超市购物排队付款问题

在超市购物时收银台前排长队的现象始终困扰着购物者，而过多的收银窗口导致成本增加又困扰着商场经营者。前者影响到公司在消费者心中的形象，后者影响到商场的经营效益。那么超市的收银窗口开得多好还是开得少好？采取什么措施才能兼顾消费者满意与商场经营者成本最低？这是商场超市值得研究的问题。为此，我们对某个超市营业时段的顾客到达数及顾客平均付款时间进行了30天统计调查，数据如附件1。根据调查数据，回答如下问题：建立模型分析超市应开设收银窗口的合理方案；最佳答案 超市购物者排队付款问题摘要： 在超市里，我们常常可以看到这样的情景：顾客付款排成了长长的队伍。顾客们见到这种长蛇阵，怎能不怨声载道。增加收银窗口数量，减少排队等待时间，是顾客们十分关心的问题。.然而就超市的角度来说，虽说增加收银窗口数量可以减少排队等待时间，提高顾客对超市的满意度，从而赢得更多的顾客到该超市购物，但是同时也会增加超市的运营成本。因此如何在这两者之间进行权衡，找到最佳的收银窗口数量，对顾客和超市双方来说都是很重要的。基于这一点，我们试着建立模型分析超市应开设收银窗口的合理方案及制定该超市在各时段的收银窗口开设的最佳方案。1、问题叙述 在超市购物时收银台前排长队的现象始终困扰着购物者，而过多的收银窗口导致成本增加又困扰着商场经营者。前者影响到公司在消费者心中的形象，后者影响到商场的经营效益。那么超市的收银窗口开得多好还是开得少好？采取什么措施才能兼顾消费者满意与商场经营者成本最低？这是商场超市值得研究的问题。为此，我们对某个超市营业时段的顾客到达数及顾客平均付款时间进行了30天统计调查，数据如附件1。根据调查数据，回答如下问题：（1）计算该超市各时段的顾客平均到达率、平均付款时间；（2）建立模型分析超市应开设收银窗口的合理方案；（3）经调查，购物者在9:0019:00时间段内能接受的等待时间为0.11小时，在19：0021：00时间段内能接受的等待时间为0.13小时。针对这一调查数据和附件1的数据，制定该超市在各时段的收银窗口开设的最佳方案。2、模型假设1、由于顾客较多，而收银窗口又相对较少，故我们可认为在各段时间段中顾客源是无限的，且顾客单独到来且相互独立。2、顾客没有特别偏好，每个收银窗口对顾客来说都是一样的。3、超市实行先来先服务原则，且顾客可自由在队列间进行转移，并总向较短的队列转移，没有顾客会因为队列过长而离去，故可认为排队方式为单一队列等待制。4、每个窗口收银员的工作效率是随机的，很难对其进行精确的分析。所以由一般统计规律，认为其满足指数分布，且收银员之见无差异。5、顾客到达间隔服从参数为 的指数分布，而服务时间服从参数为 的指数分布。6、超市的服务时间为9：00到21：00，且以一个小时为一个单位时间。3、符号说明 平均到达率 平均服务率 服务强度 系统中平均顾客数 队列中平均等待顾客数 空闲概率 平均逗留时间 平均等待时间4、模型分析和建立 基于以上的假设，我们的模型符合排队论中的多通道等待模型（M/M/c）。该模型的特点是：服务系统中有C个收银员，顾客按泊松流来到服务系统，平均到达率为 ；收银员的能力都是 ，服务时间服从指数分布。当顾客到达时，如果所有收银员都忙着，那么顾客就要参加排队，一直等到收银员为他服务为止。 收银台1 顾客 到达 排队 收银台2 离去 收银台 顾客到达规律： 设在 时每到达一个顾客的概率与 成正比，比例系数为 ，到达两个及两个以上的概率是 。 由概率论的基本知识可知，在上述的假设下在 内到达的顾客数服从泊松（possion）分布，即到达 个顾客的概率为 并有以下结果： 内到达的顾客的平均数为 ，其中平均到达率为 。 内没有顾客到达 的概率是 ，记 为第一个顾客到达的时刻，则 服从指数分布，即 。 所以顾客相继到达的时刻为 ，间隔分别为 根据指数无后效性 相互独立且也是服从指数分布，而平均到达间隔为 。收银服务时间： 设在已经服务过一定时间的条件下再服务一端时间的概率与一开始就服务这段时的概率相同。记 为服务时间，上述假设可表示为 。如果进一步设单位时间内被服务顾客的平均数为 ，即为平均服务率。也就是说每个顾客的平均服务时间为 ，那么服务时间 服从指数分布 。排队规则： 就模型（M/M/c）而言，设 个收银台时，服务强度 ，每个收银员的平均服务率 一定， 与顾客的平均到达率成正比。设 个收银台时，服务强度 ，代入 解得在队列中等待的平均顾客数就为 。同理设 个收银台时，其在队列中等待的平均顾客数为 。 6 4 2 0 1 2 3 如图可知，为了使平均队长不超过一定的数值， 在取什么范围时应设置几个收银窗口。 模型（M/M/c）的平均队长为 ， 其中 ， 为所有收银员空闲的概率。 平均逗留时间和平均等待时间是衡量随机服务过程工作效率的最基本的指标，除了与 等因素有关，还取决于顾客到达间隔和收银服务时间的概率分布。 此外，如果设置 个收银窗口，设运营的总成本为 ，系统中顾客的平均数为 ，其中 是服务成本，而 是等待成本。为了要求设置 个收银窗口时利润最高、总成本最少，则必须满足： 又因为 再结合上述条件得： 就推出： 即： 这样就能确定设置 个收银窗口的设置方案。 另外，对顾客来说，去超市购物在收银太并不希望逗留太长的时间。同时，顾客在收银窗口排队的平均逗留时间 决定着顾客对超市的选择，决定着超市的营利问题。所以超市从其经济利益的角度出发也尽量满足顾客的需求。而顾客在收银窗口排队的平均逗留时间 ，将是解决这个问题的关键。由公式（1）平均逗留时间 是由平均等待时间 和平均付款时间决定 。对于平均等待时间 ，我们由公式（2）可知它是由顾客平均到达率 ，平均付款时间 和收银窗口数 来决定的，一般来说顾客对超市有一定的偏好，故可认为在各时段中顾客流是稳定的，即 为常数；而收银员的工作效率相对来说也是稳定的，故 也可认为是常数。所以对平均逗留时间 构成影响的就是收银窗口数 了。公式 (1) 公式（2） 5、模型求解根据调查的数据，得出以下表格：时段 9：00-10：00 10：00-11：00 11：00-12：00 12：00-13：00平均到达率 （人/小时） 677 776 674 527平均付款时间 （分钟/人） 1.56 1.56 1.68 1.12时段 13：00-14：00 14：00-15：00 15：00-16：00 16：00-17：00平均到达率 （人/小时） 464 513 731 931平均付款时间 （分钟/人） 1.23 1.28 1.52 1.52时段 17：00-18：00 18：00-19：00 19：00-20：00 20：00-21：00平均到达率 （人/小时） 834 632 739 789平均付款时间 （分钟/人） 1.62 1.56 1.57 1.53 根据调查的数据，亦可得出以下表格：时段 9：00-10：00 10：00-11：00 11：00-12：00 12：00-13：00平均到达率 （人/小时） 677 776 674 527平均付款时间 （分钟/人） 1.56 1.56 1.68 1.12理论窗口数 17.602 20.202 19.04 9.837333实际窗口数 （超市角度） 17 20 19 10实际窗口数 （顾客角度） 18 21 20 10时段 13：00-14：00 14：00-15：00 15：00-16：00 16：00-17：00平均到达率 （人/小时） 464 513 731 931平均付款时间 （分钟/人） 1.23 1.28 1.52 1.52理论窗口数 9.512 10.944 18.518333 23.585333实际窗口数 （超市角度） 9 11 19 24实际窗口数 （顾客角度） 10 11 19 24时段 17：00-18：00 18：00-19：00 19：00-20：00 20：00-21：00平均到达率 （人/小时） 834 632 739 789平均付款时间 （分钟/人） 1.62 1.56 1.57 1.53理论窗口数 22.518 16.432 19.337166 21.4345实际窗口数 （超市角度） 22 17 19 22实际窗口数 （顾客角度） 23 17 20 22注：在这里，实际窗口数分为从超市角度和从顾客角度的两种实际窗口数，这是因为超市为了减少运营成本，不会多设置窗口，从而增加了顾客的平均等待时间。如果从顾客的角度出发，当然在超市的逗留时间越短越好，他们必定会支持增加收银窗口，但与此同时，超市却增加了运营成本。超市收银窗口取整方法是向前取整，余下的小数加到后一个数上去，依次类推。而从顾客角度的取整反法是直接向后取整。如何取舍这两者需要对服务费用(成本)、等待费用(损失)作确切估计，以便才能算出更优的值。因为购物者在9:0019:00时间段内能接受的等待时间为0.11小时，在19：0021：00时间段内能接受的等待时间为0.13小时。所以就有： = 按上述公式就可算出各时段理论接受的人数，从而结合实际给出实际接受的人数。如下表：时段 9：00-10：00 10：00-11：00 11：00-12：00 12：00-13：00理论接受的人数 4.23 4.23 3.93 5.89实际接受的人数 4 4 3 5时段 13：00-14：00 14：00-15：00 15：00-16：00 16：00-17：00理论接受的人数 5.36 5.16 4.34 4.34实际接受的人数 5 5 4 4时段 17：00-18：00 18：00-19：00 19：00-20：00 20：00-21：00理论接受的人数 4.07 4.23 4.97 5.10实际接受的人数 4 4 4 5 所以各时段顾客所能接受的等待人数如上表，结合公式： 根据数据个时段的平均到达率 ，平均服务率 从而推算出服务强度 ，所以在上述公式中就只有 为未知的，其他的量均为已知的，理论上就能算出 。时段 9：00-10：00 10：00-11：00 11：00-12：00 12：00-13：00最佳方案窗口数 18 20 21 12时段 13：00-14：00 14：00-15：00 15：00-16：00 16：00-17：00最佳方案窗口数 10 12 18 24时段 17：00-18：00 18：00-19：00 19：00-20：00 20：00-21：00最佳方案窗口数 24 19 20 20 为此我们用MATLAB编程（见附录）计算系统中排队的顾客数L，发现与上述的队列中平均等待顾客数 两者相吻合。所以以上表格中的就是最优方案的收银窗口开设数。6、模型评价和改进本文的优点：1.我们在模型中提出的设置方案和理由数据计算的值很好的吻合。 2.本文综合考虑了影响顾客排队的各种因素。 本文的缺点：对于模型中出现的实际的复杂问题作了很多简化，最终得到的数值可能与实际的 有所偏差。 改进： 应用排队论，用运筹科学的理论和方法，对服务机构进行定量分析、评价，优化服务系统质量，提高服务效率，为设备的合理配置和有效利用提供科学依据。是进行布局规划和可行性分析的有效途径之一。 服务机构设备和人员配置，从顾客和超市两者取得平衡出发，我们理论和实际两个值，以便比较，提出了该服务系统的最优选择。 增加收银窗口，虽然降低了顾客的等待费用，但增加了超市的运营成本。可以利用经济分析的手段，使二者费用之和为最小或使纯收入、利润为最大，但这要对服务费用(成本)、等待费用(损失)作确切估计。参考文献：1运筹学教材编写组编.运筹学（第三版）M 清华大学出版社 2006年2 熊启才.数学建模方法及应用M 重庆大学出版社 2005年 139-1433 雷功炎.数学建模方法M 北京大学出版社 2004年 163-1714 萧树铁.数学实验M 高等教育出版社 2004 年5 陆凤山.排队论及其应用M 湖南科学技术出版社 1984年6 梁工谦.运筹学典型题解析与自测试题M 西北工业大学出版社 2004年 220-221附录计算空闲概率P0( )和系统中排队的顾客数L( )：(仅举第一个时段为例)主程序： a=677； b=1.56; n=16 17 18 19 20; p=a*b;