导数的介值定理的几种证明.pdf

a f(b)一bf(a) b一 a 加 a l l(r 一乡)一b n(r 一 a ) IA 一 一万二万一一 顺便还可以求出 1 A1 二 了2 ,、 r 如果 r : 二r Z - 一 r f(b)一f(a) a f(b)一bf(a) , , 就有 (r a b r A 一 : 一 ,、, , 、甘 二竺生竺二 O, 一叹 勺一a厂 b叼 b一 a I 从 上面所 举的这些例题 可以体会至。 , 在学习数学的 课程日寸 , 或在考虑问题时了总是应该 力求将复杂的形式用简单的命题来进行 “ 改述 ”, 这也就是数学的一种抽象思维的过程 , 把 “人” 可以看 作是 “点”, 相识不相识可以用实线或虚线来表示 , 一条线是 “实” 的 还 是 “虚” 的 , 可以理解为一个球掉入 “这” 个盒内 , 还是掉入 “那” 个盒内 。 凡此种种 , 都是 舍弃了事物的许多具体的内容 , 而只有很一般的形式 了 。 事实上 , 有不少经验告诉我们 , 要 充分重视看来是十分简单的内容 , 要真正理解它是不容易的 , 只有真正理解了 , 遇到复杂形 式的问题 , 就容易看到它的实质和核心的部分 。 如果说牛顿看到了苹果从树上掉下来就发现 了万有引力定律 , 不如说牛顿从这一事实想到了苹果落地与月亮为什么不落地之间有着共 同的规律支配着 。 看来似乎是相互不同的 , 其实是被同一个规律支 配着 , 这个共同的规律就 是万有引 力 定 律 。 在数学这一领域内也是如此 。 这就告诉我们 , 在学习的过 程中 , 应该进 行比较 、 整理 , 在不同的形式中发现它们共同的本质 。 (本文 是根据作 者在东北 师范大学 、 曲阜师范学院给数学系学生所作的 报告整理而成的) 导数的介值定理的几种证明 赵 根格熊必播 连续函数有 “介值定 理 ”, 某些不连续函数也有其 “介值定理” 。 这里介绍 的导数的 “介值定 理 ” 即是一 例 。 但应该 注意不是薄一函数都必是某函数的导数 。 闭区间上的可微函数的导数区间端点考虑左 、 右导数 , 可能有间断点 , 但 “介值定 理 ” 成立 。 即 : 导数的介值定理 若 f(x)在 a, b上 可微 , 且f , (a)午f 尹(b), 则对于 f (a )与f , (b)之 间的 任一数。 , 必有一点:( a , b ) , 使f ( c )二。 。 证 明1 不妨设f 尹(a ) 拼( f (b ) 。 作一辅助函数 中(劝一f(x )一衅 x 任 。, 的 。 因厂(x)在 。, b上可微 , 故叭 x)也在 a , 的上可微 。 由于叹 x )在 a , 的上连续 , 故在 a , 的 上能 达 到最小值 。 设叭 动是叭 x )在 a, 的 上 的最小值 。 若 号任(a , 西) , 因甲( x )在 a, 乙上可微 , 由费马引理 , 甲, (唇)=f,(毛)一林二0 即 f , (毛)二“ , 又毛(a , 吞) , 毛即为所求的c 。 若 毛= a 或 乙 , 即 r p(a) 或 印(乙) 是 甲(x) 在 a, b上的最小值 。 即对x任 a, 占 , 甲( a )三甲( x)或 甲(西)二甲( x ) 。 但是 , 这是不可能的 。 因若对 x 任 a, 句 , 叭a )甲(x ) 有 甲(x)一甲(a)甲(x )一 甲(a ) X 一a 全 0 1im X一a =甲尹(a)互0 而 甲, (a)二f (a )一林之0即 是石 。 因此 , 毯 只能在(a , 占) 注在f , (a) 件 f , (b) 大值可能在 a或西 处达到 , 如 f (。)之。 。 这和 f (。) 。矛盾 。 因此毛不可能是a 。 同理尾不可能 内 , 问题得到证明 。 的假设下 , 若设甲(x)一厂(x)一 砰x在 a, 幻 上达到最大值 , 最 f(x)= x 一2 , x 任一 1 , 1 , 显然 f(x)在一1 , i 可微 , f (一 i)- 一2 , f (i )= 2取 “=0 , 满足 f (一 i)0 f尹(1) 此时叭x ) x 一2一0 . x 一x 一2 显然 甲(x ) 在一1 , 1上 的最大值为 甲(一1 ) 和 甲(1) 。 证明2作函数 f(x)一f(a) g(x)一 一a 才 产(a ) a x 三吞 X 一a 由于厂( x )在 a 处可微 , lim f(x)一f(a) 一不不二于一一厂钾, 故g ( x )在 a , 幻上 连 续 。 由连 续函数的介值定理知 , 对g (b ) 和 f (a ) 之间的任何值叮 , 必存在毛任(a , 西) 使 g (尾)= “; 又因g ( x )在(a , 的上满足微分中值定理条件 , s(;)- 兰 嗅二要 塑2 一r, (。 : 5 一 “ a c : 尾 故存在 c : 任 a, b) , 使f (c: )二协又 f(西)一f(x) 同理作函数几“ 一 b一x f (乙) a 三xb x 一b h(x) 在 a, b上连续 , 由介值定理 , 对人( a )和 f (占) 之l e d 的任意值。 2, 必存在”任(a , b) , 使几(”)= 件2 。 由微分中值定理 , 存在 e Z 任(a , 乙) , 使f (c: )二。 : 因为 g(b)=h(a) , f (a )羌f / (b) 故对于f 尹(a )和f 产(b)之 间的任一数 , 或属于 f 产(a )和g(b)之间 , 或属于 f 尹(乡) 和人(a)二g(b) 之间 , 或等于g ( b) 。 前二情况 已证明存在一点 “一 使f (c )= 。 。 c : 若“在f / (a)和g(b)之间 c Z 若 卜 L在 f 产(的和g (b)之间 c 任(a , b) 若 证 明3 仁 L= g(l ) 仁 := g(b) 不妨设 由微分中值定理 : f(b)一f(a) 竺炭一宁= f (c ) , a c (b o D一口 、 ,尹 、 一 、 一 。 f / (a)卜(f产(西) 。 取A和B满足 f 产(a ) f 产(a )A 协(B 0 , 当01x J 6时 , 有 f(a + :全 、x )一f(a) x B 取 06 * ,: in 即有 西一a 2 .r 又 J 月 、 .、 f( a十 6 * )一f( a ) 6 * A f(占一6 * ) 一f(西) f(b 产+ 6 * ) 一f(吞产) 一6 * 其中 b 产一 乙一护 (显然 a 白 b) 考虑函数g (x ) 己在 a, 乙 f( x +6 * )一f(x) 一 6 * 上连 续 , 且 g(a)二 f( a +6 * ) 一f(a) 6 * _ * , ,、 厂(乙 产+ 6 * )一f(b 尹) _ 。 火八 , 9LO 少- 一一一 一 刃石一一一一一一夕D U 囚 A拼 B , 由连续函数介值定理 , 存在邑任( a , 由微分中值定理 , 存在一点 。任( 毛 , 毛 一 卜6 * ) f(毛月 一 6 * ) 一f(母) 口 乃仪g吸口一一一一丽尸一一 一 二l f 产( 毛斗 一 6 * ) 一f(毛) 6 * = f 尹() 即有 f 尹(c ) =卜 。 又由于 仓 创 a, b ), 即 a 毛b , 应有 a 毛+6 * b 产 一于6 峪一 乙 而 c 任(毛 , 毛+6 * ) , 故 c 任( a, b) 。 证明4 先说明 导数的 “介值定 理 ” 与下一定理等价 。 定理若f( x )在 a, 乙可微 , 且 f (x )年 0 , 则f (x )在 a, b上恒大于0戎!亘小于0 。 证明等价 。 若定理成立 , 不妨设 f (a ) 卜 : f(b) 。 此时 可证得f (x ) o 一般说来 , 五次以上的代数方程是 “不能解” 的 。 因 此 , 代数函数是一类比能 用常数与 x 经 有限次代数运算表达出来的函数更加广泛的函数 。 定义2非代数函数的一切 函数 , 称为超越函数 。 不言而喻 , 如果函数 夕一厂 (x ) 在其定义 域或部分定义域内不是任何代数方程(1 )的解的话 , 那末这个函数万厂 ( x)就一定是超越函数 。 判别一个函数是代数函数还是超越函数是十分重要的 。 上世纪三十年代法 国数学家柳维 尔(Li ou v ille)首先证明 了In x的超越性 , 以后人们又证明了基本初等函数a , l o g x (a)0 , a 斧 1) , “inx , cosx, tgx , a,c; fn x , a;c。o:x , a r zgx 等都是超 越函数 。 但是 通 常对这些函数超越性的证 明都是个别地进行的 , 就是说这类证明对于不同的函数用 的是各种 不同的修珍方法 。 木文的目的是要给出直接根据所谓 的函数方 程来来J 断函数超越性的孕丁的 判别法则 。 ; 2 函数方程 在代数方程和超 越 方程中 , 作为未知的是特定的数值 。 还有另一类方程 , 在 这类方程 中 , 作为未知的不是数值 , 而是一个或一类函数 , 这种方程叫函数方程 。 定义 3 含有未知函数的等式 , 叫函数方程 。 显然 , 微分方程 、 积分方程等都属 于函数 方程 。 我们这里所讲的函数方程指的不含未知函数的极限 、 导数 、 微分和积分的哪一类函数 方程 。 例如 , 著 名的柯西(C a ue hy)函数方程 f(x+ 召)= f( x )+f(夕) , (2) 它有连续函数的解厂(x ) = a x ( a为常数) 。 函数方程在数学各分支及自然科学的一 些学科中有着广 泛的应用 , 虽然它本身的理论基 础至今还未臻完善 。 函数方 程有一个重要应用 , 就是用函数方程可以定义各种各样的函数 。 实际上 , 函数方程是表达某类函数所具有的确定性质的关系式 。 我们容易验证基本初等函数丫 (;为实数) , 。 , 10 9 。x , ( a0 。 今1 ) , : i。x , 。sx , tg x , 。 r:i献,。 犷c O:x , :。tg x 在各 自的定义域内分别满足下列函数方程 f( x夕)二 f( x ) f(夕)(3)f(x+ 夕)= f( x ) f(夕)(4) f(x y)二f(x)+ f(夕)(5) f( x +,)二f(x)甲I万户 又百)+ f(,)寸厂户 又 劝 , (6) f(x +, )=f(x)f(,)一丫厂不口歹 犷不 一万万 万 (7) 因 If爪 一 T一。+ f(c+x)一f(。) x 二f / (e) 0 (可 设 c 年a ) 即有f(c + x )一f(c) 0 , 故