 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 *四、微分在估计误差中的应用 四、微分在估计误差中的应用 第五节 一、微分的概念一、微分的概念 函数的微分 第二章 目录上页下页返回结束 一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为x , 面积为A, 则, 2 xA 0 x x 面积的增量为 2 0 2 0 )(xxxA 2 0 )(2xxx xx 0 2 0 xA xx 0 2 )( x 关于x的 线性主部 高阶无穷小 0x时为 故xxA 0 2 称为函数在的微分 0 x 当x在 0 x取 得增量x时, 0 x 变到, 0 xx边长由 其 目录上页下页返回结束 的微分微分, 定义定义: 若函数)(xfy在点的增量可表示为 0 x )()( 00 xfxxfy ( A为不依赖于x的常数) 则称函数)(xfy 而称为xA在)(xf 0 x点记作yd,df或 即 xAyd 定理定理: 函数)(xfy在点可微的充要条件充要条件是 0 x 处可导，在点 0 )(xxfy , )( 0 xfA且 )(xoxA 即 xxfy)(d 0 在点 0 x可微可微, 目录上页下页返回结束 定理定理 : 函数 证证: “必要性必要性” 已知)(xfy在点可微,0 x则 )()( 00 xfxxfy ) )( (limlim 00 x xo A x y xx A 故 Axf)( 0 )(xoxA )(xfy 在点可导, 0 x且 )(xfy在点可微的充要条件充要条件是 0 x )(xfy在点处可导, 0 x且, )( 0 xfA即 xxfy)(d 0 目录上页下页返回结束