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山东城建职业学院工程数学电子教案 第4章 不定积分（14 学时） 第4章 不定积分（14 学时） 内容： 内容： 原函数和不定积分的概念，不定积分的性质。基本积分公式，简单不定式积分的计算。 换元积分法和分部积分法。 要求： 要求： 理解不定积分的概念和几何意义。掌握不定积的基本性质。熟练掌握基本积分公式，并 能用于简单的不定积分的计算。熟练掌握第一换元积分法（凑微分法）和分部积分法计算不 定积分，掌握第二换元积分法（简单根式代换和三角代换）计算不定积分。 重点与难点： 重点与难点： 重点是不定积分的概念。基本积分公式。第一换元积分法和分部积分法，并能用于不定 积分。 难点是不定积公的概念与求不定积分的方法。 第一节 不定积分的概念与性质 第一节 不定积分的概念与性质 教学目的：使学生了解原函数与不定积分的概念，了解不定积分的性质。 教学重点：原函数与不定积分的概念。 教学难点：原函数的求法。 教学内容： 一、 原函数与不定积分 一、 原函数与不定积分 定义定义 1 如果对任一，都有Ix )()(xfxF= 或 dxxfxdF)()(= 则称为在区间I 上的原函数。 )(xF)(xf 例如：，即是xxcos)(sin=xsinxcos的原函数。 2 2 1 1 )1ln( x xx + =+，即)1ln( 2 xx+是 2 1 1 x+ 的原函数。 原函数存在定理：原函数存在定理：如果函数在区间I 上连续，那么在区间I 上存在可导函数， 使得对任一，有 )(xf )x )(xF Ix()(fxF=。 第 1 页 共 18 页 山东城建职业学院工程数学电子教案 即连续函数一定有原函数 注注 1：如果有一个原函数，则就有无穷多个原函数。 )(xf)(xf 设是的原函数，则)(xF)(xf)()(xfCxF=+，即CxF+)(也为的原函数，其中 为任意常数。 )(xfC 注注 2：如果与都为在区间I 上的原函数，则与之差为常数，即 )(xF)(xG)(xf)(xF)(xG CxGxF=)()( （C为常数） 注注 3：如果为在区间I 上的一个原函数，则)(xF)(xfCxF+)(（C为任意常数）可表达 的任意一个原函数。 )(xf 定义定义 2 在区间I上，的全体原函数，称为在区间I上的不定积分，记为 。 )(xf)(xf dxxf)( 其中称为积分号，称为被积函数， 称为被积表达式，x 称为积分变量。 )(xfdxxf)( 如果为的一个原函数，则+C 就是的不定积分，即 )(xF)(xf)(xF)(xf ， （为任意常数） CxFdxxf+= )()(C 由原函数与不定积分的概念可得： 1) =)()(xfdxxf dx d 2) dxxf dxxfd=)()( 3) +=CxFdxxF)()( 4) Cx FxdF+= )()( 5) +=Cxdx 例 1求 dxx 2 因为 2 3 ) 3 (x x =， 得 +=C x dxx 3 3 2 例 2求dx x 1 第 2 页 共 18 页 山东城建职业学院工程数学电子教案 因为，时，0x x x 1 )(ln=；0x时， x x x x 1 )( 1 )ln(= =，得 x x 1 ) | |(ln=，因此有 +=Cxdx x |ln 1 二、 不定积分的几何意义 二、 不定积分的几何意义 一般的，函数的原函数的图形，称为函数的积分曲线。不定积分)(xf)(xF)(xfdxxf )( 的图形是一族积分曲线，这族曲线可由一条积分曲线)(xFy =经上下平行移动得到。这族曲 线中的每一条曲线的横坐标为 x 的点处的切线斜率都是。 )(xf 例 3 已知某曲线上任一点处的切线斜率为),(yxx3，且该曲线经过点（1，1） ，求该曲 线的方程。 解 按不定积分的几何意义可知， 所求曲线为函数x3的通过点 （1， 1） 的那条积分曲线， 为求其方程，先求出x3的不定积分。由= 2 3 )2( xx3，得 Cxdxx+= 2 3 23， 故必有某个常数 C，使所求曲线方程为Cxy+= 2 3 2。由于曲线通过点（1，1） ，故有 12C， 得 C1。 因此所求曲线方程为12 2 3 =xy 三、 基本积分公式 三、 基本积分公式 1) = Cdx0 2) + + = + C x dxx 1 1 (1) 3) +=Cx x dx |ln 4) +=C a a dxa x x ln +=Cedxe xx 5) +=Cxxdxsincos 6) +=Cxxdxcossin 第 3 页 共 18 页 山东城建职业学院工程数学电子教案 7) +=Cxxdx x dx tansec cos 2 2 8) +=Cxxdx x dx cotcsc sin 2 2 9) + Cx x dx arcsin 1 2 10)+ + Cx x dx arctan 1 2 11) +=Cxxdxxsectansec 12) +=Cxxdxxcsccotcsc 例 4Cxdxxdxxx+= 2 7 2 5 2 7 2 四、 不定积分的性质 四、 不定积分的性质 性质 1被积函数中的常数因子可以提到积分号外面去，即 =dxxfkdxxkf)()( （为常数，k0k） 性质 2函数和（差）的不定积分等于各个函数的不定积分的和（差） ，即 +=+dxxgdxxfdxxgxf)()()()( 例4 求dx x x + 2 ) 1( 。 解 dx x x + 2 ) 1( dx x xx +12 dx x dxxdx + 1 21 2 1 Cxxx+ + + + ln 1 2 1 1 2 1 2 1 =Cxxx+ln4 注：遇到积分项时，不需要对每个积分都加任意常数，只需待各项积分都计算完后，总的 加一个任意常数就可以了。 例5 求 dx xx x + + )1 ( )21 ( 22 22 解： 首先把被积函数作适当的恒等变形，化成基本积分公式表中的类型，再积分。 第 4 页 共 18 页 山东城建职业学院工程数学电子教案 )1( )21( 22 22 xx x + + )1 ( 441 22 42 xx xx + + )1 ( )1 (41 22 22 xx xx + + 4 )1 ( 1 22 xx+ 4 )1 ( 1 22 22 xx xx + + 4 22 1 11 xx+ 于是dx xx x + + )1 ( )21 ( 22 22 dx xx ) 1 11 (4 22 + Cx x x+arctan 1 4 例6 求 dx xxx +) 2 sin 2 (cos 2 sin 解：dx xxx +) 2 sin 2 (cos 2 sindx x x +) 2 cos1 sin 2 1 ( Cxxx+)sincos( 2 1 例7 求 dx xx x 22 cossin 2cos 解：利用三角恒等式变形，再积分。 xx x 22 cossin 2cos xx xx 22 22 cossin sincos xx xx 22 22 seccsc cos 1 sin 1 = 于是 dx xx x 22 cossin 2cos dxxx)sec(csc 22 Cxx+tancot 例 8求 dxeex xx +)3( 33 解： dxeex xx +)3( 33 dxedxedxdxx xx + 33 3 Cxeex xx + 34 3 3ln 1 4 1 小结：本节学习了原函数的概念，不定积分的概念，不定积分的性质，学习了几个简单的积 分公式，并通过几个例子熟悉积分公式的使用 作业：P1785 第二节 换元积分法 第二节 换元积分法 教学目的：使学生掌握不定积分的第一类换元法和第二类换元法。 教学重点：不定积分的第一类换元法。 教学难点：不定积分的第二类换元法。 教学内容： 第 5 页 共 18 页 山东城建职业学院工程数学电子教案 一、第一类换元积分法 一、第一类换元积分法 设为的原函数，即)(uF)(uf)()(ufuF= ， +=CuFduuf)()( 如果 )(xu=，且)(x可微，那么根据复合函数的微分法，有 )()()()()()()(xxfxufxuFxF dx d = 即)(xF为)()(xxf的原函数，或 )( )( )()()()()( xu xu duufCuFCxFdxxxf = = =+=+= 因此有 定理定理 1 （第一类换元积分法） 设具有原函数，)(uf)(xu=可导，则有换元积分公式 (1) )( )()()( xu duufdxxxf = = 例1 求 dxe x 3 3 解：被积函数中，是一个复合函数， x e3 x e3 u exu3=，常数因子 3 恰好是中间变量 的导数。因此，作变换，便有 u xu3= dxe x 3 3dxe x 3 3 )3( 3 xde x xu udu e 3= ， 利用基本积分公式，即得 dxe x 3 3 xu u Ce 3= + Ce x + 3 例2 求dxx 100 )21 ( 解： 被积函数， 100100 )21 (ux=xu21=，这里缺少2= dx du 这样一个因子，但因 dx du 是 个常数，故可改变系数凑出这个因子： 100 )21 (x 100100 )21 ()21 ( 2 1 )2()21 ( 2 1 xxx=， 于是令，便有 xu21= dxx 100 )21 (dxxx 100 )21 ()21)( 2 1 ( )21 ()21 ( 2 1 100 xdx duu 100 2 1 Cu+ 101 101 1 2 1 Cx+ 101 )21 ( 202 1 第 6 页 共 18 页 山东城建职业学院工程数学电子教案 例3 求dx x 2 4 1 解：被积函数可改写为 2 2 ) 2 (12 1 4 1 x x = ，再凑微分) 2 (2 x ddx =，于是 dx x 2 4 1 ) 2 (2 ) 2 (12 1 2 x d x C x + 2 arcsin 例4 求 + dx xa 22 1 ， 解： += + = + = + C a x aa x d a x a dx a x a dx xa arctan 1 )( )(1 11 )(1 111 22 222 例5 求dxxe x 2 解：=dxxe x 2 2 1 )( 2 1 2 2 = xde x Ce x + 2 例6 求 dxe e xx sin 解： 由，对照基本积分公式，得 )( xx eddxe= dxee xx sin Ceede xxx += cos)(sin 例7 求 dx x x + ln1 解： 两次凑微分，并由基本积分，有 dx x x + ln1 +)(ln)ln1 ( 2 1 xdx+)ln1 ()ln1 ( 2 1 xdx Cx+ 2 3 )ln1 ( 3 2 例8 求 xdxtan 解： xdxtandx x x cos sin )(cos( cos 1 xd x Cx +cosln 例9 求dx x x + 2 1 arctan 解：dx x x + 2 1 arctan )(arctanarctanxxdCx+ 2 )(arctan 2 1 例10 求xdxcsc 第 7 页 共 18 页 山东城建职业学院工程数学电子教案 解： xdxcscdx x sin 1 dx xx 2 cos 2 sin2 1 dx xx 2 cos 2 tan2 1 2 dx x x 2 tan2 2 sec2 ) 2 (tan 2 tan 1x d x C x + 2 tanln 例11 求dxx 2sin 解： dxx 2sinCxxxd+= 2cos 2 1 )2(2sin 2 1 例12 求dx xx x + + 54 12 2 解： dx xx x + + 54 12 2 dx xx x + + 54 542 2 dx x dx xx x + + + 22 )2(1 1 3 54 42 )2( )2(1 1 3 54 )54( 22 2 + + + + xd xxx xxd Cxxx+)2arctan(354ln 2 例13 求dx xx x + 2 33 解： dx xx x + 2 33 dx x x + 2 ) 1(4 1) 1( dx x dx x x + 22 ) 1(4 1 ) 1(4 1 dx x xd x x + 22 2 1 12 1 ) 1( ) 1(4 1 第 8 页 共 18 页 山东城建职业学院工程数学电子教案 ) 2 1 ( ) 2 1 (1 1 ) 1(4 ) 1( 2 1 2 2 2 + x d x x xd ) 2 1 ( ) 2 1 (1 1 ) 1(4 ) 1(4 2 1 2 2 2 + x d x x xd 2 1 arcsin ) 1(4 ) 1(4 2 1 2 2 + x x xd C x x+ + 2 1 arcsin) 1(4 2 二、 第二类换元积分法 定理 二、 第二类换元积分法 定理 2 设)(tx=是单调的可导函数，且0)( t ， )()(ttf 的原函数存在，则有 换元积分公式 )( )()()( xt dtttfdxxf = = (2) 其中)(xt=为)(tx=的反函数。 例14 求dx x +12 1 解：基本积分公式表中没有公式可提供本题直接套用，凑微分也不容易，本题的困难在 于被积函数中含有根式，如果能消去根式，就可能得以解决。为此，作变换如下： 设1=xt，则， 2 1tx+=tdtdx2=，于是 = + dx x12 1 + tdt t 2 2 1 + + =dt t t 2 22 2 Cttdt t dt+= + = )2ln(42 2 1 42 Cxx+=)12ln(412 通过换元，消除根号，转换为关于 的积分，在对新变量t的原函数求得后，再代回原 变量，得到所求的不定积分。 t 例15 求dxx 2 4 解： 设 22 ,sin2 x 2xtxsec2=， 2 0 t，于是， ttx 3 2 3 2 2 3 2 tan8) 1(sec8)4(=，tdttdxsectan2=，代入被积表达式，得 = dxx 2 3 2 )4(dt t t tdty t = 23 sin cos 4 1 sectan2 tan8 1 C t td t += sin4 1 )(sin sin 1 4 1 2 第 10 页 共 18 页 山东城建职业学院工程数学电子教案 根据，txsec2= x x t 4 sin 2 =，于是 = dxx 2 3 2 )4(4 44 sin4 1 2 + =+ x x C t 例18 求dxx x 102 )2( 解： 设，则xt= 2dtdxtx=,2，原积分转化为 dxxx 102 )2()()2( 102 dttt= dtttt 102) 44( +=dtttt +=)44( 121110 Cttt+= 131211 13 1 3 1 11 4 Cxxx+= 131211 )2( 13 1 )2( 3 1 )2( 11 4 例 19 求 +1 x e dx 解： 设te x =+1，则，) 1ln( 2 =txdt t t dx 1 2 2 =，于是 +1 x e dx dt t dt t t t = 1 2 1 21 22 dt tt + 1 1 1 1 ) 1( 1 1 ) 1( 1 1 + + td t td t )1ln() 1ln(Ctt+C t t + + 1 1 ln C e e x x + + + 11 11 ln 小结：本节主要学习了不定积分的第一类换元积分法和第二类换元积分法。第一类换元法也 称为“凑微分”的方法。第二类换元法主要介绍了三种三角代换，即或taxsin= taxcos=，taxtan=与taxsec=， 分别适用于三类函数)( 22 xaf，)( 22 axf+与 )( 22 axf。 “倒代换” t x 1 =也属于第二类换元法。 作业：P1882，3 第三节 分部积分法 第三节 分部积分法 第 11 页 共 18 页 山东城建职业学院工程数学电子教案 教学目的：使学生掌握不定积分的分部积分法。 教学重点：不定积分的分部积分法。 教学难点：分部积分法中与的选取。 udv 教学内容： 设 ，则有 )(xuu =)(xvv = vuvuvu+= ) ( 或 dvuduvvud+=)( 两端求不定积分，得 +=dxvudxuvdxvu )( 或 +=dvuduvvud)( 即 (1) =dxuvvudxvu 或 (2) =duvvudvu 公式 (1) 或 (2) 称为不定积分的分部积分公式。 例1 求 dxxex 解： xx dexdxxe = Cexe dxexe xx xx += = 例2 求 xdxxln 2 解： xdxxln 2 += = C x xx dx x xxx 9 ln 3 1 1 ln 3 1 3 3 33 第 12 页 共 18 页 山东城建职业学院工程数学电子教案 例3 求 xdxxsin 2 解： xdxxsin 2 dxxxxx )cos(2)cos( 2 +xdxxxxcos2cos 2 等式右边的积分仍是两类函数的积分，再次使用分部积分法， xdxxcos xdxxcos 1 cossinsinsinCxxxdxxxx+= 故原不定积分 xdxxsin 2 Cxxxxx+cos2sin2cos 2 例4 求 xdx2arctan 解： xdx2arctan )2(arctan2arctanxxdxx + dx x x xx 2 41 2 2arctan + + 2 2 41 )41 ( 4 1 2arctan x xd xx Cxxx+)41ln( 4 1 2arctan 2 例 5 求 xdxe x cos 解： = xx xdexdxecoscos += += += += = xdxexexe xdxexexe xdexe xdxexe xdexe xxx xxx xx xx xx cossinsin )cossin(sin sinsin sincos coscos 因此得 1 )cos(sincos2Cxxexdxe xx += 即 Cxxexdxe xx += )cos(sin 2 1 cos 例 6 求 dx 3 sec 第 13 页 共 18 页 山东城建职业学院工程数学电子教案 解： dx 3 sec)(tansecsecsec 2 xdxdxxx = dxxxxxx tansectantansec dxxxxx sec) 1(sectansec 2 dxxdxxxx +secsectansec 3 xxdxxxtanseclnsectansec 3 + 移项并除 2，得 dx 3 secCxxxx+)tanseclntan(sec 2 1 小结：本节学习了不定积分的分部积分法。对两类不同形式的被积函数给出了分部积分的参 考原则，也讨论了分部方法与换元方法结合使用的例题。 作业：P92 第四节 若干初等可积函数类 第四节 若干初等可积函数类 教学目的：使学生基本掌握有理函数、三角函数有理式、简单无理式的积分方法。 教学重点：有理函数的积分。 教学难点：三角函数有理式、简单无理式的积分。 教学内容： 一、 有理函数的积分 一、 有理函数的积分 形如 mm mm nn nn axbxbxb axaxaxa xQ xP + + = 1 1 10 1 1 10 )( )( L L (4-1) 称为有理函数。其中及为常数，且 n aaaa, 210 L m bbbb, 210 L0 0 a，。 0 0 b 如果分子多项式的次数小于分母多项式的次数，称分式为真分式；如果分 子多项式的次数大于分母多项式的次数，称分式为假分式。利用多项式除法可 得，任一假分式可转化为多项式与真分式之和。例如： )(xP n n)(xQ m m )(xP)(xQ 2 5 1 2 32 22 23 + + += + + xx x x xx xx 因此，我们仅讨论真分式的积分。 第 14 页 共 18 页 山东城建职业学院工程数学电子教案 例1 将真分式 2 5 2 + + xx x 分解成最简分式之和。 解： 分母，由定理，设 )2)(1(2 2 +=+xxxx 2 5 2 + + xx x 21+ + x B x A 右边通分，得 2 5 2 + + xx x )2)(1( 2)( + + xx BAxBA 比较等式左右两端的分子中x的同次幂的系数，得 52 , 1=+BABA 即 1, 2=BA， 于是 2 5 2 + + xx x 2 1 1 2 + + xx 例2 将真分式 )52)(3( 139 2 + xxx x 分解成最简分式之和。 解： 由定理，设 )52)(3( 139 2 + xxx x 523 2 + + + xx CBx x A 消去分母，得 )3)()52(139 2 +=xCBxxxAx 或 )35()32()(139 2 CAxCBAxBAx+= 比较等式两边x的同次幂系数，得 = =+ =+ 1335 932 0 CA CBA BA 解次方程组，得 A=-2,B=2,C=1.于是 )52)(3( 139 2 + xxx x 52 12 3 2 2 + + + xx x x 上述确定待定系数的运算通常比较繁琐。事实上，消去公分母后所得等式是一个恒 等式，它对x的一切值均成立，因而只要选择x的一些特殊值代入（称为赋值法） ，即可 得到待定系数的值。 有理函数分解为多项式与最简分式之和以后的各部分都能积分，且原函数都是初等 函数。 第 15 页 共 18 页 山东城建职业学院工程数学电子教案 例3 求 + + dx xx xx 2 32 2 23 解： + + dx xx xx 2 32 2 23 dx xx x + +) 2 1 1 2 1( Cxxxx+2ln1ln2 2 1 2 例4 求 + dx xxx x )52)(3( 139 2 解： + dx xxx x )52)(3( 139 2 dx xx x x + + + ) 52 12 3 2 ( 2 dx xxxx x x + + + + ) 52 1 52 22 3 2 ( 22 =C x xxx+ + + 2 1 arctan 2 1 )52ln(3ln2 2 例5 求 dx xx xx + + )2)(1( 125 2 解： 设 )2)(1( 125 2 + + xx xx 2 )2(21 + + +x C x B x A ， 消去分母，得 ) 1()2)(1()2(125 22 +=+xCxxBxAxx 使用赋值法，得 A=2,B=-1,C=2 于是 dx xx xx + + )2)(1( 125 2 dx xxx + + 2 )2( 2 2 1 1 2 C x xx+ + 2 2 2ln1ln2 二、 三角函数有理式的积分 二、 三角函数有理式的积分 以三角函数为变元的有理函数，统称为三角函数有理式，记为，例如 )cos,(sin