数值分析课程总结

1 / 47 数值分析课程总结 课程内容 1 误差 了解误差的 来源与分类及误差的基本概念与性质； 熟悉绝对误差及绝对误差限、相对误差及相对误差限和有效数字之间的关系； 掌握一元和二元函数的误差估计式并会应用； 熟悉减小误差的积累和传播应注意的几大原则和通常做法。 2 插值法 掌握 Lagrange 插值、 Newton 插值； 理解 Hermite 插值的构造和计算； 掌握这些插值函数的余项表达式的 求法、形式、作用及估计； 2 / 47 了解用插值基函数思想求任何插值条件的插值函数问题； 了解分段插值及三次样条函数插值的构造思想、特点和计算方法； 了解差商和差分、等距结点插值的基 本性质。 3 曲线拟合与函数逼近 掌握曲线拟合的有关概念、意义和推导过程； 掌握应用最小二乘原理求矛盾方程组的最小二乘解； 了解函数逼近的有关概念、意义和推导过程； 掌握求解最佳一致逼近和最佳平方逼近函数的方法； 熟悉求连续函数的最佳平方逼近及由离散点求曲线拟合的方法； 了解正交多项式特点及性质，会求连续函数的最佳一致多项3 / 47 式逼近。 4 数值积分与数值微分 理解机械求积公式及代数精度概念； 掌握 确定求积公式的代数精度的方法； 掌握 Newton-Cotes 求积公式、特点及余项形式； 了解 Romberg 算法及 Gauss 求积公式的构造技术、特点及余项形式； 掌握复化梯形求积公式、复化 Simpson 求积公式的构造技术及余项形式； 了解上述求积公式的适用类型并会熟练使 用这些公式做数值积； 了解数值微分法以及 Newton-Cotes 求积公式、 Gauss 求积公式的稳定性问题。 5 非线性方程的数值解法 掌握求非线性方程根的对分区间法、简单迭代法、 Newton 迭代法； 理解这些方法的构造特点、收敛速度及适用范围并掌握压缩4 / 47 映射原理； 了解 Newton 迭代法的变形如 Newton 下山法、割线法及迭代法加速技术； 了解局部收敛及收敛阶的概念； 6 求解线性方程组的直接解法 掌握解线性方程组的 Gauss 消元法、列主元法、 LU 分解； 理解这些方法的构造过程和特点以及适用的线性方程组； 了解全主元消元法、平方根法，知道直接解法的误差分析； 了解特殊线性方程组求解的追赶法。 7 求解线性方程组的间接方法 掌握向量范数、矩阵范数的基本概念与性质； 熟悉用范数来分析方程组的性态及稳定性； 掌握线性方程组的误差分析与解的改善； 5 / 47 了解病态方程组概念并会判断； 能判别 Jocobi 迭代和 Gauss-Seidel 迭代的敛散性并会应用迭代求解。 数值分析学习感想 摘要 :数值分析主要介绍现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本原理，研究并解决数值问题的近似解，是数学理论与计算机和实际问题的有机结合。随着科学技术迅速发展，运用数学方法解决工程技术领域中的实际问题，已经得到普遍重视。 作为这学期的考试课，在我最初接触这门课时，我感到了很困难，因为无论是高数还是线性代数我都放下了很久，而我感觉数值分析是在高等数学和线性代数的基础上，又加深了探讨。虽然这节课很难，但是在老师不断地引导和讲授下，我逐渐对其产生了兴趣。在老师的反复讲解下，我发现我被它吸引了，因为它不仅是单纯的学科，还教会了我许多做人生活的道理。 6 / 47 首先，数值分析这门课程是一个十分重视算法和原理的学科，同时它能够将人的思维引入数学思考的模式，在处理问题的时候，可以合理适当的提出方案和假设。他的内容贴近实际，像数值分析，数值微分，求解线性方程组的解等，使数学理论更加有实际意义。 数值分析在给我们的知识上，有很大一部分都对我有很大的帮助，让我的生活和学习有了更加方便以及科学的方法。像第一章 就讲的误差，在现实生活中，也许没有太过于注意误差，所以对误差的看法有些轻视，但在学习了这一章之后，在老师的讲解下，了解到这些误差看似小，实则影响很大，更如后面所讲的余项，那些差别总是让人很容易就出错，也许在别的地方没有什么，但是在数学领域，一个小的误差，就会有很大的差别，而学习了数值分析的内容，很容易就可以将误差锁定在一个很小的范围内，在这一范围内再逼近，得出的近似值要准确的多，而在最开始的计算中，误差越小，对后面的影响越小， 这无疑是好的。 数值分析中， “ 以点带面 ” 的思想也深深影响了我。这里的“ 点 ” 是根本，是主线。在第二章学习插值法的时候是以拉格朗日插值、牛顿插值为主线，然后逐渐展开介绍艾尔米特插值、分段低次插值和三次样条插值。在学习中只要将研究7 / 47 拉格朗日插值和牛顿插值的基本原理、基本方法理解透彻，其他的插值方法就基本掌握了。第四章处理数值积分和数值微分的基本方法是逼近法，只要将函数逼近的基本思想理解好，掌握起来就会得心应手；第六第七章是以迭代法为主线来求解线性方程组和非线性方程组的。在学习过程组 只要将迭代法的相关原理掌 握好，便能掌握第六第七章。总的来数，数值分析所涉及到数学中很多学科的知识，内容比较复杂，因此在学习过程中一定要将基本原理、基本算法理解透，然后再逐步推广。同样在生活中每件事情都有它的主线，只要抓住这条主线再难的事情也会迎刃而解。 还比如 “ 等价转化 ” 的思想，这里的 “ 等价 ” 不是完全意义上的 “ 等价 ” ，是指在转化前后转化的主体主要特征值没有变。插值法的思想就是抓住已知函数或者已知点的几个主要特征，用另一个具备主要特征的简单函数来代替原函数或拟合已知数据点。实际生活中也有很多类似情况，已知事件或者面临的情况往往是复杂的，常常不能直接用数学方法直接研究，我们可以做的就是抓住已经事件的主要特征转化为数学模型来建立。 8 / 47 在不断的学习中，知识在不断的获取，能力在不断的提升，同时在老师的耐心讲解下，我逐渐的发现数值分析所涵盖的知识面特别的广泛，而我所需要学习的地方也更加的多，自己的不足也在不断的体现，我知道这只是我刚刚接触到了数学的那一角，在以后我还会接触到更多，而这求知的欲望也在不停的驱赶我，学习的越多，对今后的生活才会有更大的帮助。 希望在将来，通过 反复的实践能加深我的理解，在明年的这个时候我能有更多的感悟。同时，因为十五周的学习时间太短加上我的基础薄弱，我决定明年继续来旁听老师的课程，达到进一步学习，加深理解的目的。 数值分析课程论 文： 数值分析学习心得感悟 姓名：崔俊毅 学号： 2016210211 专业：防灾减灾专硕 院系：土木工程学院 9 / 47 数值分析学习感想 一个学期的数值分析，在老师的带领下，让我对这门课程有了深刻的理解和感悟。这门课程是一个十分重视算法和原 理的学科，同时它能够将人的思维引入数学思考的模式，在处理问题的时候，可以合理适当的提出方案和假设。他的内容贴近实际，像数值分析，数值微分，求解线性方程组的解等，使数学理论更加有实际意义。 数值分析在给我们的知识上，有很大一部分都对我有很大的帮助，让我的生活和学习有了更加方便以及科学的方法。像第一章就讲的误差，在现实生活中，也许没有太过于注意误差，所以对误差的看法有些轻视，但在学习了这一章之后，在 老师的讲解下，了解到这些误差看似小，实则影响很大，更如后面所讲的余项，那些差别总是让人很容易就出错，也许在别的地方没有什么，但是在数学领域，一个小的误差，就很容易有不好的后果，而学习了数值分析的内容，很容易就可以将误差锁定在一个很小的范围内，在这一范围内再逼近，得出的近似值要准确的多，而在最开始的计算中，误差越小，对后面的影响越小， 这无疑是好的。 10 / 47 数值分析不只在知识上传授了我很多，在思想上也对 我有很大的影响，他给了我很多数学思想，很多思考的角度，在看待问题的方面上，多方位的去思考，并从别的例子上举一反 三。像其中所讲的插值法，在先学习了拉格朗日插值法后，对其理解透彻，了解了其中的原理和思想，再学习之后的牛顿插值以及三次样条插值等等，都很容易的融会贯通，很容易的就理解了其中所想，他们的中心思想并没有多大的变化，但是使用的方式却是不同的，这不仅可以学习到其中心内容，还可以去学习他们的思考 方式，每个不同的思考方式带来的都是不同的算法。而在看待问题上，不同的思考方式总是可以快速的全方位的去看透彻问题，从而知道如何去解决。 在不断的学习中，知识在不断的获取，能力在不断的提升，同时在老师的不懈讲解下，我逐渐的发现数值分析所涵盖的知识面特别的广泛，而我所需要学习的地方也更加的多，自己的不足也在不断的体现，我知道这只是我刚刚接触到了数学的那一角，在以后我还会接触到更多，而这求知的欲望也在不 停的驱赶我，学习的越多，对今后的生活才会有更大的帮助。 11 / 47 计算 132 2016014923 张霖 数值分析复习提要 一、纲要 数值积分与数值微分一章中主要的要点如下： 、数值积分的提法、插值型求积公式的导出及其余项估计 、低阶数值积分公式及其余项的估计 、数值积分的加速过程： Romberg 算法与埃特金方法 、高精度求积公式： Gauss 求积公式 二、要点 、若要求积分 I? ?f?x?dx，当 f?x?的解析表达式未知或其解析表达式不易于计算积分值 a 12 / 47 b 时，可以考虑用数值的方法求得它的一个近似值 I*。如果已知函数 f?x?在 n?1 个节点上的值 f?xi?,i?0,1,?,n，那么可以用这些节点构造一个插值多项式 Pn?x?，用 Pn?x?近似表示 f?x?，并用 I? * ? n b a Pn?x?近似表示 I，这时 n 13 / 47 b n I * ? ? b b a Pn?x?dx? ?f?x?l?x?dx?f?x?l?x?dx?Af?x? 14 / 47 a i i i i?0 i?0 a i i i i?0 15 / 47 n b 上式就称为插值型求积公式。更一般地，如果一种求积公式可以写为： I? ?f?x?dx a ?I * ? ?Af?x? i 16 / 47 i i?0 就称为机械求积公式，显然，插值求积公式就是一种机械求积公式。 、在上述的插值型求积公式中，特别地，当给定的 n?1 个节点是等距的时候，构造出来的求 积公式称为 Newton-Cotes 求积公式它的一般表达式可以写为： In?b?a?Ck k?0n ?n? f?xk? 17 / 47 ?n? 其中 Ck 称为 Cotes 系数。特别地当 n?1 时 Newton-Cotes 求积公式称为梯型求积公式，写 为： T? 12 ?b?a?f?a?f?b? 当 n?2 时 Newton-Cotes 求积公式称为抛物求积公式，写为： S? 16 ?b?a?f?a?4f? ? 18 / 47 ? ?a?b? ?f?b? ?2? 当 n?4 时 Newton-Cotes 求积公式称为 Cotes 求积公式，写为： C? 190 ?b?a?7f?a?32f?x1?12f?x2?32f?x3?7f?b? 其中 a,x1,x2,x3,b 是区间 ?a,b?的四等分点。 、为了估计上面求积公式的精度，引入代数精度的概念。如果一种求积公式 19 / 47 I? ?f?x?dx a b ?I * ? ?Af?x? i i i?0 20 / 47 n 对于 f?x?是 n 次代 数多项式时是精确成立的，但对于 n?1 的代数多项式不能再精确成立那么，就称上面的求积公式具有n 次代数精度。由概念可以直接得到这样的结论插值型求积公式至少具有 n 次代数精度。容易证明第二个结论：当 n 为偶数的时候插值型求积公式至少具有 n?1 次代数精度。由代数精度的概念出发，再加上积分中值定理可以得到一些低阶的求积公式的余项估计。 、梯型求积公式的余项估计为： R?T?I?T? ? b f?2 ? a 21 / 47 ?x?a?x?b?dx ? f?12 ?b?a?3,?a,b? 辛甫森求积公式的余项估计为： R?S?I?S? ? b f ?4? ? a 22 / 47 4! a?b? ?x?a?x? 2? 6 2 b?a?b?a? ?x?b?dx?f 180?2? 4 ?4? 23 / 47 ? Cotes 求积公式的余项估计为： 2?b?a?b?a? R?C?I?C?f 945?4? ?6? ? 、当用 Newton-Cotes 求积公式的时，当 n 很大时一样存在数值不稳定性。为了使用低阶求积 公式，并且能达到较高的计算精度，可以将区间 ?a,b?做若干等分，在每个子区间 ?xi,xi?1?上使用低阶 求积公式，这样的方法称为复化求积方法。若在子区间中用梯型求积公式就有： ? 24 / 47 b a f?x?dx? ? i xi?1 xi f?x?dx? ? i ?1? 25 / 47 ?x?xfx?fxi?1iii?1?2? ?T i i ?Tn 称为复化梯型求积公式；若在子区间上用辛甫森求积公式，就有： ? b a f?x?dx? 26 / 47 ? i xi?1 xi f?x?dx ? ?f?xi?1? ? ? ? ii ?1? 27 / 47 ?xi?1?xi?f?xi?4f?x1 ?i?6?2? i ?S ?Sn 称为复化辛甫生求积公式；同理可得其它的复化求积公式。 、复化求积公式的余项估计是先估计每个子区间的误差，然后再取和。其过程是简单的。几个简单复化求积公式的余项估计： I?Tn? b?a12 hf?,h 是区间 ?a,b?的等分步长 28 / 47 2 I?Sn b?a?h?f 180?2? 4 ?4? ? ?6? I?Cn 2?b?a?h?f 945?4? 29 / 47 6 ? 、由以上的误差估计式，在 f?x?较平坦、光滑的假设下，可以容易导出复化求积 过程的一个收敛加速算法： Romberg 算法，可以表示为 Tn?Sn?Cn?Rn? ? i ?1?x?xfx?fxiii?1?2i?1? 13Tn115163 (来自 : 海达范文网 :数值分析课程总结 ) 43 T2n? 30 / 47 16156463 SnCn S2n?C2n? 、 Romberg 算法可以实现的前提是 “f?x? 较平坦、光滑 ” ，如果这个条件不成立，那么 Romberg 算 法的收敛是值得商榷的。为了解决这个问题，利用一致逼近的思想可以找到一个高精度 的数值求积算法： Gauss 求积方法，它可以达到最高的代数精度为 2n?1。一般表达式可以写为： G? ?Af?x? i 31 / 47 i i?0 n 其中 xi,i?0,1,?,n 是 Gauss 点， Ai,i?0,1,?,n 是求积系数。 、利用一些插值方法可以求得在给定的那些节点上的微分值，这种方法称为数值微分。 三、例题 、确定下列 求积公式中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指出求积公式所具有的代数精度。 ?1? ? h ?h 32 / 47 f?x?dx?A?1f?h?A0f?0?A1f?h? 解：这是 n?2 的 Newton Cotes 求积公式，至少具有三次代数 精 度 。 由 此 可 以 确 定 它 的 系 数 ， 取f?x?1,f?x?x,f?x?x,f?x?x 可得以下方程组： 2 3 ?h1dx?A?A?A?2h ?101 ?h?h ?hxdx?hA?1?hA1?0?h 2 ?x2dx?h2A?1?h2A1?h3 33 / 47 3?h ?h333 xdx?hA?1?hA1?0?h 1?A?A?h?11?3? ?A?4h0?3? 如果取 f?x?x，它的积分真值为 I? 4 ? h ?h xdx? 34 / 47 4 25 h，如果用积分公式来计算则得到它的近 5 似值为 I? * 13 h? 5 13 h 35 / 47 5 ? 23 h，所以 I*?I，求积公式只具有 3 次代数精度。 5 、验证梯型求积公式只具有一次代数精度 证明：梯型求积公式为 T? 12 ?b?a?f?a?f?b?，取 f?x?1 时，有 ? b 36 / 47 a 1dx?b?a? 12 ?b?a?1?1?T 取 f?x?x 时 ? b a xdx? 12 ?b?a?f?a?f?b?T 37 / 47 2 取 f?x?x 时，积分真值为 ? b a xdx? 2 13 ?b 3 ?a 38 / 47