实变函数答案(陕师大).pdf

习题 1.1 1证明下列集合等式 (1) CABACBA； (2) CBCACBA； (3) CABACBA 证明 (1) )()CB( c CBAA )()( cc CBAABA c CABA)()( )( )(CABA . (2) c CBAA)(CB)( )()( cc CBCA =)()(CACA. (3) )(C)(B c CBAA cc CBA)( )(CBA c )()(CABA c )()(CABA. 2证明下列命题 (1) ABBA的充分必要条件是：AB； (2) ABBA的充分必要条件是：BA； (3) BBABBA的充分必要条件是：B 证明 (1) ABABBBABBABBA cc )()()()(的充要条 是：. AB (2) cccc BABBBABBABBA)()()()( 必要性. 设ABBA)(成立，则ABA c , 于是有 c BA, 可得.BA 反之若,BA 取BAx, 则BxAx 且, 那么BxAx 且与 c BA矛盾. 充分性. 假设BA成立, 则 c BA, 于是有ABA c , 即.)(ABBA (3) 必要性. 假设BBABBA)()(, 即. c CABABA 若,B 取,Bx 则, c Bx 于是, c BAx 但,BAx 与 c CABA矛盾. 充分性. 假设B成立, 显然BABA成立, 即BBABBA)()(. 3证明定理 1.1.6 定理 1.1.6 (1) 如果 n A是渐张集列, 即),1( 1 nAA nn 则 n A收敛且 1 ;lim n nn n AA (2) 如果 n A是渐缩集列, 即),1( 1 nAA nn 则 n A收敛且 1 .lim n nn n AA 证明 (1) 设),1( 1 nAA nn 则对任意 1 , n n Ax 存在N使得, N Ax 从而 ),(NnAx N 所以,lim n n Ax 则.lim 1 n n n n AA 又因为 1 ,limlim n nn n n n AAA 由此可见 n A收敛且 1 ;lim n nn n AA (2) 当) 1( 1 nAA nn 时 , 对 于,lim n n Ax 存 在) 1( 1 knn kk 使 得 ),1(kAx k n 于是对于任意的, 1n 存在 0 k使得nnk 0 , 从而, 0 nn AAx k 可见 .lim 1 n nn n AA 又因为,limlim 1 n n n n n n AAA 所以可知 n A收敛且 1 .lim n nn n AA 4设f是定义于集合E上的实值函数，c为任意实数，证明： (1) n cfEcfE n 1 1 ； (2) n cfEcfE n 1 1 ； (3) 若)()(limExxfxfn n ，则对任意实数c有 k cfE k cfEcfE n nk n NnNk 1 lim 1 111 证明 (1) 对任意的,cfEx 有,)(cxf 则存在 Zn使得 n cxf 1 )(成 立. 即, 1 n cfEx 那么. 1 1 n n cfEx 故; 1 1 n n cfEcfE 另 一 方面 , 若, 1 1 n n cfEx 则 存在 Zn0使 得, 1 10 n n cfEx 于 是 c n cxf 0 1 )(, 故cfEx. 则有. 1 1 n n cfEcfE (2) 设cfEx, 则cxf)(, 从而对任意的 Zn, 都有 n cxf 1 )(, 于是 1 1 n n cfEx, 故有; 1 1 n n cfEcfE 另一方面, 设 1 1 n n cfEx, 则对于任意的 Zn, 有 n cxf 1 )(, 由n的任 意性, 可知cxf)(, 即cfEx, 故 1 1 n n cfEcfE. (3) 设cfEx, 则cxf)(. 由),)()(limExxfxfn n 可得对于任意的 Zk, 存在N使得)( 1 | )()(|Nn k xfxfn, 即) 1( 11 )()(k k c k xfxfn, 即 k cxfn 1 )(, 故) 1( 1 lim k k cfEx n n , 所以 1 1 lim k n nk cfEx, 故 1 1 lim k n nk cfEcfE； 另一方面, 设 1 0 1 lim k n nk cfEx, 则对任意 Zk有 k cfEx n n 1 lim 0 . 由下极限的定义知：存在 1 N使得当 1 Nn 时, 有)( 1 0 Zk k cfEx n , 即对任意 Zk有 k cxfn 1 )( 0 ; 又由),)()(limExxfxfn n 知),()(lim 00 xfxfn n 即对 任意的 Zk, 存在 2 N使得当 2 Nn 时, 有 k xfxfn 1 | )()(| 00 . 取,max 21 NNN , 则有 k cxfn 1 )( 0 与 k xfxfn 1 | )()(| 00 同时成立, 于是有 k cxf k xf n 1 )( 1 )( 00 , 从而 k cxf 2 )( 0 , 由k的任意性知：cxf)( 0 , 即cfEx 0 , 故有 1 1 lim k n nk cfEcfE; 综上所述：. 11 lim 111 kNNn nn n nk cfE k cfEcfE 5证明集列极限的下列性质 (1) c n n c n n AA limlim _ ； (2) c n n c n n AA _ limlim ； (3) n n n n AEAE limlim； (4) n n n n AEAE limlim 证明 (1) c n n nnm c m n c nm m c nnm m c n n AAAAA lim)()(lim 111 _ . (2) c n n nnnm c m c nm m c nnm m c n n AAAAA _ 111 lim)()(lim . (3) 111 )()()(lim nnmnnm c m c m nnm mn n AEAEAEAE c nnm m n c nm m nnm c m AEAEAE)()()( 111 1 lim nnm n n m AEAE. (4) 111 )()()(lim nnm c m nnmnnm c mmn n AEAEAEAE c nnm m n c nm m nnm c m AEAEAE)()()( 111 1 lim nnm n n m AEAE. 6如果, nn BA都收敛，则, nnnnnn BABABA都收敛且 (1) n n n n nn n BABA limlimlim； (2) n n n n nn n BABA limlimlim； (3) n n n n nn n BABA limlimlim 习题 1.2 1建立区间) 1 , 0(与 1 , 0之间的一一对应 解 令 1 1 1 1 , , 2 3 4 5 E , 1 1 1 0,1 , , 2 3 4 F ,(0,1)DE, 则(0,1)ED,0,1FD. 定义:(0,1)0,1为: ; 11 ( );(1,2,) 2 1 0; 2 xxD xxn nn x 则为(0,1)0,1之间的一个一一对应. 2建立区间,ba与,dc之间的一一对应，其中dcba , 解 定义: : , , a bc d为: ( )().( , ) dcdcbcad xxacxxa b bababa 可以验证: : , , a bc d为一个一一对应. 3建立区间),(ba与,dc之间的一一对应，其中dcba , 解 令, 234 bababa Eaaa ， , , 23 dcdc Fc d cc ( , )Da bE. 定义:( , ) , a bc d为: ; ( );(1,2.) 2 ;. 2 dcbcad xxD baba dcba xcxan nn ba cxa 可以验证: :( , ) , a bc d为一个一一对应. 4试问：是否存在连续函数，把区间 1 , 0一一映射为区间) 1 , 0(?是否存在连续函数， 把区间 1 , 0一一映射为4 , 32 , 1 ? 答 不存在连续函数把区间0,1一一映射为(0,1); 因为连续函数在闭区间0,1存在最 大、最小值. 也不存在连续函数把区间0,1一一映射为1,23,4; 因为连续函数在闭区间1,2 上存在介值性定理, 而区间1,23,4不能保证介值性定理永远成立. 5证明：区间 2 ) 1 , 0() 1 , 0() 1 , 0(R且 2 R 证明 记(0,1)A,则(0,1) (0,1)A A. 任取( , )x yA A, 设 1231 2 3 0.,0.,xaa aybb b 为实数, x y正规无穷十进小数 表示, 并令 1 122 ( , )0.f x ya b a b, 则得到单射:fAAA. 因此由定理 1.2.2 知 AAA. 若令 1 0.5AA, 则 1 AAAA. 从而由定理 1.2.2 知: AAA. 最后, 根据Bernstein定理知: (0,1) (0,1) (0,1). 对于( , )(0,1) (0,1)x y,定义 2 :(0,1) (0,1)R为: ( , )(),() 22 x ytgxtgy , 则为 2 (0,1) (0,1)R的一个一一对应,即 2 (0,1) (0,1) R. 又因为: (0,1) R, 则由 对等的传递性知: 2 (0,1) (0,1) (0,1) RR且 2 RR. 6证明：1: ),( 22 yxyxA与1: ),( 22 yxyxB对等并求它们的基数 证明 令 22 1 ( , ):(1,2,3,)Ex yxyn n , DA E, 22 1 ( , ):(1,2,3,) 1 Fx yxyn n . 则,AED BFD. 定义: : AB为: 2222 ( , );( , ), ( , ) 11 ;(1,2,3,),( , ). 1 x yx yD x y xyxynx yE nn 可以验证: : AB为一一对应, 即AB. 又因为 2 (0,1) (0,1) BRR, 所以 AB. 7证明：直线上任意两个区间都是对等且具有基数 证明 对任意的, I JR ， 取有限区间( , )a bI ，则( , )a bIR, 则由 Bernstern定理知I , 同理J . 故IJ. 习题 1.3 1证明：平面上顶点坐标为有理点的一切三角形之集M是可数集 证明 因为有理数集Q是可数集，平面上的三角形由三个顶点所确定，而每个顶点由 两个数决定，故六个数可确定一个三角形，所以M中的每个元素由Q中的六个相互独立的 数所确定，即Q,: 621 621 xxxaM xxx 所以M为可数集. 2证明：由平面上某些两两不交的闭圆盘之集M最多是可数集 证明 对于任意的MO, 使得Q)(Of. 因此可得：QMf :. 因为 1 O与 2 O不 相交，所以)()( 21 OfOf. 故f为单射，从而aMQ. 3证明： （1）任何可数集都可表示成两个不交的可数集之并； （2）任何无限集都可表 成可数个两两不交的无限集之并 证明 (2) 当E可数时，存在双射Q) 1 , 0(:Ef. 因为 1 1 , 1 1 ) 1 , 0( n nn QQ 所以 11 11 1 , 1 1 ) 1 , 0( n n n A nn ffEQQ. 其中：)(), 3 , 2 , 1( 1 , 1 1 1 jiAAn nn fA jin 且Q. 又因为 QQ nnnn f 1 , 1 1 1 , 1 1 1 且Q nn 1 , 1 1 可数，所以E可表示成可数个两两不交的无限集之并 当E不可数时，由于E无限，所以存在可数集EE 1 , 且 1 EE不可数且无限，从而 存在可数集 12 EEE ，且)()( 2121 EEEEEE无限不可数. 如此下去，可得 ), 3 , 2 , 1(nEn都可数且不相交，从而 10 11 )()(EEEEEE i i n i . 其中)0( iEi无限且不交. 4证明：可数个不交的非空有限集之并是可数集 5证明：有限或可数个互不相交的有限集之并最多是可数集 证明 有限个互不相交的有限集之并是有限集； 而可数个互不相交的有限集之并最多是 可数集. 6证明：单调函数的不连续点之集至多是可数集 证明 不妨设函数f在),(ba单调递增，则f在 0 x间断当且仅当 0)(lim)(lim)0()0( _ 00 00 xfxfxfxf xxxx . 于是，每个间断点 0 x对应一个开区间)0(),0( 00 xfxf. 下面证明：若xx为( )f x的两个不连续点，则有(0)(0)f xf x. 事实上，任取一点 1 x，使 1 xxx，于是 1 1 (0)lim( )inf ( )( )sup ( )lim( ) x x xxxx xxx f xf xf xf xf xf x ， 从而 x 对应的开区间( (0), (0)f xf x与 x 对应的开区间( (0), (0)f xf x不相 交， 即不同的不连续点对应的开区间互不相交， 又因为直线上互不相交的开区间所构成的集 合至多是可数集，所以可知单调函数的不连续点之集至多是可数集. 7证明：若存在某正数d使得平面点集E中任意两点之间的距离都大于d，则E至多 是可数集 证明 定义映射: ) 3 ,(:Ex d xEf， 即)( 3 ,()(Ex d xDxf， 其中) 3 ,( d xD表 示以Ex为中心，以 3 d 为半径的圆盘. 显然当yx 时，有) 3 ,() 3 ,( d yD d xD，即 )()(yfxf，于是f为双射，由第 2 题知：aEx d x : ) 3 ,(，故aE . 习题 1.4 1直线上一切闭区之集具有什么基数？区间,ba中的全体有理数之集的基数是什么? 答 直线上一切闭区间之集的基数是c. 这是因为： 2 ),(, :Rbabaf为 单射，而Rabaf, :为满射，所以cMc 2 RR. 区间,ba中的全体有理数之集的基数是c，这是因为：abaaQQ,. 2用,baC表示,ba上的一切连续实值函数之集，证明： (1) 设, 21 n rrrbaQ，,baCgf，则 gf), 2 , 1)()(krgrf kk ； (2) 公式 ),(,),(),()( 21 n rfrfrff 定义了单射)(,:RSbaC； (3) cbaC, 证明 (1) 必要性. 显然. 充分性. 假设), 2 , 1)()(krgrf kk 成立. 因为, , 321 rrrbax， 存在有理 数列 1 n n x，使得xxn n lim，由,bacgf，可得 )()lim()(limxfxfxf n nn 及)()lim()(limxgxgxg n nn . 又因为 1 n n x为有理点列，所以有)()( nn xgxf，故,bax，都有)()(xgxf. (2) ,bacgf，设)()(gf，即 ),(,),(),(),(,),(),( 2121 nn rgrgrgrfrfrf. 由(1)知：gf . 故为单射. (3) 由 (2) 知 ：cRSbac)(,； 又 由,bacR， 可 得,bacc R. 故 cbaC,. 3设,baF为闭区间 1 , 0上的一切实值函数之集，证明： (1) ,:)(,()(baxxfxf定义了一个单射 )(,: 2 RPbaF； (2) 1 , 0E， E E)(定义了单射,)1 , 0(:baFP； (3) ,baF的基数是 c 2 证明 (1) ,baFgf，设)()(gf，即 ,:)(,(,:)(,(baxxgxbaxxfx. 从而),)()(baxxgxf，故为单射. (2) 1 , 0,FE，设)()(FE，则 FE FE)()(，故为单射. (3) 由 (1) 知 ： c PbaF2)(, 2 R； 又 由 (2) 知 ：,2)1 , 0(baFP c ， 故 c baF2,. 4证明：c n C 证明 因为RRC，而cRR，故cC；又由定理 1.4.5 知：c n C. 5证明：若E为任一平面点集且至少有一内点，则cE 证明 显然cERR. 设 0 0 Ex ，则0使得ExB),( 0 ，可知 ExBc),( 0 ，故cE . 第一章总练习题 . 1 证明下列集合等式 (1) FFEFEEFE； (2) GFGEGFE 证明 (1) 因为 ()()()()() ccccc EEFEEFEEFEEEFE F, ()()()() ccc EFFEFFEFFFE F. 所以 ()()E FEEFEFF. (2) 因为 ()()()()()(), cccc EFGEFGEFGEGFGE GF G 所以 GFGEGFE. . 2 证明下列集合等式 (1) BABA n n n n 11 ；(2) BABA n n n n 11 证明 (1) 1111 ()()() cc nnnn nnnn ABABABAB . (2) 1111 ()()() cc nnnn nnnn ABABABAB . 3证明： 22 cc E fgcE fE g，其中gf ,为定义在E的两个实值函数， c为任一常数 证明 若()() 22 cc xE fE g, 则有( ) 2 c f x 且( ) 2 c g x , 于是 ( )( )()( )f xg xfg xc, 故()xE fgc. 所以()()() 22 cc E fgcE fE g. 4证明： n R中的一切有理点之集 n Q与全体自然数之集对等 证明 因为 0 Q ,所以 0 QQ QQ n (推论 1.3.1). 又因为 0 N , 所以 0 QnN, 故Q n N. 5有理数的一切可能的序列所成之集)(QS具有什么基数？ 6证明：一切有理系数的多项式之集xQ是可数集 证明 设 ,Q, 0,: Q 11001 1 1 nnn n n n nnnn aaaaaaxaxaxaxPxPx 于是 . QQ 0 n n xx 显然,QQ 1n x n 所以,QQ 1n ax n 因此由定理 1.3.5 知：.Qax 7证明：一切实系数的多项式之集xR的基数为c 证明 记 ,R, 0,: R 11001 1 1 nnn n n n nnnn aaaaaaxaxaxaxPxPx 于是 . RR 0 n n xx 显然,RR 1n x n 所以,RR 1n cx n 因此由定理 1.4.3 知：.Rcx 8证明：全体代数数(即可作为有理系数多项式之根的数)之集是可数集，并由此说明 超越数(即不是代数数的实数)存在，而且全体超越数之集的基数是c 证明 由于有理系数多项式的全体是可数集，设其元素为, 210 n PPPP 记多项 式)(xPn的全体实根之集为, n A 由于n次多项式根的个数为有限个，故 n A为有限集，从而 代数数全体 0n n AA为可数个有限集的并，故A为可数集，即. aA 设超越数全体所成之集为,B 即,RAB 则R,BA 从而B必为无限集，由于 A为可数集，而任一无限集添加一个可数集其基数不变，故.RcBAB 9证明：ABBA，则BA 证明 因为 ),()(),()(BAABBBABAA 又因为 ,)()(,BAABBABABABAABBA 所以由保并性知 ),()()()(BAABBABA 即. BA 10证明：若,DBBA则DA 证明 (反证法) 假设,DA 则由已知可得,BD 这与DB 矛盾. 故有DA. 11证明：若cBA，则cA或cB 证明 假设, aBA 则有, aBA 这与cBA矛盾，故有cA或cB . 12证明：若cAk k Z ，则存在 Zk使得cAk 证明同上. 习题 2.1 1若E是区间 1 , 0 1, 0中的全体有理点之集，求 b EEEE, 解 E ；0,1 0,1 b EEE 。 2设)0 , 0( 1 sin, 10: ),( x yxyxE，求 b EEEE, , 解 E ；( , ):0, 11. b EEx yxyEE 3下列各式是否一定成立? 若成立，证明之，若不成立，举反例说明 (1) 11 nn nn EE ； (2) )()(BABA ； (3) n n n n EE 11 ； (4) BABA； (5) BABA)(； (6) .)( BABA 解 (1) 不一定。 如设 12 = , , , n r rrQ， nn Er（单点集） ， 则 1 () n n E QR, 而 1 . n n E 但是，总有 11 nn nn EE 。 (2) 不一定。如 AQ, B RQ, 则(),AB 而.ABRR = R (3) 不一定。如设 12 = , , , n r rrQ， nn Er（单点集） ，则 1 n n E QR, 而 1 . n n E Q但是，总有 11 nn nn EE 。 (4) 不一定。如( , )Aa b，( , )Bb c，则AB ，而 ABb。 (5) 不一定。如 , Aa b, , Bb c, 则( , )Aa b, ( , )Bb c，而 ()( , )ABa c，( , ) ABa cb. (6) 成立。因为ABA, ABB, 所以()ABA, ()ABB。因此， 有()ABAB。设xAB, 则存在 1 0， 2 0使得 1 ( ,)B xA且 2 ( ,)B xB, 令 12 min( ,) , 则( , )B xAB。 故 有()xAB， 即 ()ABAB。因此，()ABAB. 4试作一点集A，使得A，而 ) (A 解 令 1 1 11 1, , 2 3 4 A n ，则0A，()A . 5试作一点集E，使得 b EE 解 取E Q，则 b E R。 6证明：无聚点的点集至多是可数集 证明 因为无聚点的点集必然是只有孤立点的点集， 所以只要证明： 任一只有孤立点的 点集A是最多可数。对任意的xA，都存在0 x 使得( ,) x B xAx。有理开球 （即 中心为有理点、半径为正有理数的开球）(, )( ,) xxx B P rB x使得(,) xx xB P r，从而 (, ) xx B P rAx。显然，对于任意的, x yA，当xy时，有(, )(,) xxyy B P rB P r， 从而(, )(,) xxyy P rP r。令( )( , ) xx f xP r，则得到单射: n fA QQ。由于 n QQ可 数，所以，A是最多可数。 7无聚点的点集与只有孤立点的点集是否相同? 答 不相同。例如，点集 1 1 11 1, 2 3 4 A n 只有孤立，但是有一个聚点： 0A。 8对无聚点的点集, 是否一定存在一个正数d, 使得该点集中任意二点间的距离大于 d? 答 不一定。例如，取 1 ( ,0):1,2, ( ,):1,2,Annn nn ， 则A无聚点。但是 11 ( ,0),( ,)0()dnn nnn ，这说明：不存在一个正数d, 使 得该点集中任意二点间的距离大于d。 9点集的聚点与点列的极限点有何异同? 证明：若Ex 0 ，则存在Exn且 ),(mnxx mn 使得)( 0 nxxn 证明 不同。聚点是针对点集的概念，而极限点（子列的极限）是针对点列的概念。对 于一个点列 1 n kk x R， 可以得到一个点集:1,2, k Exk。 如果 0 x E , 则 0 x必 是点列 1 kk x 的极限点。 反之不真。 如取1(1,2,) k xk， 则 1 是点列 1 kk x 的极限点， 但它不是点集:1,2, k Exk的聚点（因为1E 没有聚点） 。对于可数点集 12 ,() n kij Ex xxxx ijR， 得到点列 1 kk x 。显然，点集E的聚点与点列 1 kk x 的极限点是相同的。 设Ex 0 ， 则 对 1 1, 01 (,)B x中 有E的 无 限 个 点 。 任 取 一 点 1001 ( )(,)xExB x。令 1 210 min ( ,),2 d x x ，则 02 (,)B x中有E的无限个点。 任取一点 2002 ( )(,)xExB x。如此下去, 可得点列 1 kk x 满足： 00 ( )(,) kk xExB x， 1 10 min (,),2 k kk d xx (k Z). 易见， 1 kk x 是E的各项互不相同的点列且 0 (,)20() k k d x xk 。可见， 0( ) k xx k。 10证明：Ex 0 的充要条件是对任意0，),( 0 xB含有一个异于 0 x的E的点 证明 必要性显然. 充分性. 对 1 1, 在 0 (,1)B x中有一点 1 xE, 而 10 xx。令 210 1 min ( ,), 2 d x x, 在 02 (,)B x中有一点 2 xE且 21 xx。令 320 1 min (,), 3 d x x, 在 03 (,)B x中有 3 xE且 30 xx。这样继续下去，得到E中各项互不相同的点列 n x使 得 1 0 (,)0() k d x xkk 。从而， 0 lim n n xx ，由上题知Ex 0 . 11ExEx k 0 使得)( 0 kxxk 证明 必要性。设 0 xE，则 1 0 ,(,) k kxEB x k Z。显然， k xE且 )( 0 kxxk。 充分性 设 k xE使得)( 0 kxxk，则0, N 使得当nN时有 0 (,) k d xx，从而 10 (, ) N xB xE 。可见， 0 xE。 12. 设点列)(naxn,)(nbxn,证明: ba . 证明 由(),() nn xx nyy n可知：对任意的 12 0,N N使得当 1 nN时, 有(, ) 2 n d x a ; 当 2 nN时, (, ) 2 n d x b 。令 12 max,NN N, 则当 nN时, 有(, ) 2 n d x a 且(, ) 2 n d x b . 从而，当nN时，有 11 ( , )( ,)(, ) 22 NN d a bd a xd xb 。 所以( , )d a b。由的任意性知，ab. 13. 设点列)(nxxn,)(nyyn,证明: R,有 (1) )(nyxyx nn ; (2) )(,(),(nyxdyxd nn . 证明 （1）由(),() nn xx nyy n, 可知对任意的 12 0,N N使得当 1 nN时 ， 有(, ) 2| 1 n d x x ; 当 2 nN时 ， 有(,) 2 |1 n dyy . 令 12 max,NN N, 则当nN时, 有 (, ) 2| 1 n d x x 且(, ) 2| 1 n d yy . 所以，当nN，有 (,) | (, ) | (, ) 22 nnnn dxyxyd x xd yy 。 从而 nn xyxy()n. （2）因为 (,)(, )( , )( ,), ( , )( ,)(,)(, ), nnnn nnnn d xyd x xd x yd y y d x yd x xd xyd yy 所以 | (,)( , )|(, )( ,)0() nnnn d xyd x yd x xd y yn。 因此，)(,(),(nyxdyxd nn 。 习题 2.2 1点集E为闭集当且仅当E中的收敛点列的极限仍然属于E 证明 必要性. 设E为闭集, 即EE 。取任一收敛点列 n xE, 且 0n xx()n. 下证 0 xE. 事实上, 若存在n使得 0n xx, 则 0 xA； 否则， 对任一Nn 都有 0n xx。 因为 0( ) n xx n, 所以对任意0，),( 0 xB中必有E的异于 0 x的点 n x。从而，由 习题 2.1.10 可知: 0 x是E的聚点, 所以 0 xE. 充分性. 设E中任何一个收敛点列必收敛于E中的一点, 则对任意的 0 x E , 存在点 列 n xE使得 0n xx()n, 由假设知 0 xE。所以EE , 即E为闭集. 2证明： E是含于E内的一切开集的并 证明 设F , 为所有含于E内的开集所组成的集合, 则F E (任意的). 记FF , 下证FE。一方面, E显然是一个含于E的开集, 所以EF。另一方 面, ，有FE ,从而FE 。但是FF (F为开集), 所以FFE . 因此，FFE 。因此EF. 3证明：E是包含E的一切闭集的交 证明 设F 为所有包含了E的闭集之集, 则EF(任意的). 记 FF ，下证FE. 一方面，E显然是一个含E的闭集，所以EF。另一方面, 对 ，有EF，从而EF。但FF (F为闭集), 所以EF（ ） 。 因此，EF. 故FE. 4设RF是非空有界闭集，令,sup,infFFa证明：Fa, 证明 Fx, 0使得x。从而 x, 于是( , )xB ，因此( , )BF . 再由的任意性知FF. 同理可得：, 0Fy使得,y 所以( , )yB . 因此， 知( , )BF . 由的任意性知FF. 5设 k G是渐张开集列，令 k k GG 1 ，点集F是有界闭集且GF 证明：存在 自然数 0 k，当 0 kk 时，有 k GF 证明 由F是有界集, F 1 k k G , 必存在, 21n kkk使得F 1 i n k k G . 又因为 n k GGG 21 , 所以F ni k n i K GG 1 . 取 0 1, n kk则当 0 kk 时，有 k GF . 6证明： n R中的任何闭集F都可表示为可数个开集的交； n R中的任何开集G都可 表示为可数个闭集的并 提示：考虑) 1 ,( n xBG Fx n 证 明 当F为 空 集 时 ， 显 然 。 下 设F为 非 空 集 。 令) 1 ,( n xBG Fx n ， 则 (1, 2,) n FGn，从而 1n n GF. 另一方面， 设 0 1 n n xG ，则, n有 0n xG, 所 以 n xF,使得 0 1 (, ) n xB x n , 即 0 1 (,) n d x x n . 当n, 则 0n xx. 由于F是闭集, 必有 0 xF. 因此 1n n FG. 综上可知： 1 n n GF 。 对 n R中的任何开集G，: c FG为闭集，从而由已证结论知：存在一列开集 n G使得 1 n n GF ，所以 1 cc n n GFG .显然， c n G都是闭集。 7设E是 n R中的点集，证明： b E是闭集 证明 因为 b EEE _ 且 b EE ,所以 cb EEEEE)( _ ,故 b E是闭 集. 8设 mn BARR,是两个有界闭集，证明： ,: ),(ByAxyxBA 是 mn R中的有界闭集 证明 有界性. 因为,A B有界, 所以存在,M N0使得对任意的xA,有 ( ,0),d xM对任意的yB, 有( ,0)d yN, 从而任意的( , )x yA B，有 2222 ( , ),0)( ,0)( ,0)dx yd xd yMN, 于是A B且有界的 闭性. 设 1 (,) kkk xy 为A B中的收敛点列，且 (,)( , )() nmn m kk xyx yk RRR. 由于 (, ), (, )(,),( , )0() kkkk d x x d yyd xyx yk, 可见() k xx k，() k yy k. 因为,A B为闭集，所以xA，yB即 ( , )x yA B, 故A B为闭集. 9两个完备集的交集是否一定是完备集？两个完备集的并集是否一定是完备集？可数 多个完备集的并集呢？ 证明 两个完备集的交集不一定是完备集，如12 , 1 1 , 0不完备. 两个完备集的并集是完备集. 事实上，设, n E F R完备，则 ,)(FEFEFE 所以FE是完备的. 可数个完备集的并集不一定是完备集. 如：) 1 , 0( 2 1 1 , 1 1 1 n nn 不完备. 10若G是 n R中的开集，证明：GG 11 设f在整个数轴上有定义， 其函数值只取整数， 证明：f的连续点之集 f C是开集， 间断点之集 f D是闭集 证明 设A表示f的连续点之集, 则 0 xA, 有 0 ()f xn)( 为整数n。 对于0.1，0使得 0 (, ),xB x 有 0 |( )()| |( )| 0.1 1f xf xf xn. 因为 ( )f x为整数，所以， 0 (, ),xB x 有(