城市火灾蔓延的数学模型和计算机模拟.pdf

第【 0 卷第1 期 计 算 物 理 v 。 【 【 。 N 0 1 1 9 9 3年 3月 CHI NESE J O URNAL OF CO M PUTATI oNAL PHYS I CS Ma r 1 9 9 3 市 火 灾 蔓 延 的 数 学 模 型 和 计 算机 模 拟 黄 维 章 张 锁 春雷 光 耀王 贴 仁 _ 科 ； ； 究 所 北 京 o0o80 ) ) T ra c t 0 - lf ， 姑 烧 t 筑 上 。 ： 圈 4 令 ： ， ( r ) 表示飞火沉落 区所形成 的角度 ， 表示从 一幢燃 烧建筑 由于 飞火 形成 的楔 沉落区的角度 的一半 。 表示块 ( f ， ) 中边长 ， 的内法线 方向与风向所构成的 角度 () 设 P ( r ) 表示 在任意风 向下 间距 为 r的飞火 蔓延 概 率+ 显然 存 在有 P ( r m ) ：0 。这 里 r m 为飞火 到达 的最大距离 。如果一 幢未燃烧 的建筑是处在 已着火建筑 的飞火 楔形沉落 区内， 则它可能点燃 的概 率应 为 P ( ， ) 。 首先考虑在同一块 内建筑 间飞火 的蔓延。 ( I ) 考 虑从 一幢燃烧的建筑 引起 同一块 内建 筑着 火 的期望 数 。 当然先 决 定 随着距 离从 r 到 ， +Ar 增加时 ，在 给定 角度 2 p?内 由燃 烧 建 筑 引起 未燃 烧 建 筑 的期 望 数 是 2 ，这 是 因为 2 r l r A r表示 面积，一P 表示 单位 面 积上 未燃 烧 建筑 数， 故 由一幢 燃烧 建 筑 由于 飞火 点燃 r 到 r + ， 问建筑 数是 詈 半 P ( 4 ) 对 r 的所 有 值 积 分 可 得 2 I ， ) 詈 ， 等 等s l 1 【 5 】 其 中 ； 孚， s - ： ： f ( ， ) ( ) 这就是一幢燃烧 建筑 由于 飞火 能点燃 其它建筑的个数 ( 2 ) 考虑位 于块 0( i ， ， ) 中一 幢燃 烧 建筑 由于飞 火 蔓延能 点 燃邻 近 块 中建 筑 的个 数。 由 图 4 ， 先任意 选取角度 ，考虑在这个角 度范 围内建筑 的着 火数 ，此 角度 稍 后将 根 据风 向和 沉落区面积所对应 的角分布 来确定。 因为是 在块1中考虑 ，公 式 ( 5) 中的 积分 下 限应 从 ， 开 维普资讯 2 计 算 物 理 第 1 0卷 始 ， 角度 2 换 成 ( r ) ， 因而 有 其 中 r CO ( r ) = L 号J ， r ) 詈 卉 。 ( ) ， r r c o S o ， r r c o s _ 0， 号 ， c 。 ， 号 ( 7) ( 8 ) 由于 与块 I问的距 离从 R 到 R +L 中任 幢燃烧 建筑 的飞 火 对 块 i都有 贡 献 ，其平 均效 果 为 ( 为 飞 火 所 能 到 达 的晟 大距 离 ) 一 专 j j r ) ( r ) 詈 专 ( , R k ) (9 ) 其 中 一 + _ n ， j r ) 詈 rd rd r ( 10 ) 这就是在块 0中任 一幢燃烧建筑 由于飞火点燃块 1中未燃烧建筑 的平均个数 ( 3) 考虑 块 0对 k块 ( =1， 2， 3， 4) 的 影 响 见 图 3 ， 表示风 向与 内法 线 方 向 的 夹 角 2 r 表示飞火的角分布，_n 的确定 ( 按反时针方向计 ) ，若 。 = 一 一 2 ， 则在 块中有飞火沉落物 如果 的变化范围是从 0到 2 ， 则沉落区将 由 角和 妒 =mi n 一 +r ， 2 角所界。若 O ， 则沉落区由两部分之和组成 第一部分是由O角和 角所界 ； 第二部分是由 0角和 一mi n 一 + + ， 2 角所界，此时将上述的角度代人 ( 1 0) 中的 ，且令R =0，记为S I 2( k) 。 f 0 ， 2 S I 2 ( k ) = ( 2 ， 0 ) 一 ( l ， 0 ) ， 0 1 2 ( 1 1 ) l ( ： ， 0)一S ( 3 ， 0)， 1 0 此 时 ( 9) 可 改 写 为 一 S I 2( ( 1 2 ) 在 块 O中距 k边 的距 离为 内有 建 筑 的 概 率 近 似取 为 一A 。 这 里 表 示 块 0建 筑面积 ， 表示 k边界邻 接建筑面积 的长 度。 因此在 块 0的建 筑 面积 内任 何 地方 假 定燃 烧 建筑点燃 k块 中建筑 的期望数为 S I 2 ( k) ( 1 3 ) 对 k求 和 得 到 在 4个 块 中所 有 着 火 建 筑 的 期 望 数 为 P Z D S I 2 ( ) ： 2 - ) ： 吾主 s I 2 ( ) 粤 圭 s I 2 ( ) ( 1 4 ) k-l I 以 1 ( 4 ) 最后 通过飞火平均一幢 已燃建筑所 能点燃在同一块 内的未燃建筑幢数 为 粤 【 S I 1 一 s I 2 ( ) = 一N S B I ( f ， ) ( 1 5 ) 维普资讯 第1 期 黄维 覃等 ：城 市火 灾蔓 延的 数学 模型 和计算 模拟 I 3 其次考虑在相邻块 k中建筑间飞火 的蔓延 可充分利用 ( 9) ( 1 O) 的表 达式 ， 只要 将 图 4中的块记号改变 ， 原块 1 变换成块0 ， 原块0 变 换成块 1 ，图3保持相 同。只要将 飞火沉积 区改变使 得 飞火 源 不是 在块 0中， 而是 在 块 1， 2， 3， 4中 。 当 = 一 2时 ，在 块 0中无 飞火 沉 积 区 ； 当 0 2时 ，沉 落 面积 是 由 角和 =mi n f ， 2 ) 角确定 ； 当 O时，沉落面积由两部分组成 ：第一部分面积是 位 于角 0和角 一 一 之间 ，第二 部分是位于角 0和角 之间 。此 时用上述这些 角代 替 ， 所 对 应 的 ( ， R ) 记 为 s o ( k，R ) ， 即 r 0 ， - 2 S o ( ， R ) = ( ， 女 ) 一 ( ) ，0 2 ( 1 6 ) L ( ， R ) + ( ， R )， 0 因此 从 k边 距 L 之 内任 一 幢 燃 烧 建筑 的 飞 火 到 块 0中点 燃 建筑 的期 望 数 为 i ( k，Rt ) ( 1 7) 更加 方便 的表达式 是考虑块k中的 建筑 区 内任一 建筑 ，允 许上 式 乘 以 L A ， 表 示 连 接块 0和块 k建筑 面积问公共边界 的长度，A 表示块 k中建筑 面积 的大小 。因而有 一生 s B o( f J A A A ) 这就是在块 k中任意一幢燃烧 建筑所能 由飞 火点燃块 0中未燃建筑 的期望 数 3 火灾 蔓延 的动 态演变 利用公式 ( 3) 、( 1 5 ) 和 ( 1 8) 来讨 论火 灾 随 时间 的演 变。 当考 虑 到时 间 因素 时 ，必须 注 意到 ： 辐射蔓 延从 单个房 间火焰窜到整 幢房 子着火之间都 有可能发生 ，而 飞 火 蔓延 则 一般 在 整幢房子 处于大火之 中或者房屋倒塌后才有 可能 由于建筑是各式各样 的，故这方 面 的情 况 只能是统 计平均性质 的。根 据 【 1 】 考察 了一大批建筑 的起 火条件 和屋顶倒塌 的 时 间 ，结 果 表 明一般 燃烧 建 筑 自着火后 约 2 0分 钟 到 1个多 小 时期 间 内 可能通 过 辐射 形式 蔓 延到 其 它建 筑 。 因此可认为房 间火焰窜 出大约需要 2 0多 分 钟，然 后 约花 4 0分 钟 才能使 房屋 倒 塌 考 虑到一幢燃烧建筑 在一 段时 间 内都 有蔓 延 的 可能， 为此 定 义两 个数 组 P ERR ( L) 和 P ER B ( L) ( 见表 1 ) 分别表示 在建筑起 火 1 5( L一1 ) 分钟 后对 相邻建筑通过 辐射 和 飞火 蔓延 的可能 性 。 计算 中采用 的时 间步 长为 1 5 分钟。假定 时刻 f 有 B N ( i ， J ) 幢 建 筑 被 点 燃， 则 分 别 有 PE RR ( L BN ( i， )，PERB( L) 十BN ( i ， )幢 建 筑 成 为 时 刻 f +1 5 表l PERR和 PERB l 2 3 4 5 6 起火后时间 ( 分钟 ) 0 l 5 3 0 4 5 6 0 7 5 PERR f L ) 0 0 1 f 4 1 2 1 f 4 0 PERB( L) 0 0 0 0 3 f 4 I f 4 +( L一1 ) 时刻 的辐射 和飞火 的引火 源，分 别存 放 在数组 T RR ( i ， L) 和 TRB( i ， ， L)中。 若变量 ， 6 N 和 ( k=1， 2， 3， 4) 分 别是 在时刻 f同一块 ( i ， J ) 中 的辐 射、飞火 蔓 延源建筑 幢数 以及块 k的飞火源幢数 ，则 在 f + 1 5时 间内，将有 B N( i ) 一6 N S R( ) + - S B I ( ) + S B O( f ， k 一N ( 1 9 ) 】 维普资讯 1 4 计 苒 物 理 第 l 0卷 幢 未 燃 烧 建 筑 被 点燃 。 在进行下 一时问步之前 ，显 然 ， TRR ， I F RB都 已有 变化 ，其计算公 式为 ： TRR ( i ， J， L+1 ) ： =TRR ( i ， ， L) +PE RR ( B N ( i ， ) TRB( i ， J， L+ 1 ) ： =TRR( i ， ， L) +P ERB( ) 十 B N ( i ， J ) 。TRR( i ， ， L) ： TRR( i ， L+ 1 ) TRB ( i ， J， L) ： TRB( i l ， ， L+ 1) 这样就 可 进行 下一个时 刻的计算，实现其动 态演 变的过程 。 4 数 值 试 验 例 子 为 了证 实前 述的概率统计性 质的数学模 型的可行性 和有效 性，对理想化 了的城 市 描述 在 计算机上进行 了模拟计 算。整个城 市取成 4 1 英 里见 方的面积，分成 41 4 1个 1 英里 见方 的 小块 设城 市 中心位于块 ( 2 1 ， 2 1 ) 的 中心 处 建筑 类 型、建筑 物l甲均尺 寸 及 建筑 密 度 的 值见表 2 。若块 ( i ， ) 的中心处到块 ( 2 1 2 1 ) 的 中心处的距离记为 d 表2 ， 和 p 建兢 类 建筑物 平均 尺寸 建筑 密度 说 明 ( ) ( ) ( p) 空地 l 一 2 l 8 3 0 3 0 城 区 3 l 2 2 0 2 5 近 城区 4 9 【 5 0 l 5 远 城仄 N v ( i ， ) =3 L4 d6( 英 里 ) 6 l 0( 英 里 ) 取 ( f ， ) =0 9 6 3 0( m ) ， D ( i ， )= l 5 7 9 ( m ) ， R ( J 3 0 ( 1 n) 。关于 ) ， ) ， ( ) 等参 数 取 自 1 中 日本 广 岛市 由于核 爆 炸 引 起火灾 的参数 ( 见 表 3，4) ，飞 火 与风 速 的 关系取 自 【 3 中的经 验 数据 ( 见表 5 ) 由于 广岛市的建 筑 多数是 木质结 构 ， 易于 飞 火蔓延 对现代城市建筑使用 这些 数据时应乘 因子 ， 给 予适 当的修正。 表3 广岛火灾蔓延概率值 距 离 r( 英 尺 ) 0 6 25 l 2 5 l 8 7 5 2 5 3 1 2 5 3 7 5 P 0 7 871 0 77 42 0 745 2 0 67 68 0 49 1 5 0 2224 0 1 29 0 P 0 07 8 06 0 0 7258 0 06 77 4 0 06l 29 0 0 5806 0 05【 61 0 048 39 P 0 709 0 7 02 0 677 0 6I 6 0 43 8 0 I 7【0 08 06 43 75 50 5 6 25 62 5 6 8 75 7 5 81 25 尸 0 09355 0 0 74 I 9 0 05 806 0 0 48 0 0038 70 0 032 26 0 028 39 尸F 0 0435 5 0 0 4032 0 0 3548 0 0 320 0 0 290 0 026 45 0 025【 6 P 0 050 0 0 0339 0 0226 0 01 6 0 0 097 0 0 05 8 0 0 03 23 8 7 5 9 3 7 5 1 0 0 I 2 5 1 5 0 2 0 0 3 0 0 P O 0225 8 0 0【 935 0 0I 61 3 0 00968 0 00645 0 005 48 0 003 23 r 尸d 0 022 58 0 0l 935 0 01 61 3 0 0096 8 0 00645 0 I ) 0548 0 003 23 尸 0 0 0 0 0 0 0 为 了能 与广 岛市 核爆火灾蔓延作定性 比较，在试算 中每块引入 由核爆炸 所点 燃 的 建筑 物 的幢数 UB N ( i ， ，以及爆炸严重损失 区的范 围数 据 。本数 学 模 型 中涉及 到 的有 关 积 分公式 ，如 S B1， ( ， R ) 等，其数值离 敬化处理见 附录。 维普资讯 第 1期 黄维章等： 城市火灾蔓延的数学模型和计算模拟 表4 分布 F。 ( ) 值 0 O 1 O 2 0 3 0 4 O 5 0 6 O 7 O 8 0 9 l 0 F 0 0 0 20 O 0 305 0 3 63 0 392 O 4I 3 0 43 0 0 449 0 472 0 5 00 0 5 38 1 1 1 2 1 3 1 4 l 5 1 6 2 0 2 4 2 8 3 2 3 6 ，R 0 5 87 0 65I 0 736 0 777 0 8I1 0 83 8 0 89 0 0 92 0 0 9 40 0 95 0 0 9 66 4 0 4 4 4 8 5 2 5 6 6 0 6 4 ， 0 9 74 0 97 7 0 983 0 9 86 0 989 0 9 9l 0 99l 裹5 飞火 与风速 风速 ( m s ) 最大 飞火距离 ( m) 风速 ( m s ) 最大飞火距离 ( m) 9 0 780 l 3 O 275 0 9 2 650 l 5 O 950 9 5 650 l 8 O 1 5 00 1 0 0 5 00 2 0 O 8 00 数值模拟 的计算 结果 见图 5 7 。图 5是 火灾 蔓延速 度 图， 图 6是 辐射 和 飞 火分别 蔓延 的速度 图。其 中 f 为时 间，是以 1 5分钟为一个 单位 的。TBN ， TB R， TB B的定义分别如下 TB N ( T B R r f ) ： 里 垦 二呈 墨 二! ! BTOT TBB( 这 里 B T OT一整 个 城 市 的 总 建 筑 幢 数 。 B NT OT( t ) 一f 时刻整个城市 已燃烧 完毕和正在燃烧 的建 筑总幢数 。 BNR( t ) 一f 时刻 整个 城市 由辐射蔓延 引起 的燃 烧完毕和 正在燃烧的建筑 总幢数 BNB( f ) 一t 时刻整个城 市由飞火蔓延引起 的燃烧完 毕和正在燃烧 的建筑 总幢数 图 7是 火 场 蔓 延 随 时 间 变 化 的 演 变 图 每 个 小 图 是 相 隔 2个 小 时 + 故 总 的 是 一 天 之 内 ( 2 4小时 ) 火灾燃烧情况 的反映。 其 中图中每 个符号 的含义是 空 白 表示投有燃烧 ， G( i ， ， ， f ) 。 0 2 0 = = = 4 0 = 6 0 二 8 0二1 o o I 们 ， f 以 I 5仆钟 汁 1 5 火灾蔓延速度 毒 一 ， ( 时州、单位 】 5讣钟计 ) 图 6 f El 址谜 维普资讯 计 算 物 理 第1 0卷 = 0： ： 表 示 0G ( ， ， r )I C ( 计 算 中 取 I C=0 3) ： T ： 表 示 F I CG ( f ， J， t ) 0 5； C ： 表 示 0 5 G ( f ， ， t )0 9； “ M ： 表 示 0 9 G ( f ， ， f )1 。 块 ( i ， ) 的 函 数 G ( f， ， t ) 定 义 是 r ” 一 5 几 点 结论 呈 ! ! ! ! B TOT ( i ) 圈7 场 蔓 延演 娈 图 1 从 图 5 6中 看 出 ： 在 23小 时 内 火 势 蔓 延 最 为 迅 速 ， 约 在 4小 时 内 燃 烧 主 要 发 生 在初 始 点 燃 区域 火 势 明 显 有 向外 蔓 延 趋 势 约 在 6小 时后 建 筑 几 乎 完 全 烧 毁 ， 火 势 明 显 减 弱 7小 时 后 几 乎 以 一 个 恒 定 的 低 速 度 蔓 延 ， 持 续 到 2 4小 时 ， 定 性 上与 1 的 结 果 是 一 致 的 。 2 从 图 7中看 出 ： 整 个 火 场 的 火 势 向 风 向方 向移 动 。 几 个小 时 后 火 场 中 西 南 方 向 的 块 几 乎燃 烧完毕不再蔓 延 约 1 0个小时 后 初始 点燃 区几 乎完 全 烧 毁 ，这 与 E l 本 广 岛 的 情 形 基 本上 是 一 致 的 。 总 之 ， 通 过计 算 实践 我们 认 为 对 城 市 作 适 当 的 简 化 描 述 提 供 其 有 关 的 参 数 ， 利 用 该 模 型在计 算机 上作 火灾 蔓延的动态模拟 ，从 而取得火势发展 的信息和 资料 ，这 对城 市 火灾 的 扑 灭 和 防 治 具 有 实 际 的 指 导 价 值 。 致谢感谢 总参 】 ： 程 兵 一所对车 工 作的指 导和 帮 助 维普资讯 一 第】期 黄 维 章等 ：城 火灾 蔓延的 数学 模 型和计 算模 拟 7 附 录 有 关 积 分 的 数值 处 理 A S R ( p) ： s 哳 ， 孚 - ； c孚 ， ) + 1 ) J ( ) ( 半) 2 P ( 一 ) F ( r p ) +【 P ( r ) 一P ( ，) F ( ) ) 其 中 N =1 5 ， r i =1 9 0 6 2 5( 卜 1 ) 米 ， 1， 2， ， 4 ， r l 5 2 5 9 2 5米 ，F ( O) =o ， P ( ) 一0 当 时，P ( r ) o a F ( ) 是根据表4结定的F ( ) 值作线性插值得到。 B SI1： 川 B( r) r d r =2 一1 r 2 I P ( ， ) + m + 故 有 P8( r 1 )一P ( ) P日( )一P8( r ) )_ rl + ir ( r r ) 了 1 ( r r ) r ： 。 1 了 1 r P ( r ) + 了 1r e+ ir i - ， 一 j 了 J l r I J + 【 了 - 一 s n = c r - ， P口 ( ， )一P日( ， ) ， +】 一 1 r, + i rf-ri + i r e ( r i+ ) 百 【一 ) 这里 N =3 5， =1 9 0 6 2 5( i 1) 米 ， i - l ， 2，- - ， 1 7； =3 0 5 4 - 7 6 2 5( i 一 1 7) 米 ， i = 1 8，一， 2 1： r 2 2 7 6 2 5米 ； r 2 一9 1 5米 ； r 一9 1 5 +( B 一9 1 5) ( f 一2 3) 1 2 米 ， 2 4， ， 3 5 。 其 中 是 最 大 飞 火距 离 ( 米 ) ， 在 程 序 中 B 的取 法 如 下 ： 当 风 速 低 于 9米 秒 或 大 于 2 0 0米 秒 时 ， B 一4 5 7 1 5米 ( 1 5 0 0英 尺 ) ：当 风 速 在 9 米 秒 ，2 0 0米 秒 之 间 时 ，按 表 5作 线 性 插 值 得 到 。 对于 P ( r ) 的值 ： 当 r 9 1 5米 时 ， 通 过 P ( 9 1 5) 和 P ( 占 ) =0作 线 性 插 值 而 得 。 C S B ( ，R ) 记 L rai n R 4 - L ， B ) ，很 显然，若 R B ， 则 s B( ， R ) 一0 因此 以下设 R B 。 维普资讯 8 计 算 物 理 第 t 0 卷 则 令 S B ( ， R ) 肌 ； G r = ； c， r ，dr - r d r d r = 詈 = r ,v 刍 i 1 【 G ( ) + G ( ， ) 1 r = 亩 三 【 G ( r l， ) + G ( r ) + 2 t互 - iG ( r lr ) 1 其 中 =3 5 ， ( i -1 ) l1 2， 对 5-O 【 r J 明 计 算 公 瓦 推 导 如 ： 若 r ， ，则 G ( ， )=0； 若r ， B 时， 设r i ， r ( 1 f N一1 ) ， 其 中 r 的定 义 如 B 中 ，那 么 序 = 【 一 1 r i_ 1r r 一 言r 2 ( - ) ， ( ， + - ) + 【 + ri e r + 1- 了1 ， ( ， ) ， ( ， ) + ： - _ ( ) 其中注意到 _( r ) =0和 P ( ， ) =0 。 参 考 文 献 1 A N Ta k a t a ， a n d F S a l z b e r g： De v e l o p me n t a n d Ap p l i c a t i o n o f a Co mp l e t e F i r e S p r e ad M od e l Vo1 I ，AD 68 48 7 4 1 96 8 萨格 拉 斯 顿 主编 ： 核 武 器 效应 ， 国 防出 版 牡 ， l 9 6 5 公 安 部 人 民 警 察 干 部 学 校 编 ： 灭 火 战 术 ， 群 众 出版 社 ， 1 9 8 0 S h a oLi n Le e 。 a n d J M He l l ma n： S t u d y o f F i r e b a n d Tr a j e c t o r i e s i n a t u r b u l e n t S wi r l i ng Nat ur al Conv e c t i on Pl ume Co mbus t i on g Fl ame ，1 9 6 9 1 3： 6 45 65 5 I b i d：F i r e b r a n d Tr a j e c t o r y S t ud y Us i n g a n E mp i r i c a l Ve l o c i t yDe p e n d e n t B ur n i n g La w Combus t i on Fl ame ，l 9 7 0 1 5： 26 5 2 7 4 A A Br o y l e s： Nu c l ea r Ex p l o s i o n s ， Am P ， 1 9 8 2 ， 5 0( 7) ： 5 8 65 9 4 牛凤 翔 编 ： 核 爆 炸 标 准介 绍 ， 国 外 核 试 验 技 术 ， 1 9 8 4 ， 7( 3) ： 1 2 6 1 41 AABr o y l e s：S mo k e Ge n e r a t i on i n a Nu c l e a r W a r ，AmJ P ， 1 9 8 5 ， 5 3 ( 4)： 3 23 3 31 H W Emmons： S c i e nt i fic Pr og r e s s on Fi r e ，Ann Re v Fl u i d M e c h l 9 8 0， l 2： 22 323 6 2 3 4 5 6 7 8 9 维普资讯 第1期 黄维章 等 ：城市火 灾蔓 延的 数学模 拟 和计算 模拟 9 A M ATH EM A TI CAL M o D EL o F A N U RBAN FI RE SPREA D A N D C o M PU TER SI M U LA TI o N H u ang W e i z ha ng，Z h an g Suo c hu n，Le i G ua ng ya o，a n d W an g Y i r e n I n s t i t u t e o f A p p l i e d M a t h e ma t i c s ， Ac a d e mi a S i n i e a， P 0 Bo x 2 7 3 4 ， Be ij i n g l 0 0 0 8 0 ，Ch i n a ABS TRACT The ob e t i v e of t hi s s t ud y i s t o de ve l op a mat he m a t i c a l mo de l f or c a l c u l a t i ng t h e i n i t i a t i on a nd s pr e s d of fir e r e s ul t i n g f r om a n a t t a c k on an ur ba n a r e a，an d t o appl y t h e mod e l fo r pr e di c t i ng t h e fir e d e p e nt de nt fir e da m a g e t o a n a s s um e d c i t yThe nu m e r i c al t e s t i s o bt a i ned v al uabl e i nf or mat i on by us i ng t h e pa r a m e t e r s o f fir e s pr e a d f r om J a pa ne s e Hi r os h i m a Th e mod e l t o be d e v c I o ped l s i nc l ude d t o de t e r