四旋翼飞行器的数学模型.pdf

关于多旋翼飞行器的研究（） 指导老师：杨莹(副教授) 报告人：沈欢 关于多旋翼飞行器的研究（） ?关于Quadrotor ?系统的研究任务规划 ?数学模型的建立及参数测量方法 ?空气动力学实验 一、关于一、关于Quadrotor ?多旋翼飞行器是小型无人机（UAV）的一种。 ?1907年，法国人布勒盖特瑞切（Brguet Richet）所发明的世界第一架有人架势四旋翼 飞行器“Gyropl ane No.I”就已能升上天空。但 由于构造复杂、飞行员不易操纵等原因，四旋 翼飞行器的发展并非一帆风顺。 ?近年来，随着新材料、微机电、微小型飞行控 制等技术的进步，微小型多旋翼无人飞行器逐 渐成为迅速发展的重点。 一、关于一、关于Quadrotor 1.1、多旋翼飞行器的特点、多旋翼飞行器的特点 与传统飞行器相比多旋翼飞行器具有以下特点： ?结构方面：结构简单、体积小、重量轻、噪音 小、对承力结构和功能模块无特殊要求。 ?空气动力学方面：一方面多旋翼保证产生机体 飞行所需动力；另一方面旋翼的空气动力学性 质可以由简单的模型代替，不会产生复杂的空 气动力学问题。 1.1、多旋翼飞行器的特点、多旋翼飞行器的特点 ?控制方面：可以对多个旋翼进行直接控制，增 加了飞行器的可控性，使得飞行器拥有垂直起 降特性和良好的飞行性能。 ?功能拓展方面：多旋翼飞行器可与多种外设相 连接，如：照相机、红外探测器、机械臂等， 可以实现多种功能。 1.2、多旋翼飞行器应用前景、多旋翼飞行器应用前景 基于多旋翼飞行器的诸多优势，自其问世以来，其应用 空前广泛，如 A、国防领域：高空侦查、预警、实战等。 B、救援与高危行业：地震、火灾救援；核事故 探 测与救援等。被成功应用在伊拉克战争和Katrina飓风 的救援行动中。 C、地质和生态领域：测绘、地形勘探、环境监测等。 D、科研领域：复杂控制算法研究、智能算法研究、多 机协作研究等。 1.3、多旋翼飞行器的研制情况、多旋翼飞行器的研制情况 ?国外对多旋翼飞行器的研究较为成熟，如 MIT、Stanford University、Pennsylvania University和德国的MK项目都发展得很 好，基本实现了自主控制和良好的飞行， 甚至实现了多机协作；但是，国内的研究 还停留在有人驾驶和自主悬停阶段，有待 提高。 1.4、有待提高的研究方向、有待提高的研究方向 ?数学模型基于简单的空气动力学模型，没有考 虑到在高速、非稳定流场下(复杂的室外环 境)，螺旋桨的力学表现，导致很多飞行器只 能在室内飞行而不能适应更复杂的环境。 ?控制算法不成熟，导致可控性差、飞行品质低 ?大部分的导航和反馈模块都基于室内环境，或 者依赖于简单的室外环境，在复杂的室外环境 中难以实现。 1.4、有待提高的研究方向、有待提高的研究方向 ?多机协作的算法不成熟，难以实现多机协作。 ?可以将新材料、微马达等新技术应用于多旋翼 飞行器，进一步提高其各方面性能。 二、系统的研究任务规划二、系统的研究任务规划 ?基于多旋翼飞行器诸多 优势及研究前景，根据 学院和兴趣的双向选 择，我们成立在杨莹老 师指导下的本科生科研 小组。 ?课题名称：关于多旋翼 飞行器的研究。 ?小组成员：沈欢，杨洋。 2.1、多旋翼飞行器系统、多旋翼飞行器系统 2.1、多旋翼飞行器系统、多旋翼飞行器系统 2.2、步骤规划、步骤规划 ?建立四旋翼飞行器基于刚体的初步的力学模型 及讨论参数测量方案并进行参数测量。 ?研究多旋翼飞行器的空气动力学特性实验 及理论分析，改善飞行器气动布局，修改得到 更广泛和可靠的力学模型。 ?研究基于模型的控制算法。 ?研究适于复杂环境的导航及反馈方案。 2.2、步骤规划、步骤规划 ?研究路径规划的最优算法。 ?多机协作的初步研究。 三、数学模型的建立及参数测量三、数学模型的建立及参数测量 ?数学模型的建立使用了经典力学的方法。将飞 行器整体视为刚体，利用质心运动定理和质心 系的角动量定理建立完备的方程组。 ?、质心运动定理： ?、质心平动系角动量定理： 3.1. 关于参考系和坐标系的说明关于参考系和坐标系的说明 3.1. 关于参考系和坐标系的说明关于参考系和坐标系的说明 ?如图1所示，是惯性参考系，(1)式在 此系中成立，是质心平动系，(2)式 在此系中成立，其中O是质心。 ?在质心系中，取欧拉角（经典） ?首先： ?其次： ?最终： ?得到的 3.1. 关于参考系和坐标系的说明关于参考系和坐标系的说明 ?由上述变换过程得到变换矩阵： 3.1. 关于参考系和坐标系的说明关于参考系和坐标系的说明 ?将(5)式代入(4)式再代入(3)式得到： ?于是得到变换矩阵P： 3.1. 关于参考系和坐标系的说明关于参考系和坐标系的说明 ?将飞行器以合适的方式固连于。 3.2、质心运动定理、质心运动定理 ?由质心运动定理： ?由变换矩阵得到： 3.2、质心运动定理、质心运动定理 ?代入(7)得到： ?由每个坐标基分量相等得到： 3.2、质心运动定理、质心运动定理 ?其中， 是螺旋桨产生的升力，满足： 为升力系数。单位： 。 3.3. 质心系中质点系的角动量定理质心系中质点系的角动量定理 ?由(2)式：。若将向量和在固 定坐标系中表出。则需要考虑相对导数： ?其中， 是在固定坐标系中的相对导数， 是飞 行器的角速度向量。 3.3. 质心系中质点系的角动量定理质心系中质点系的角动量定理 ?在(11)式中：。其中是升 力产生的矩；是空气对螺旋桨的矩。 ? ? 3.3. 质心系中质点系的角动量定理质心系中质点系的角动量定理 ?其中， 是空气阻力产生力矩的系数：反作用 力矩 ?又有： 参见理论力学，朱照宣等，北京大学出版社） 3.3. 质心系中质点系的角动量定理质心系中质点系的角动量定理 ?在11式中： ?其中，是飞行器的惯性张量。其分量矩阵为： ?和与和相比较相对较小， 可以忽略。 3.3. 质心系中质点系的角动量定理质心系中质点系的角动量定理 ?所以： ?由(15)式： ?将(12)式和(18)式代入(11)式，得到： 3.3. 质心系中质点系的角动量定理质心系中质点系的角动量定理 ?由(19)式的各个坐标基的分量相同，得到： 3.3. 质心系中质点系的角动量定理质心系中质点系的角动量定理 ?通常情况下（几乎所有参考文献），将 在平衡位置附近线性化。按照图2所示，平衡 位置为。 ?于是，由(14)式，线性化后的角速度为： 3.3. 质心系中质点系的角动量定理质心系中质点系的角动量定理 ?将(21)式代入(20)式得到： 3.4、完备的动力学方程组、完备的动力学方程组 ?(9)式和(22)式够成了描述飞行器运动的完备的 动力学方程组。将其整理为： 3.4、完备的动力学方程组、完备的动力学方程组 ?其中： ?下面讨论更为一般的情况，即没有在平衡位置 附近线性化的完备的动力学方程组。 3.4、完备的动力学方程组、完备的动力学方程组 ?由(9)式及(20)式得到： ?其中U1、U2、U3、U4及-见(24)式 ?并且，由(14)式，得到： 3.4、完备的动力学方程组、完备的动力学方程组 3.5、电机模型、电机模型 ?等效电路图： ?于是，由KVL方程得到： 3.5、电机模型、电机模型 ?对转子运用定轴转动的转动定理有： ?整理(28)式代入(27)式： 3.5、电机模型、电机模型 ?忽略电感，并将在某个附近泰勒展开： ?得到电机的简化模型方程： ?是一个依赖于的一阶线性微分方程。 3.6、参数测量、参数测量 ?在建模过程中，所需参数按照出现顺序有： 3.6、参数测量、参数测量 3.6、参数测量、参数测量 3.6、参数测量、参数测量 四、关于空气动力学的研究四、关于空气动力学的研究 四、关于空气动力学的研究四、关于空气动力学的研究 ?飞行器飞行的基础是空气动力学，绝大部分的 多旋翼研究者仅仅将多旋翼飞行器当做刚体处 理，没有考虑其空气动力的影响，导致研究的 效果不佳。 ?前人对多旋翼飞行器空气动力效应的研究工作 中，给予我们很多启迪。 4.1Blade Flapping ?多旋翼飞行器在飞行过程中所处的环境是复杂 的，使得螺旋桨机翼容易受到干扰，这种干扰 来自多个方面，如：飞行过程中受到巨大的空 气阻力，在室外飞行时遇到强风，各螺旋桨引 起的流场之间的相互干扰等。容易导致螺旋桨 叶片的倾斜和颤动。这样的颤动对于飞行控制 是致命的。 4.1Blade Flapping 4.1Blade Flapping ?从图中可以看到，一旦螺旋桨叶片倾斜，将会受到来 自三方面的影响： ?A)升力T的方向偏离机体法向； ?B)空气对螺旋桨有一个额外的矩M1，来平衡螺旋桨所 产生的弯矩； ?C)空气对螺旋桨的矩M2偏离了机体法向。 ?以上三种影响会使得机体不再满足动力学模型，导致 控制失效。所以，选择具有良好的力学性能(刚度大) 的螺旋桨至关重要！ 4.2外界流场对螺旋桨产生升力大小的影响外界流场对螺旋桨产生升力大小的影响 ?螺旋桨在无外界干扰的盘旋状态(保持转速) 下，升力T与成正比，即：T=C 。 ?但是当有外界流场干扰时，升力Th与转速就不 再是简单的线性关系，甚至，在保持电机输入 功率P不变的情况下， Th与T的比值都是复制 的非线性关系。 4.2外界流场对螺旋桨产生升力大小的影响外界流场对螺旋桨产生升力大小的影响 4.2外界流场对螺旋桨产生升力大小的影响外界流场对螺旋桨产生升力大小的影响 ?Th和T的关系是关于V风和的函数，如下图所 示，可以看出是非常复杂的关系。 4.2外界流场对螺旋桨产生升力大小的影响外界流场对螺旋桨产生升力大小的影响 ?在一个多旋翼飞行器上由于有多个螺旋桨形成 的多个流场的相互作用，会使得多旋翼飞行器 的总升力Ttotal不等于单独每个电机产生的升 力Ti之和，而是各个流场耦合作用的结果，所 以，研究合理的多旋翼飞行器的布局也是一个 必需的课题，并且由于问题的复杂性，相对于 理论分析，实验应该是更为可靠的手段。 4.2外界流场对螺旋桨产生升力大小的影响外界流场对螺旋桨产生升力大小的影响 ?设计实验一：基于单层布局的空气动力学实验。 电机关于固定点(质心)呈对称分布。 4.2外界流场对螺旋桨产生升力大小的影响外界流场对螺旋桨产生升力大小的影响 ?实验原理： ?如图所示，N个电机对称地分布在以质心为圆心，以r为半径的圆 上。圆心角为360/N度。 ?此时，影响结构布局的有N、r两个因素。由于对称性，每个螺旋 桨受到的来自周围螺旋桨的影响是一样的。所以，考虑其中的一 个螺旋桨即可。 ?设Thover是一个电机输入功率为P时的盘旋状态（无攻角且相对 空气无速度的状态，但是升力不一定等于重力）下螺旋桨产生的 升力；T是在一定的空气动力布局结构中保持电机输入功率为P 时，螺旋桨产生的升力。 ?那么在这种情况下，T/Thover（无量纲）代表了升力的相对值， 也就可以反映升力受到结构布局的影响。 4.2外界流场对螺旋桨产生升力大小的影响外界流场对螺旋桨产生升力大小的影响 ?设计实验二：基于多层耦合的空气动力学实验。 4.2外界流场对螺旋桨产生升力大小的影响外界流场对螺旋桨产生升力大小的影响 ?实验原理： ?对于多层多旋翼飞行器（下图），其每个螺旋桨产生的空气动 力受到层间距h、层数Nlayer、和每一层的布局形式的影响。 ?为方便实验，设每层之间的间距相同，并且每层的布局相同，并 且层与层之间对其（上图所示）。那么由于对称性，每个螺旋桨 受到的来自周围螺旋桨的影响是一样的。所以，考虑其中的一个 螺旋桨即可。 ?设Thover是一个电机输入功率为P时的盘旋状态（无攻角且相对 空气无速度的状态，但是升力不一定等于重力）下螺旋桨产生的 升力；T是在一定的空气动力布局结构中保持电机输入功率为P 时，螺旋桨产生的升力。 ?那么在这种情况下，T/Thover（无量纲）代表了升力的相对值， 也就可以反映升力受到结构布局的影响。 4.2外界流场对螺旋桨产生升力大小的影响外界流场对螺旋桨产生升力大小的影响 实验器材汇总实验器材汇总 实验器材汇总实验器材汇总 4.3对电机能量转化的研究实验对电机能量转化的研究实验 ?实验背景：在“Quadrotor Helicopter Flight Dynamics and Control:Theory and Experiment.”(Gabriel M.Hoffmann; Haomiao Huang; Steven L .Waslander;Claire J.Tomlin) 一文中推导了升力T和电机输入电压V的关系 得出的结论：T=KV2 其中K是常数。 4.3对电机能量转化的研究实验对电机能量转化的研究实验 ?推导过程： 4.3对电机能量转化的研究实验对电机能量转化的研究实验 ?Q=KqI; ?V=RaI+Kew; ?P=IV=(Q/Kq)V; ?Ph=Tvh; ?又取微元，用动量定理推得：vh=(2T/A)； ?设P=Ph所以： (Q/Kq)V=(Kt.T/Kq)V=T.(2T/A) 4.3对电机能量转化的研究实验对电机能量转化的研究实验 ?化简得：T=(2AKt/Kq)V2 ?得到了T正比于V2的结果。 推导过程中存在的问题推导过程中存在的问题 ?A)假设P=Ph; ?真实的P转化： 1、产生的升力的反作用力对空气做功，使空气获得 竖直方向的速度V1. 2、螺旋桨对空气的矩对空气做功，使空气获得水平 面内的速度V2. 3、电机发热使得转化为空气内能。 4、螺旋桨与空气剧烈摩擦产生热量，转化为空气内 能。 推导过程中存在的问题推导过程中存在的问题 ?所以设计实验来确定Ph与P的比值，来验证此 推导是否有意义至关重要。如果Ph与P的比值 在85%以上，说明Ph=P的假设是成立的，否 则说明该推导是不具有实验意义的。 4.3对电机能量转化的研究实验对电机能量转化的研究实验 ?设计实验： ?实验步骤： ?取一支电机，使其输入功率为P，并记录。 ?测量P1：用load_cell测出升力T，并用风速仪测出竖直方向空 气的速度V1，计算P1，并记录。 ?测量P2：测出空气对螺旋桨的矩，作为螺旋桨对空气的矩M， 测量螺旋桨叶尖速度V2，和桨叶长度L，计算P2，并记录。 ?测量一段时间t内螺旋桨周围空气的温度的变化T， P3+P4=CMT/t。其中，C是空气的热容，M为受到影响的空气 的质量。 ?改变不同的P值，并重复、操作，记录数据。 4.3对电机能量转化的研究实验对电机能量转化的研究实验 4.3对电机能量转化的研究实验对电机能量转化的研究实验 ?实验中存在的问题： ?B)简单地认为扭矩Q和升力T存在简单的线性 关系Q=KtT. ?由于T产生的机理较为复杂，所以Q与T的关系 不一定是简单的线性关系。 ?可以