变幅外摆线的数学特性和摆线针轮行星传动可选择参数的优化(三).pdf

文章编号: 1004- 2539(2005)01- 0044- 06 变幅外摆线的数学特性和摆线针轮行星传动可选择参数的优化(三) ( 衡阳有色冶金机械总厂, 湖南 衡阳 421002) 刘基博 4. 3 针轮与摆线轮啮合的作用力 假设针齿与摆线齿为无间隙啮合, 对摆线轮加一 个反时针方向的外力矩 Tc(参照图 4), 忽略齿面接触 点以外的其他变形因素, 根据虚位移原理, 齿面接触点 在外力矩作用下沿公法线QiP方向发生微小的弹性变 形, 其变形大小分别为 D1、 D2,Di,Dn。设摆线轮 的微小转角为 B, 则各个受力齿的变形为 D1= 0, D2= l2B, , Di= liB, , Dn= lnB 式中, l1= 0, l2,li,ln为各个针齿的作用力臂。 因为变形在弹性范围内, 且忽略由于当量曲率半 径不同造成的微小非线性偏差, 故可以假定各啮合齿 接触点的作用力与变形成线性关系, 而最大作用力则 作用在与最大作用力臂对应的针齿上, 于是有 F1 l1 = F2 l2 = ,= Fi li = ,Fn ln = Fmax r1c 由此得任意一个针齿作用于摆线齿的作用力为 Fi= li rc1 Fmax= Fmaxli a( z- 1) (38) 摆线轮传递的转矩则等于各个受力摆线齿所受力 矩的总和 Tc= 6 (i) Fili= Fmax r1c 6 ( i) li2= ( Fmaxzrc21 r1c ) 6 ( i) li2 zrc21 , 式中方括号中的值为常数, 等于0. 25, 故得 Tc= (1/ 4)Fmaxzr1c= (1/ 4) Fmaxaz(z- 1) 由此可得摆线齿所受的最大作用力为 Fmax= 4Tc az( z- 1) (39) 以 li= l*r1c及式(39)Fmax之值代入式(38) 得 Fi= 4Tcl* az( z- 1) (38 c) 比较式(38 c) 和式(39)得知 Fi= l*Fmax 最大作用力对应的 角也是 *= arccosK1。参看 式(37), = *时, l*= 1, 此时 Fi= Fmax。在 为其 他任意角度时, l * 1, Fi Fmax。 由式(38c)可以看出, 作用于摆线轮轮齿上的力与 输出转矩和力臂系数的大小成正比, 与偏心距的大小、 针轮齿数或摆线轮齿数的多少成反比。 4. 4 针轮轮齿与摆线轮轮齿啮合点的当量曲率半径 与针径取值系数 4. 4. 1 当量曲率半径的一般公式 由式( 30)已知, 短幅外摆线内等距曲线曲率半径的一般公式为 Rn = R+ rrp, 曲率半径为 Rn的齿廓曲线与半径为rrp的针 齿外圆啮合时, 其啮合点的当量曲率半径为 Rd= Rnrrp Rn- rrp = (R+ rrp) rrp R+ rrp- rrp 将公式化简后得当量曲率半径的一般公式为 Rd= rrp1+ r rp R (40) 啮合点对应于曲率半径极值点的当量曲率半径为 Rdj= rrp 1+ rrp Rj (41) 4. 4. 2 针径取值系数概念与取值范围 针径取值 系数是将针齿半径的取值与短幅外摆线半径的极值相 联系的系数。设针径取值系数代号为 E , 则有 rrp= E | Rj|(42) 在3. 1 节研究内等距曲线干涉问题时已经提到, 实际齿廓曲线不发生干涉的条件为 rrp | Rj| , 由此得 E取值的上限为E 1。但 E也不能太小, 否则会导致 Rdj太小, 影响承载能力。 为了找出 E的最佳值, 以 Rdj最大为目标对rrp进 行优化, 为此将式( 41)中的 Rdj对rrp取导数, 并令导数 等于 0。即 dRdj/ drrp= 1+ 2rrp/ Rj= 0 rrp= - Rj/ z= 0. 5| Rj| ( Rj 0) 而 d2Rdj/ drrp 2= 2/ Rj 0 ( Rj 0) 故 rrp= 0. 5| Rj| 是 Rdj为极大值的充分条件 根据以上两方面的分析, 针径取值系数 E的合理 范围应该是 0. 5 E 1。 4. 4. 3 当量曲率半径的实用公式 将式( 8)除以 A 并将其结果称为曲率半径系数, 以代号 R*表示, 则有 R * = (1+ K12- 2K1cos) 3/ 2 K1( z+ 1) cos K * 1时, K * 1值的计算见式(19) R * j= - 27(1- K12) (z- 1) (z+ 1) 3(45) K1 K * 1时, 44 机械传动 2005 年 R * j= - (1+ K1) 2 (K1z+ 1) (46) 若用 R * j表示 Rj, 则有 Rj= AR*j= ( az/ K1) R * j, 以之代入式(42)得 rrp= ( E az/ K1)| R*j|(47) 基本齿形的针齿半径为 rrp0= ( E z/ K1)| R*j|(48) 将式(44) 和式(47)代入式(40)得当量曲率半径的 实用公式为 Rd= ( E az/ K1)| R*j| (1+ E | R*j| / R*)(49) 式中 E) ) 针径取值系数(0. 5 E K1*时) | R*j| = (1+ K1) 2 (K1z+ 1) (K1 K1*时) R*) ) 按式(43) 计算 式(49)是以后分析承载能力很重要的公式。 基本齿形的当量曲率半径的实用公式为 Rd0= ( E z/ K1)| R*j| (1+ E | R * j| / R * )(50) 4. 5 摆针传动承载能力计算方法 4. 5. 1 齿面接触强度计算公式 任意位置受力针 齿与摆线齿的接触应力按圆柱面接触的赫兹应力公式 计算 RH= 0. 418( Ee/ b)( Fi/ Rd)(51) 式中 Ee) 当量弹性模量,MPa b) 接触面宽度, mm Fi) 任意受力针齿作用于摆线齿的作用力 N, 按式(38c)计算 Rd) 上述同一针齿与摆线齿啮合点的当量 曲率半径,mm, 按式(49)计算 不同啮合位置的受力针齿与摆线齿的 Fi/ Rd各 不相同( Fmax处不一定 Fi/ Rd也最大), 取 Fi/ Rd( i = 1、 2,i ,n)中的最大值( Fi/ Rd)max代入式(51)进 行接触强度验算 Rmax= 0. 418( Ee/ b) (Fi/ Rd)max RH 式中 RH ) 许用接触应力, MPa 将式(38c)中的 Fi、 式(49)中的 Rd代入上式, 得 Rmax= 0. 836 az EeTc b K1l*R* (z- 1) E | R*j| (R * + E | R * j| ) max RH(52) 式(52)是接触强度校核的实用公式。从本式可以 得出最大接触应力与 az 成反比的初步结论。公式还 表明, 基本齿形和齿宽确定以后, 改变偏心距 a 是提 高接触强度最方便可行的手段。 令式中 a= 1, 即为基本齿形的接触强度核算公 式。 Rmax0= 0. 836 z EeTc b K1l*R * (z - 1) E | R*j| ( R*+ E | R*j| ) max RH / a(53) 4. 5. 2 摆针传动理论承载能力和传动有效体积 摆针传动在无间隙啮合状态下的许用转矩代表它 的理论承载能力, 根据式(52), 令 Tc 作为理论承载能 力的代号, 则有 0. 836 az Ee Tc b K1l*R* ( z- 1) E | R*j| ( R*+ E | R*j| max = RH 经整理后得 Tc = 1. 431( a2z 2b R H 2 Ee ) ( z- 1) E | R*j| K1l* 1+ E | R*j| R * min= 0. 455( P rc22b RH 2 Ee ) ( z- 1) E | R*j| K1l * 1+ E | R*j| R *min (N#mm)(54) 式(54)中, 我们以代号 KT表示 内的内容, 称之 为承载效能系数, 则有 KT= ( z- 1) E | R * j| K1l * 1+ E | R*j| R *(55) 于是可以将式(54) 改写为 Tc = 0. 455KTmin P rc22b RH 2 Ee ( N#mm)(56) 式(56)中, r2c是针轮节圆半径。针轮中心圆半径 A= r2c/ K1, 故可以将 r2c看作是针轮中心圆半径当K1 = 1时的初始值。为此我们把 r2c和b(针齿有效宽度) 所包容的体积称之为针轮初始体积, 以代号 V0表示。 V0= P rc22b(57) 由于针轮是传动装置最外围的工作部件, 针轮中 心圆半径及针齿有效宽度范围内体积的大小在某种程 度上按一定比例体现出整个传动装置体积的大小, 因 此笔者提出将针轮中心圆半径和针齿有效宽度范围内 的体积称作传动有效体积, 以代号 Vx表示。(实际上 传动工作部件的核心部分在这个体积范围内), 于是有 Vx= P A 2b= P rc22b K 2 1 = V0 K 2 1 (58) 我们以代号 Kv表示Vx与 V0的比值, 称之为体积 变动系数。 Kv= Vx V0= 1 K 2 1 (59) 分析一下以上各种结果, 可以得出以下初步判断 45第 29 卷 第 1 期 变幅外摆线的数学特性和摆线针轮行星传动可选择参数的优化 (1) 摆针传动的理论承载能力与 RH 2 成正比, 由 此可见, 采用经热处理的高强度钢(如滚动轴承钢) 制 作传动装置关键零部件, 可以最有效地提高承载能力。 (2) 在传动比 i( z 与之相关) 已经确定, K1和 b 也已选定的情况下, 承载能力与 a2成正比, 因此加大 偏心距也是提高承载能力最有效的手段。 (3) 要提高承载能力, 不可避免地要加大传动装 置的体积。 (4) 短幅系数 K1数值愈小, 可以导致增大理论承 载能力, 但同时也加大了传动装置的体积。如何选取 最优的K1值, 这是下一章要专门研究的课题。 5 摆针传动可选择参数的优化 5. 1 以最低承载效能系数 KTmin最大为目标, 针径取 值系数 E的优化 4. 4. 2 节中以 Rdj 最大为目标对rrp的优化取得 E = 0. 5 的最佳值并不能导致最低承载效能系数 KTmin也 取得最大值。为了弄清这个关系, 我们不妨再回顾一 下式(56) , 该式为 Tc = 0. 455KTmin P rc22b RH 2 Ee , 以代号 C 表示式中的常数部分 C= 0. 455 RH 2/ Ee (60) 式中的 P r 2 2cb 恰好是式(57) 中的针轮初始体积 V0, 而 KTmin是 KT在 K1*= ( z- 2)/ (2z- 1) 时 | R * j| = 27(1- K 2 1)(z- 1) (z+ 1) 3 当K1 K1*时 | R * j| = (1+ K1) 2 Kz + 1 l*= sin 1+ K 2 1- 2K1cos R*= (1+ K 2 1- 2K1cos) 3/ 2 K1( z+ 1) cos- (1+ K12z) 例 1 z = 12, K1= 0. 5, 试求 E = 0. 5 时 KT在 = 0b 180 b范围内的变化规律, 找出它的 KTmin, 精确到 K1*, 适应式(45), 则 | R * j| = 27(1- K12) (z- 1) (z+ 1) 3 = 27(1- 0. 52)(12- 1) (12+ 1) 3 = 0. 318415226 又按式(37)和式(43), 有 l*= sin 1+ K21- 2K1cos = sin 1+ 0. 52- 2 0. 5cos = sin 1. 25- cos R * = (1+ k12- 2K1cos) 3/2 K1( z+ 1) cos- (1+ K 2 1z ) = (1+ 0. 52- 2 0. 5cos) 3/2 0. 5(12+ 1)cos- (1+ 0. 52 12) = (1. 25- cos)1.5 6. 5 cos- 4 以之代入式(55), 得 KT= 3. 502 567 4861. 25- cos sin 1+ 0. 159 207 613(6. 5cos- 4) (1. 25- cos) 1.5 计算结果列于表 5, 曲线变化规律见图 7。 表 5 ( 0) KT (0) KT ( 0) KT 2016. 78054802. 179381202. 68267 309. 07276882. 130651303. 14528 405. 54617892. 130501403. 87305 503. 77643902. 131561505. 11492 602. 858671002. 203741607. 62768 702. 390421102. 3833417015. 20739 答: 最低承载效能系数 KTmin= 2. 13050, 与它对应的相 位角 = 89 b。 例 2 z= 12, K1= 0. 5, 试求 E = 0 1 范围内 KTmin的 最大值, 精确到 $ E = 0. 01。 解: 参照上例的| R*j| 、 l*和 R * , 承载效能系数计算 式为 46 机械传动 2005 年 KT= E 7. 005 134 9721. 25- cos sin 1+ E 0. 318 415 226(6. 5cos- 4) (1. 25- cos) 1.5 图 7 计算结果如表 6, 曲线图形如图8。 表 6 E(0)KTminE( 0)KTmin 0. 0000. 55912. 14806 0. 10690. 663760. 56912. 14657 0. 20751. 228050. 60932. 12339 0. 30801. 670150. 70981. 93958 0. 40841. 975200. 801041. 55937 0. 50892. 130500. 901110. 94858 0. 54902. 147911. 001310. 00001 答: 最低承载效能系数的最大值为 2. 14806, 与它对应 的 E = 0. 55, = 91b。 图8 5. 2 效能体积比概念 上一节提出的针径取 值系数优化的概念是否也 适用于短幅系数的优化, 下面用一个实例来说明。 例 设 z = 12, E = 0. 5, 求 K1= 0. 2 0. 9 之间 KTmin的变化规律。 解: K1的间隔取 $ K1= 0. 05。从 5. 1 节的例题 中, 已知 K1*= 0. 435, 故计算分两段。 K1= 0. 20 0. 40范围内, K1 K1* | R * j| = 27(1- K12) (z- 1) (z+ 1) 3 = 0. 3676742331- K 2 1 l*= sin 1+ K 2 1- 2K1cos R * = (1+ K 2 1- 2K1cos) 3/2 K1( z+ 1) cos- (1+ K21z ) = (1+ K 2 1- 2K1cos) 1. 5 13K1cos- (1+ 12K 2 1) 将上述结果及 E = 0. 5 代入式(55) 得 K1= 0. 20 0. 40范围内 KT= 5. 5(1+ K1)21+ K12- 2K1cos K1(12K1+ 1)sin 1+ 0. 5(1+ K1) 2 13K 1cos- (1+ 12K 2 1) (12K1+ 1) (1+ K 2 1- 2K1cos) 1. 5 K1= 0. 45 0. 90范围内 KT= 2. 022 208 281- K121+ K12- 2K 1cos K1cos 1+ 0. 183 837 1161- K12 13K1cos- (1+ 12K12) (1+ K 2 1- 2K1cos) 1.5 计算方法为每一个 K1值, 计算从 = 0 180b范 围内的KT值, 从中找出 KTmin(计算过程从略) , KTmin对 K1的变化规律见表 7和图 9。 表 7 K1KT minK1KTminK1KTmin 0. 208. 080950. 502. 130500. 701. 13374 0. 255. 920380. 551. 814390. 750. 96083 0. 304. 573240. 601. 551580. 800. 80257 0. 353. 663280. 631. 413390. 850. 65244 0. 403. 010560. 641. 370080. 900. 50242 0. 452. 518900. 651. 32800 从上述结果可以看出, KTmin在 K1= 0. 20 0. 90 区 间是递减的。这就说明, KTmin没有极值点, K1以 KTmin 为目标函数不存在优化的可能性。 图 9图10 回顾一下 4. 5. 2 节式(59)所提到的体积变动系数 Kv= 1/ K12, 看一看函数 Kv在K1= 0. 20 0. 90 之间的 变化规律。将 Kv对K1取导数得 dKv/ dK1= - 2/ K13。 从上述结果可以看出, 在 K1= 0. 20 0. 90 区间 内, dKv/ dK1 0, 说明 Kv在上述区间内也是递减的。 图10 是 Kv) K1的函数图形。 比较一下图 9 和图 10 就会发现, KTmin与 Kv在K1 的区间内递减的速率是不一样的, 为此笔者提出效能 47第 29 卷 第 1 期 变幅外摆线的数学特性和摆线针轮行星传动可选择参数的优化 体积比的概念。 如果将理论承载能力 Tc 与传动有效体积 Vx的 比值来衡量一个传动装置的性能, 我们就会发现一个 优化 K1值的最好的目标函数。 5. 1 节式( 56c) 中理论承载能力表述为 Tc = CKTmin, 4. 5. 2节中式(59)经过移项得到传动有效体积 Vx= KvV0, 两者之比为 Tc / Vx= CKTminV0/ KvV0= CKTmin/ Kv 略去常数 C, 将后面的比值以代号 Gv表示并称之 为效能体积比, 于是有 Gv= KTmin/ Kv(61) 将 Gv作为优化K1的目标函数, 我们就能够得到 以最小的体积去求得最大理论承载能力的优化方法。 下一节我们将以实例来说明这个优化方法。 5. 3 以效能体积比最大为目标的短幅系数的单参数 优化 为了使效能体积比的计算更为方便, 将上一节式 (61)略作变更。以 Kv= 1/ K12代入式(61)得 Gv= KTmin#K 2 1(61 c) 以上一节的实例继续进行计算来说明以效能体积 比 Gv最大为目标的短幅系数K1的单参数优化方法。 设z = 12, E= 0. 5, 求出 K1= 0. 20 0. 90 范围内 Gv的最大值。 解: (1) K1的间隔取 $ K1= 0. 05, 计算每一个 K1值 时 = 0b 180b的每一个KT值, 从中找出 KTmin。计算 方法过程和计算结果见 5. 1 节和表7。 (2) 将表 7的结果代入式(61 c), 计算每一个 K1值对 应的 Gv值,从中找出效能体积比的最大值 Gvmax。计算过 程从略, 计算结果和 Gv的变化规律见表 8和图11。 表 8 K1KTminGvK1KTminGv 0. 208. 080950. 323240. 631.413390. 56097 0. 255. 920380. 370020. 641.370080. 56118 0. 304. 573240. 411590. 651.328000. 56108 0. 353. 663280. 448750. 701.133740. 55553 0. 403. 010560. 481690. 750.960830. 54047 0. 452. 518900. 510080. 800.802570. 51364 0. 502. 130500. 532630. 850.652440. 47139 0. 551. 814390. 548850. 900.502420. 40696 0. 601. 551580. 55857 从表 8和图 11 可以看出 Gvmax= 0. 56118, 与之对 应的 K1= 0. 64。这个结果表明, K1= 0. 64 是 z= 12 和 E = 0. 5时 K1的最优值。 5. 4 以效能体积比最大为目标的双参数复合优化 前述实例中无论是 E的优化或K1的单参数优化, 只要仔细研究一下, 都有它的局限性。5. 1 节中 K1= 0. 5 时, 是最优值, 将它的(KTmin)max乘以 K 2 1= 0. 52, 得 Gv= 0. 53702, 与上例 Gvmax= 0. 56118 比较, 说明 K1= 0. 5 并非最优值。上例中 K1= 0. 64 为最优值, 但它计 算的前提 E = 0. 5 也不是最优值, 它们之间相互矛盾。 图 11 究其原因, 是多元函 数的优化不可能用单参数 的优化取得最佳结果。只 有采取双参数复合何优化 的方法, 才可能取得最佳 的效果。 可以用求偏导数找极 值的数学方法找优化点, 但因函数过于复杂, 计算 十分繁难。笔者提出的双 参数复合优化是采用坐标扫描的办法, 有点类似于医 学上的CT 扫描。 双参数复合优化首先把针轮齿数 z 视为常数, 就 是说对不同的 z 分别进行计算。计算步骤如下 (1) 在 K1的计算范围内, 每次只计算一个确定的 K1值, 用 5. 1 节相同的方法, 找出最优的 E值和与它 对应的KTmin的最大值, 并且用这个 KTmin的最大值乘以 该确定的 K 2 1计算出 Gv。 (2) 每间隔一定的 $ K1, 对 K1范围内的各个 K1 值进行扫描计算, 计算结果按顺序列于表格中, 从中找 出 Gvmax及其对应的 K1和 E , 即为所求的结果。 例 z = 12, K1范围为 0. 45 0. 80, 要求 $ K1= 0. 05, 在 Gvmax附近 $ K1= 0. 01, 且要求 $ E = 0. 01, 请计算 最优的K1、 E及与它们对应的Gvmax。 解: K1*= z- 2 2z- 1= 12- 2 2 12- 1= 0. 435 故| Rj * | = 27( 1- K12)( z- 1) ( z+ 1) 3 = 0. 367 674 2331- K12 l * = sin 1+ K12- 2K1cos R * = (1+ K