圆锥曲线数学基础实验.pdfVIP

华南师范大学 数学科学学院 1 数学实验报告数学实验报告 实验序号：5402日期：2018年 4 月23日 班级： 数科 164 班组别：2 1. 实验名称：关于圆锥曲线产生的三个经典实验 2. 实验目的：重历圆锥曲线产生的三个经典实验梅内克缪斯的割圆锥法、阿波罗 尼奥斯（Apollonius）的割圆锥法、Dandelin 双球实验，使学习者深入了解圆锥曲线的 起源，获得对圆锥曲线的直观感知。以数解形，以了解解析几何在解决实际问题中的作 用。 3.实验方法： 关于圆锥曲线产生的三个实验： 课件模拟实验、制作模型、flash模拟 4.实验器材： 关于圆锥曲线产生的三个实验： 文件袋、透明胶、双面胶、剪刀、兵乓球、墨水、课件、flash 华南师范大学 数学科学学院 2 5.实验过程：（操作步骤、异常情况报告、处理方法） 一关于圆锥曲线产生的三个经典实验 （一）梅内克缪斯割圆锥法最早对圆锥曲线的命名。 1、背景： 公元前4世纪，希腊著名学着梅内克缪斯研究了平面与圆锥的截线，并称为圆锥曲线. 他 取三个正圆锥：把两条母线最大交角为直角的叫“直角圆锥”；若是锐角则称为“锐角 圆锥”； 若是钝角，就称为“钝角圆锥”.然后各作一平面与母线垂直，平面与圆锥面 相交产生的截痕分别称为“直角圆锥曲线”、“锐角圆锥曲线”和“钝角圆锥曲线”（见 下图），这被认为是 古希腊的圆锥曲线定义“截面定义”的开始。值得注意的是，梅 内克缪斯虽然推导了圆锥 曲线的一些性质，但并没有建立焦点、焦半径的概念. 2、操作： 用软硬适中的卡纸做出三个圆锥面（锐角、直角、钝角）。在圆锥面的内侧 画一条母线，往圆锥面倒进一定量的水（必要时调一点颜色，使比对，倾倒液面到 与所画母线垂直，观察液面与圆锥面相交的截痕.能分辨出这里的“直角圆锥曲 线”、“锐角圆锥曲线”和“钝角圆锥曲线”是椭圆、双曲线还是抛物线吗？ 3 华南师范大学 数学科学学院 答：如图所示，这里的“直角圆锥曲线”、“锐角圆锥曲线”和“钝角圆锥曲 线”分别是双曲线的一支、椭圆和抛物线。 华南师范大学 数学科学学院 4 （二）、阿波罗尼奥斯割圆锥法定义三种圆锥曲线. 1、背景： 希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（公元前262年-公元前190 年）在他的经典巨著 圆锥曲线论中，用一个平面以不同的角度与同一圆锥面相交，产生三种不同交线， 分别得到椭圆、双曲线和抛物线并对三种曲线予以流传至今的命名.这项工作被认为是对 古希腊的圆锥曲线定义截面定义的明确和完善.阿波罗尼奥斯在圆锥曲线论中不 但很好地回应了梅内克缪斯推导的圆锥曲线的定义，还给出了焦点、焦半径的定义，并通 过8个命题的证明，推导出椭圆具有基本性质：“椭圆上任一点处的焦半径之和等于长 轴”注意，在阿波罗尼奥斯的工作中，这一命题还只是椭圆性质必要条件. 2、操作： （1）.观看课件阿波罗尼奥斯的割圆锥法了解阿波罗尼奥斯得到圆锥曲线的方法. 华南师范大学 数学科学学院 5 （2）利用flash模拟通过切割圆锥获得圆锥曲线的过程，来了解用一个平面以不同 的角度与同一圆锥面相交，产生三种不同的交线，进而得到三种不同圆锥曲线。小 组组员依照课件圆锥曲线，制作了一个 flash 动画圆锥曲线，对圆锥曲线的阿 波罗尼奥斯割圆锥法有了更深一步的认识。 a、切成抛物线 b 、切成双曲线 c、切成椭圆 华南师范大学 数学科学学院 6 （三）、Dandelin 双球实验 1、背景： 17 世纪，笛卡尔几何学中对圆锥曲线的研究推动了对圆锥曲线画法的研究。法国数 学家洛必达抛弃了古希腊人的定义方法（截面定义） ，在圆锥曲线分析中，将椭圆直接定义为 “到两定义距离之和为定值的动点轨迹” 这与当前教材中椭圆的第一定义完全一致，并由此推导了椭圆方程值得注意的是， 这种工作尚有把“必要条件”当成“充要条件”用的嫌疑。1882 年，著名数学家，工程学家 Germinal Pierre Dandelin 设计了举世闻名的Dandelin 双球实验。 Dandelin 在圆锥里 上、下各塞进内切球，使两个内切球同时与一平面相切，一方面获得阿波罗尼奥斯所指的椭 圆，另一面构造出椭圆两个焦点 两球面与切截平面的切点。这样，Dandelin 双球实验证实了椭圆的存在与焦点的存在 是同一件事，从而填平了古希腊圆锥曲线的“截面定义”和 17 世纪椭圆定义（到两定义距 离之和为定值的动点轨迹）之间的鸿沟。 2、操作 第一步，试完成如下操作： （1）裁剪文件袋，使之成为一个圆柱形容器，圆柱形容器的底面圆直径为乒乓球的直径。 （2）用圆柱形的容器装半杯水。 （3）把两个乒乓球先后放进杯子中。 （4）调整杯子中两个小球的位置，使两个小球相切。调整水量，使水面与两个小球都相 切。 华南师范大学 数学科学学院 7 第二步，试完成如下操作： （1）拉开小球的距离，类似的，调整水量和水管的倾斜程度，使得水面和两个小球都相 切，如下图所示，水面轮廓的形状是怎么样的。 水面轮廓近似椭圆，随着小球距离的拉开，椭圆变得越来越“扁”。 （2）水面轮廓上点到水面与球的切点的距离相同吗？ 答：水面轮廓上的不同点与其中任意一个球的切点的距离不同。 （3）如果不相等，猜想一下水面轮廓上的点有没有什么数量上的特征或满足什么样的 数量关系？ 答：水面的轮廓是椭圆。水面轮廓上的点和两球与水面形成的两个切点的距离之和 是定值。如图所示， （4）水面轮廓的形状和大小由什么因素决定？ 答：圆柱形管的倾斜程度。管子放置得越倾斜，水面轮廓面积越大，形状越“扁”。 华南师范大学 数学科学学院 8 （5）上述结论说明水面轮廓是怎样的曲线？ 答：水面轮廓上一点 P 到两球与水面相切形成的两个切点的距离之和为 定值，说明水面轮廓是椭圆。 综合上面三个实验，我们可以知道：圆锥曲线都可以通过平面与圆锥切割得 到。当平面与圆锥的高斜切时，可得到抛物线或者椭圆（当平面与圆锥的高垂直切割时， 可得到一个圆；）；当平面与圆锥的高平行切割时，可得到双曲线。三个实验向我们展示 了生活中的圆锥曲线，圆锥曲线的第一定义则是对圆锥曲线的几何性质作出了概括。 华南师范大学 数学科学学院 9 6.实验结果： （1） 梅内克缪斯割圆锥法（最早对圆锥曲线的命名） 梅内克缪斯用垂直于一条母线的平面去截这三种圆锥面，得到三种不同的截痕. 我们小组通过制作纸模型进行探究，发现锐角圆锥上的截痕是椭圆，直角圆锥上的截痕是 抛物线，钝角圆锥上的截痕是双曲线中的一支。 （2）.阿波罗尼奥斯割圆锥法 定义三种圆锥曲线通过课件和几何画板对同一个圆锥切割，有如下三种情况： A、截面与圆锥面的母线平行（不经过圆锥顶点），则为抛物线。 B、截面与两个圆锥面各自一侧都相交(不经过圆锥顶点)，则为双曲线。 C、截面与圆锥面一侧相交，交截线是闭合曲线的时候（不经过圆锥顶点且不与圆锥底面 平行），则为椭圆。注：截面与圆锥底面平行，则为圆。 （3）. Dandelin双球实验 通过制作模型，发现水面轮廓近似为一个椭圆，水面轮廓上的点可以看做是椭圆上的 点。同理可将两个球与水面的形成的两个切点可以近似看做椭圆的两个焦点.。在两个小 球距离拉开的过程中，椭圆变得越来越“扁”，面积逐渐变大.。水面轮廓上的点与两 球和水面的切点的距离之和等于两球与杯壁同一侧（在平行于圆柱母线的同一条线上） 切点的距离之和，而两球与杯壁同一侧（在平行于圆柱母线的同一条线上）切点的距离 之和为定值，则水面轮廓上的点与两球和水面的切点的距离之和为定值。 华南师范大学 数学科学学院 10 7.实验总结：（结果分析、实验过程中的体会） 1、通过观察课件切割圆锥，发现从不同位置切割圆锥，可以得到不同的圆锥曲 线，如双曲线，椭圆等等。形象生动，直观易懂。 2、数学从生活中来。通过亲自动手制作模型，一方面使我们形象直观地观察到水面 轮廓由圆变成椭圆的渐变动态过程；另一方面，在通过倾斜圆柱形水管观察水面轮廓由圆 变为椭圆的过程中引发思考：圆具有圆心，圆的轮廓上的任意一点到圆心的距离大小相 等。椭圆是否也有这样的性质呢？椭圆是否同样具有“椭圆心”，使椭圆轮廓上每一点到 椭圆心的距离相等。我们发现两个小球与水面形成两个切点。猜想这两个切点便是“椭圆 心”。通过观察验证，水面轮廓上的不同点与其中任意一个球的切点的距离不同。说明 “椭圆心”并没有“圆心”的性质。结合所学知识，球外一点与过该点的球的任意切线的 切点距离相同，从而得出水面轮廓上一点到两个“椭圆心”的距离相等。合理的猜想也许 是错的，但是通过观察发现其实“椭圆点”也有“圆心”的性质：圆的轮廓上任意一点 到圆心距离的 2 倍也是定值，圆心是两个“椭圆心”距离趋于无穷小的极限。 3、 Dandelin双球实验中，因为乒乓球浮力较大，而圆柱形水管底部半径做得太 大，所以乒乓球容易走位，故小组成员用手按住圆柱形水管以观察截面形状。但是挤 压水管会导致截面形状发生改变，不再是正规的椭圆。因此小组成员重新制作水管， 底面半径恰好为乒乓球的半径，把容器弄严实。 1.圆锥曲线定义经历了怎样的抽象过程？ （1）梅内克缪斯割圆锥法最早对圆锥曲线的命名 取正圆锥，作一平面与母线垂直，平面与圆锥面相交产生的截痕为圆锥曲 线“截面定义” 没有建立焦点、焦半径的概念。 （2）阿波罗尼奥斯割圆锥法定义三种圆锥曲线 用一个平面以不同的角度与同一圆锥面相交，产生三种不同的交线，分别得到椭 圆、双曲线和抛物线。并给出了焦点、焦半径的定义，并推导出椭圆的基本性质“椭圆上 任一点处的焦半径之和等于长轴”（此时该命题还只是椭圆的必要条件） （3）Dandelin 双球实验 抛弃截面定义，将椭圆直接定义为“到两定点距离之和为定值的动点轨迹”，并 华南师范大学 数学科学学院 11 由此推导了椭圆方程。 在圆锥里上、下各塞进内切球，使两个内切球同时与一平面相切，一方面获得椭圆，一 方面构造出椭圆的两个焦点两球面与截面平面的切点。 Dandelin 双球实验还证实了椭圆的存在与焦点的存在是同一回事。 2.这里焦点的发现有怎样的重要性？有其他彰显圆锥曲线特性的量吗？ 发现了焦点的存在及探究了其相关性质后，数学家们采用发生式定义方法给予圆锥曲线 更为科学、明确的定义，有利于大批解析几何视角下的圆锥曲线研究成果的产生。 其他彰显圆锥曲线特性的量：离心率，短轴，长轴，渐近线，焦点，实轴，虚轴，准 线等 3.如何看待圆锥曲线的多种定义？ 通过查阅资料，观看课件，我们小组了解了圆锥曲线的历史。最早发现圆锥曲线的 是古希腊的一位数学家梅内赫莫斯，他首先用平面去截圆锥面得到圆锥曲线。所以截面 定义是最基本、最直观的定义,同时由著名的Dandelin 双球模型（与圆锥和椭圆截面 都相切的两个内切球）“平面斜截直圆锥的截线为圆锥曲线按照截面与母线的夹角不同 可以得到椭圆、抛物线和双曲线”,才进而推出高中课本所给我们下的圆锥曲线的定 义。例如书中给我们下的椭圆的定义是椭圆上的点满足“到两定点距离之和为定值”。 同时，Dandelin 双球还可以推出椭圆的其他等价性定义（如到一个定点与一条定直线 距离之比为定值小于的点的轨迹和椭圆离心率的定义，这些定义都不是直观的定义，而 是通过几何推理法，反映椭圆的特征性质）。双曲线、抛物线也是类似。相比较其他一 些枯燥乏味的数学内容,Dandelin 双球模型是极其美妙的数学构造,能激起学生的学习 兴趣。 4.怎样看待有七种作图法都能成功作出椭圆？ 虽然有七种作图法可以成功作出椭圆，但是尺规作图不能达到完全精确，有些产生的误 差也相对较大， 作出的只是精确度不同的近似椭圆。下面对其中几种作图法进行探讨： （1）轨迹法：先利用两个钉子、一根绳子和一支铅笔作出椭圆。这是高中课本提供的 华南师范大学 数学科学学院 12 一种基本的椭圆的作图法。这种作图法是根据椭圆的定义到两定点距离之和为定值而确 定的，可以帮助同学们更好的理解课本所给出的椭圆的定义。 （2）四心圆法：也就是应用四段圆弧来代替椭圆轨迹的画法，这是目前在机械设计和 制造中应用广泛的一种方法，用这种方法生产的鱼罐头盒，由于曲线连接不够圆滑、外 形不够美观，而大大影响鱼罐头在国际市场上的销路。所以,用于制作椭圆形罐头盒的 模具,其椭圆外形的合理没计,是目前一个迫切需要解决的理论问题。 （3）八心圆法：用代段圆弧来代替理想椭圆的精密作图法，用三种不同半径，八个圆 心的八段圆弧平滑