小学数学奥数1--6年级培优讲座、习题集和答案.pdf

小学数学奥数小学数学奥数 1-6 年级培优讲座、年级培优讲座、 习题集、与答案完整版习题集、与答案完整版 计数问题排列组合讲义计数问题排列组合讲义 1、“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这 3 个字母用 3 种不同颜色来写，现有 5 种不同颜色的笔，问共有多少钟不同的写法？ 分析：分析：从 5 个元素中取 3 个的排列：P（5、3）=543=60 2、从数字 0、1、2、3、4、5 中任意挑选 5 个组成能被 5 除尽且各位数字互异的五位数，那么共可以组成多少个不同的五位数？ 分析：分析：个位数字是 0：P（5、4）=120；个位数字是 5：P（5、4）P（4、3）=12024=96，（扣除 0 在首位的排列）合计 12096 =216 另：此题乘法原理、加法原理结合用也是很好的方法。 3、用 2、4、5、7 这 4 个不同数字可以组成 24 个互不相同的四位数，将它们从小到大排列，那么 7254 是第多少个数？ 分析：分析：由已知得每个数字开头的各有 244=6 个，从小到大排列 7 开头的从第 631=19 个开始，易知第 19 个是 7245，第 20 个 7 254。 4、有些四位数由 4 个不为零且互不相同的数字组成，并且这 4 个数字的和等于 12，将所有这样的四位数从小到大依次排列，第 24 个这样的四位数是多少？ 分析：分析：首位是 1：剩下 3 个数的和是 11 有以下几种情况：236=11，共有 P（3、3）=6 个；245=11，共有 P（3、3）=6 个； 首位是 2：剩下 3 个数的和是 10 有以下几种情况：136=10，共有 P（3、3）=6 个；145=10，共有 P（3、3）=6 个；以上正好 24 个，最大的易知是 2631。 5、用 0、1、2、3、4 这 5 个数字，组成各位数字互不相同的四位数，例如 1023、2341 等，求全体这样的四位数之和。 分析：分析：这样的四位数共有 P（4、1）P（4、3）=96 个 1、2、3、4 在首位各有 964=24 次，和为（1234）100024=240000； 1、2、3、4 在百位各有 2443=18 次，和为（1234）10018=18000； 1、2、3、4 在十位各有 2443=18 次，和为（1234）1018=1800； 1、2、3、4 在个位各有 2443=18 次，和为（1234）118=180； 总和为 240000180001800180=259980 6、计算机上编程序打印出前 10000 个正整数：1、2、3、10000 时，不幸打印机有毛病，每次打印数字 3 时，它都打印出 x， 问其中被错误打印的共有多少个数？ 分析：分析：共有 10000 个数，其中不含数字 3 的有： 五位数 1 个，四位数共 8999=5832 个，三位数共 899=648 个，二位数共 89=72 个，一位数共 8 个，不含数字 3 的共有6561 所求为 100006561=3439 个 7、在 1000 到 9999 之间，千位数字与十位数字之差（大减小）为 2，并且 4 个数字各不相同的四位数有多少个？ 分析：分析：13结构：87=56，31同样 56 个，计 112 个； 24结构：87=56，42同样 56 个，计 112 个； 35结构：87=56，53同样 56 个，计 112 个； 46结构：87=56，64同样 56 个，计 112 个； 57结构：87=56，75同样 56 个，计 112 个； 68结构：87=56，86同样 56 个，计 112 个； 79结构：87=56，97同样 56 个，计 112 个； 20结构：87=56， 以上共 112756=840 个 8、如果从 3 本不同的语文书、4 本不同的数学书、5 本不同的外语书中选取 2 本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？ 分析：分析：因为强调 2 本书来自不同的学科，所以共有三种情况：来自语文、数学：34=12；来自语文、外语：35=15；来自数学、 外语：45=20；所以共有 121520=47 9、某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有 7 个车站，现在新增了 3 个车站，铁路上两站之间往返的车票不一样，那么，这样 需要增加多少种不同的车票？ 分析：分析：方法一：一张车票包括起点和终点，原来有 P（7、2）=42 张，（相当于从 7 个元素中取 2 个的排列），现在有 P（10、2）= 90，所以增加 9042=48 张不同车票。 方法二：1、新站为起点，旧站为终点有 37=21 张，2、旧站为起点，新站为终点有 73=21 张，3、起点、终点均为新站有 32=6 张，以上共有 21216=48 张 10、7 个相同的球放在 4 个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有多少种？ 分析：分析：因为 7=1111111，相当于从 6 个加号中取 3 个的组合，C（6、3）=20 种 11、从 19、20、21、22、93、94 这 76 个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？ 分析：分析：76 个数中，奇数 38 个，偶数 38 个 偶数偶数=偶数：C（38、2）=703 种，奇数奇数=偶数：C（38、2）=703 种，以上共 有 703703=1406 种 12、用两个 3，一个 1，一个 2 可组成若干个不同的四位数，这样的四位数一共有多少个？ 分析：分析：因为有两个 3，所以共有 P（4、4）2=12 个 13、有 5 个标签分别对应着 5 个药瓶，恰好贴错 3 个标签的可能情况共有多少种？ 分析：分析：第一步考虑从 5 个元素中取 3 个来进行错贴，共有 C（5、3）=10，第二步对这 3 个瓶子进行错贴，共有 2 种错贴方法，所以 可能情况共有 102=20 种。 14、有 9 张同样大小的圆形纸片，其中标有数码“1”的有 1 张，标有数码“2”的有 2 张，标有数码“3”的有 3 张，标有数码“4” 的有 3 张，把这 9 张圆形纸片如呼所示放置在一起，但标有相同数码的纸片不许*在一起。 如果 M 处放标有数码“3”的纸片，一共有 多少种不同的放置方法？ 如果 M 处放标有数码“2”的纸片，一共有多少种不同的放置方法？ 分析：分析： 如果 M 处放标有数码“3”的纸片，只有唯一结构： 在剩下的 6 个位置中，3 个“4”必须隔开，共有奇、偶位 2 种放法，在剩下 的 3 个位置上“1”有 3 种放法（同时也确定了“2”的放法）。 由乘法原理得共有 23=6 种不同的放法。 如果 M 处放标有数码“2”的纸片，有如下几种情况： 结构一： 3 个“3”和 3 个“4”共有 2 种放法，再加上 2 和 1 可以交换位置，所以共有 22=4 种； 结构二：3 个“4”有奇、偶位 2 种选择（相应的“1”也定了，只能*着已有的“3”，加上 2 和 3 可以交换，所以共有 22=4 种； 结构三：3 个“3”有奇、偶位 2 种选择，“1”有唯一选择，只能*到已有的“4”，加上 2 和 4 可以交换位置，所以共有 22=4 种， 以上共有 444=12 种不同的放法。 15、一台晚会上有 6 个演唱节目和 4 个舞蹈节目。问：如果 4 个舞蹈节目要排在一起，有多少种不同的安排顺序？如果要求每 两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目，一共有多少种不同的安排顺序？ 分析：分析：4 个舞蹈节目要排在一起，好比把 4 个舞蹈?在一起看成一个节目，这样和 6 个演唱共有 7 个节目，全排列 7！，加上 4 个 舞蹈本身也有全排 4！，所以共有 7！4！=120960 种。 4 个舞蹈必须放在 6 个演唱之间，6 个演唱包括头尾共有 7 个空档，7 个空档取出 4 个放舞蹈共有 P（7、4），加上 6 个演 唱的全排 6！，共有 P（7、4）6！=604800 种。 行程问题讲义行程问题讲义 1、甲、乙两地相距 6 千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行 80 米，后一半时间平均每分钟行 70 米。问他走后一半路 程用了多少分钟？ 分析：分析：解法、全程的平均速度是每分钟（80+70）/2=75 米，走完全程的时间是 6000/75=80 分钟，走前一半路程速度一定是 80 米， 时间是 3000/80=37.5 分钟，后一半路程时间是 80-37.5=42.5 分钟 解法 2：设走一半路程时间是 x 分钟，则 80*x+70*x=6*1000，解方程得：x=40 分钟 因为 80*40=3200 米，大于一半路程 3000 米，所以走前一半路程速度都是 80 米，时间是 3000/80=37.5 分钟，后一半路程时间是 40 +（40-37.5）=42.5 分钟 答：他走后一半路程用了 42.5 分钟。 2、小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路、一半下坡路。小明上学走两条路所用的时间一样多。已 知下坡的速度是平路的 1.5 倍，那么上坡的速度是平路的多少倍？ 分析：分析：解法 1：设路程为 180，则上坡和下坡均是 90。设走平路的速度是 2，则下坡速度是 3。走下坡用时间 90/3=30，走平路一共 用时间 180/2=90，所以走上坡时间是 90-30=60 走与上坡同样距离的平路时用时间 90/2=45 因为速度与时间成反比，所以上坡速度是 下坡速度的 45/60=0.75 倍。 解法 2：因为距离和时间都相同，所以平均速度也相同，又因为上坡和下坡路各一半也相同，设距离是 1 份，时间是 1 份，则下坡时 间=0.5/1.5=1/3，上坡时间=1-1/3=2/3，上坡速度=（1/2）/（2/3）=3/4=0.75 解法 3：因为距离和时间都相同，所以：1/2*路程/上坡速度+1/2*路程/1.5=路程/1，得：上坡速度=0.75 答：上坡的速度是平路的 0.75 倍。 3、一只小船从甲地到乙地往返一次共用 2 小时，回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶 8 千米，因此第二小时比第一小时多行驶 6 千米。那么甲、乙两地之间的距离是多少千米？ 分析：分析：解法，第二小时比第一小时多走 6 千米，说明逆水走 1 小时还差 6/2=3 千米没到乙地。顺水走 1 小时比逆水多走 8 千米， 说明逆水走 3 千米与顺水走 8-3=5 千米时间相同，这段时间里的路程差是 5-3=2 千米，等于 1 小时路程差的 1/4，所以顺水速度是每小时 5*4=20 千米（或者说逆水速度是 3*4=12 千米）。甲、乙两地距离是 12*1+3=15 千米 解法，顺水每小时比逆水多行驶 8 千米，实际第二小时比第一小时多行驶 6 千米，顺水行驶时间=6/8=3/4 小时，逆水行驶时间=2 -3/4=5/4，顺水速度：逆水速度=5/4：3/4=5：3，顺水速度=8*5/（5-3）=20 千米/小时，两地距离=20*3/4=15 千米。 答：甲、乙两地距离之间的距离是 15 千米。 4、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔 5 分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走 15 分钟。有一个人 从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了 10 辆迎面开来的电车。到达甲站时， 恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟？ 分析：分析：骑车人一共看到 12 辆车，他出发时看到的是 15 分钟前发的车，此时第 4 辆车正从甲发出。骑车中，甲站发出第 4 到第 12 辆 车，共 9 辆，有 8 个 5 分钟的间隔，时间是 5*8=40（分钟）。 答：他从乙站到甲站用了 40 分钟。 5、甲、乙两人在河中游泳，先后从某处出发，以同一速度向同一方向游进。现在甲位于乙的前方，乙距起点 20 米，当乙游到甲现 在的位置时，甲将游离起点 98 米。问：甲现在离起点多少米？ 分析：分析：甲、乙速度相同，当乙游到甲现在的位置时，甲也又游过相同距离，两人各游了（98-20）/2=39（米），甲现在位置：39+20 =59（米） 答：甲现在离起点 59 米。 6、甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行 56 千米，乙每小时行 48 千米，两车在离两地中点 32 千米处相遇。问： 东西两地的距离是多少千米？ 分析：分析：解法 1：甲比乙 1 小时多走 8 千米，一共多走 32*2=64 千米，用了 64/8=8 小时，所以距离是 8*（56+48）=832（千米） 解法 2：设东西两地距离的一半是 X 千米，则有：48*（X+32）=56*（X-32），解得 X=416，距离是 2*416=832（千米） 解法 3：甲乙速度比=56：48=7：6，相遇时，甲比乙多行=（7-6）/（7+6）=1/13，两地距离=2*32/（1/13）=832 千米。 答：东西两地间的距离是 832 千米。 7、李华步行以每小时 4 千米的速度从学校出发到 20.4 千米外的冬令营报到。0.5 小时后，营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多 走 1.2 千米。又过了 1.5 小时，张明从学校骑车去营地报到。结果 3 人同时在途中某地相遇。问：骑车人每小时行驶多少千米？ 分析：分析：老师速度=4+1.2=5.2（千米），与李相遇时间是老师出发后（20.4-4*0.5）/（4+5.2）=2（小时），相遇地点距离学校 4*（0. 5+2）=10（千米），所以骑车人速度=10/（2+0.5-2）=20（千米） 答：骑车人每小时行驶 20 千米。 8、快车和慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过 5 小时相遇。已知慢车从乙地到甲地用 12.5 小时，慢车到甲地停留 0. 5 小时后返回，快车到乙地停留 1 小时后返回，那么两车从第一次相遇到第二次相遇需要多少时间？ 分析：分析：解法，快车 5 小时行过的距离是慢车 12.5-5=7.5 小时行的距离，慢车速度/快车速度=5/7.5=2/3。两车行 1 个单程用 5 小 时，如果不停，再次相遇需要 5*2=10 小时，如果两车都停 0.5 小时，则需要 10.5 小时再次相遇。快车多停 30 分钟，这段路程快车与慢 车一起走，需要 30/（1+2/3）=18（分钟）所以 10.5 小时+18 分钟=10 小时 48 分钟 解法 2：回程慢车比快车多开半小时，这半小时慢车走了 0.5/12.5=1/25 全程，两车合起来少开 1/25，节省时间=5*1/25=0.2 小时， 所以，从第一次相遇到第二次相遇需要=5*2+1-0.2=10.8 小时。 答：两车从第一次相遇到第二次相遇需要 10 小时 48 分钟。 9、某校和某工厂之间有一条公路，该校下午 2 时派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用 1 小时。这位劳模在下午 1 时便离厂步 行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午 2 时 40 分到达。问：汽车速度是劳模步行速度的几倍？ 解：汽车走单程需要 60/2=30 分钟，实际走了 40/2=20 分钟的路程，说明相遇时间是 2：20，2 点 20 分相遇时，劳模走了 60+20=80 分钟，这段距离汽车要走 30-20=10 分钟，所以车速/劳模速度=80/10=8 答：汽车速度是劳模步行速度的 8 倍。 10、已知甲的步行的速度是乙的 1.4 倍。甲、乙两人分别由 A，B 两地同时出发。如果相向而行，0.5 小时后相遇；如果他们同向而 行，那么甲追上乙需要多少小时？ 分析：分析：两人相向而行，路程之和是 AB，AB=速度和*0.5；同向而行，路程之差是 AB，AB=速度差*追及时间。速度和=1.4+1=2.4，速 度差=1.4-1=0.4。所以：追及时间=速度和/速度差*0.5=2.4/0.4*0.5=3（小时） 答：甲追上乙需要 3 小时。 11、猎狗发现在离它 10 米的前方有一只奔跑着的兔子，马上紧追上去。兔跑 9 步的路程狗只需跑 5 步，但狗跑 2 步的时间，兔却跑 3 步。问狗追上兔时，共跑了多少米路程？ 分析：分析：狗跑 2 步时间里兔跑 3 步，则狗跑 6 步时间里兔跑 9 步，兔走了狗 5 步的距离，距离缩小 1 步。狗速=6*速度差，路程=10*6= 60（米） 答：狗追上兔时，共跑了 60 米。 12、张、李两人骑车同进从甲地出发，向同一方向行进。张的速度比李的速度每小时快 4 千米，张比李早到 20 分钟通过途中乙地。 当李到达乙地时，张又前进了 8 千米。那么甲、乙两地之间的距离是多少千米？ 分析：分析：解法 1，张速度每小时 8/（20/60）=24（千米），李速度每小时 24-4=20（千米），张到乙时超过李距离是 20*（20/60）=20 /3（千米）所以甲乙距离=24*（20/3/4）=40（千米） 解法 2：张比李每小时快 4 千米，现共多前进了 8 千米，即共骑了 8/4=2 小时，张从甲到乙用了 2*60-20=100 分钟，所以甲乙两地距 离=（100/20）*8=40 千米。 答：甲、乙两地之间的距离是 40 千米。 13、上午 8 时 8 分，小明骑自行车从家里出发；8 分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家 4 千米的地方追上了他；然后爸爸立刻回家， 到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是 8 千米。问这时是几时几分？ 分析：分析：爸爸第一次追上小明离家 4 千米，如果等 8 分钟，再追上时应该离家 8 千米，说明爸爸 8 分钟行 8 千米，爸爸一共行了 8+8= 16 分钟，时间是 8 点 8 分+8 分+16 分=8 点 32 分。 答：这时 8 点 32 分。 14、龟兔进行 10000 米赛跑，兔子的速度是乌龟的速度的 5 倍。当它们从起点一起出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始 睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它 5000 米；兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后 100 米。那么兔子睡觉期间，乌龟跑了多少 米？ 分析：分析：兔子跑了 10000-100=9900 米，这段时间里乌龟跑了 9900*1/5=1980 米，兔子睡觉时乌龟跑了 10000-1980=8020 米 答：兔子睡觉期间乌龟跑了 8020 米。 15、一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地。大轿车的速度是小轿车速度的 0.8 倍。已知大轿车比小轿车早出发 17 分钟，但在 两地中点停了 5 分钟后，才继续驶往乙地；在小轿车出发后中途没有停，直接驶往乙地，最后小轿车却比大轿车早 4 分钟到达乙地。又 知大轿车是上午 10 时从甲地出发的，求小轿车追上大轿车的时间。 分析：分析：解法 1，大车如果中间不停车，要比小车多费 17-5+4=16 分钟，大车用的时间与小车用的时间之比是速度比的倒数，即 1/0.8 =5/4，所以大车行驶时间是 16/（5-4）*5=80 分钟，小车行驶时间是 80-16=64 分钟，走到中间分别用了 40 和 32 分钟。大车 10 点出发， 到中间点是 10 点 40 分，离开中点是 10 点 45 分，到达终点是 11 点 25 分。小车 10 点 17 分出发，到中间点是 10 点 49 分，比大车晚 4 分；到终点是 11 点 21 分，比大车早 4 分。所以小车追上大车的时间是在从中间点到终点之间的正中间，11 点 5 分。 解法 2：大轿车的速度是小轿车速度的 0.8 倍，大轿车的用时是小轿车用时的 1/0.8=1.25 倍，大轿车比小轿车多用时 17-5+4=16 分 钟，大轿车行驶时间=16*（1.25/0.25）=80 分钟，小轿车行驶时间=16/（0.25）=64 分钟，小轿车比大轿车实际晚开 17-5=12 分钟，追 上需要=12*0.8/（1-0.8）=48 分钟，48+17=65 分=1 小时 5 分，所以，小轿车追上大轿车的时间是 11 时 5 分 答：小轿车追上大轿车的时间是 11 点 5 分。 第二讲义第二讲义 1、某解放车队伍长 450 米，以每秒 1.5 米的速度行进。一战士以每秒 3 米的速度从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要多少时间？ 分析：分析：从排尾到排头用的时间是 450/（3-1.5）=300 秒，从排头回排尾用的时间是 450/（3+1.5）=100 秒，一共用了 300+100=400 秒 答：需要 400 秒。 2、铁路旁的一条平行小路上，有一行人与一骑车人同进向南行进，行人速度为每小时 3.6 千米，骑车人速度为每小时 10.8 千米。 这时，有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用 22 秒钟，通过骑车人用 26 秒钟。这列火车的车身总长是多少米？ 分析：分析：设火车速度是每秒 X 米。行人速度是每秒 3.6*1000/60*60=1（米），骑车人速度是每秒 1.8*1000/60*60=3（米） 根据已知 条件列方程：（X-1）*22=（X-3）*26，解得：X=14（米），车长=（14-1）*22=286（米） 分析，骑车人速度是行人速度的 10。8/3。6=3 倍，22 秒时火车通过行人（设行人这 22 秒所走的路程为 1），车尾距骑车人还有 2 倍行人 22 秒所走的路程，即距离 2；26 秒（即又过 4 秒）时，火车通过骑车人，骑车人行=4*（3/22）=6/11，火车行 2+6/11=28/11，火 车与骑车人的速度比为 28/11：6/11=14：3；火车速度=14*10.8/3=504 千米/小时；火车车长=（50400-3600）*22/3600=286 米。 答：这列火车的车身总长是 286 米。 3、一列客车通过 250 米长的隧道用 25 秒，通过 210 米长的隧道用 23 秒。已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车，车身 长为 320 米，速度每秒 17 米。求列车与华车从相遇到离开所用的时间。 分析：分析：客车速度是每秒（250-210）/（25-23）=20 米，车身长=20*23-210=250 米 客车与火车从相遇到离开的时间是（250+320）/（20-17）=190（秒） 答：客车与火车从相遇到离开的时间是 190 秒。 4、铁路旁有一条小路，一列长 110 米的火车以每小时 30 千米的速度向北缓缓驶去。14 小时 10 分钟追上向北行走的一位工人，15 秒种后离开这个工人；14 时 16 分迎面遇到一个向南走的学生，12 秒后离开这个学生。问工人与学生将在何时相遇？ 分析：分析：解法 1：工人速度是每小时 30-0.11/（15/3600）=3.6 千米 学生速度是每小时（0.11/12/3600）-30=3 千米 14 时 16 分到两人相遇需要时间（30-3.6）*6/60/（3.6+3）=0.4（小时）=24 分钟 14 时 16 分+24 分=14 时 40 分 解法 2：（车速-工速）*15=车长=（车速+学速）*12,那么 工速+学速=（车速+学速）-（车速-工速）=（1/12-1/15）*车长 而 14 点 10 分火车追上工人，14 点 16 分遇到学生时，工人与学生距离恰好是 （车速-工速）*6=6/15*车长 这样，从此时到工人学生相遇用时 （6/15*车长）/（1/12-1/15）*车长=（6/15）/（1/12-1/15）=24 分 答：工人与学生将在 14 时 40 分相遇。 5、东、西两城相距 75 千米。小明从东向西走，每小时走 6.5 千米；小强从西向东走，每小时走 6 千米；小辉骑自行车从东向西， 每小时骑行 15 千米。3 人同时动身，途中小辉遇见小强又折回向东骑，这样往返，直到 3 人在途中相遇为止。问：小辉共走了多少千米？ 分析：分析：3 人相遇时间即明与强相遇时间，为 75/（6.5+6）=6 小时，小辉骑了 15*6=90 千米 答：小辉共骑了 90 千米。 6、设有甲、乙、两 3 人，他们步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的 3 倍。现甲从 A 地去 B 地，乙、丙从 B 地去 A 地，双方同时出发。出发时，甲、乙为步行，丙骑车。途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，3 人仍按各自原 有方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己重又步行，3 人仍按各自原有方向继续前进。问：3 人之中谁最先达到自己的目 的地？谁最后到达目的地？ 分析：分析： 如图，甲与乙在 M 点相遇，甲走了 AM，同时乙也走了同样距离 BN。当甲与乙在 P 点相遇时，乙一共走了 BP，甲还要走 PB，而丙只 走了 MA。所以 3 人步行的距离，甲=AM+PB，乙=BP，丙=MA。甲最远，最后到；丙最短，最先到。 分析，由于每人的步行速度和骑车速度都相同，所以，要知道谁先到、谁后到，只要计算一下各人谁步行最长，谁步行最短。将 整个路程分成 4 份，甲丙最先相遇，丙骑行 3 份，步行 1 分；甲先步行了 1 份，然后骑车与乙相遇，骑行 2*3/4=3/2 份，总步行 4-3/2= 5/2 份；乙步行 1+（2-3/2）=3/2，骑行 4-3/2=5/2 份，所以，丙最先到，甲最后到。 答：丙最先到达自己的目的地，甲最后到达自己的目的地。 7、有甲、乙、丙 3 人，甲每分钟走 100 米，乙每分钟走 80 米，丙每分钟走 75 米。现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向 而行，在途中甲与乙相遇后 6 分钟后，甲又与丙相遇。那么，东、西两村之间的距离是多少米？ 分析：分析：甲、乙相遇时，乙比丙多走的路程，正好是甲、丙 6 分钟的路程之和=（100+75）*6，乙比丙每分钟多走（80-75）米，因此 甲、乙相遇时走了：（100+75）*6/（80-75）分钟，两村的距离是（100+80）*（100+75）*6/（80-75）=37800（米） 答：东、西两村之间的距离是 37800 米。 8、甲、乙、丙 3 人进行 200 米赛跑，当甲到达终点后，乙离终点还有 20 米，丙离终点还有 25 米。如果甲、乙、丙赛跑的速度始终 不变，那么，当乙到达终点时，丙离终点还有多少米？（答案保留两位小时。） 分析：分析：乙跑 200-20=180 米比丙多跑 25-20=5 米，所以乙到达终点时，丙比乙少跑 200/180*5=5（5/9）=5.56（米） 答：当乙到达终点时，丙离终点还有 5.56 米。 9、张、李、赵 3 人都从甲地到乙地。上午 6 时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走 5 千米，李每小时走 4 千米。赵上午 8 时 从甲地出发。傍晚 6 时，赵、张同时到过乙地。那么赵追上李的时间是几时？ 分析：分析：甲、乙距离是 5*12=60（千米），赵的速度是 60/10=6（千米），赵追上李时走了（4*2）/（6-4）=4（小时），这时的时间 是 8+4=12（点） 分析，赵晚走 2 小时，此时张已走出 5*2=10 千米，李走出 4*2=8 千米，从上午 8 时到下午 18：00 时，共 10 个小时，赵、张同时 到达乙地，赵每小时比张多走 10/10=1 千米，那么赵比李每小时多走 1+1=2 千米，追上需要 8/2=4 小时，即追上为 12：00 时。 答：赵追上李的时间是 12 时。 10、快、中、慢 3 辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这 3 辆车分别用 6 分钟、10 分钟、12 分钟追上骑 车人。现在知道快车每小时走 24 千米，中车每小时走 20 千米，那么，慢车每小时走多少千米？ 分析：分析：快车 6 分钟行 24*1000*6/60=2400（米），中车 10 分钟行 20*1000*10/60=3333（1/3）（米） 骑车人速度每分钟行（3333（1/3）-2400）/（10-6）=700/3（米） 慢车 12 分钟行 2400-700/3*6+700/3*12=3800（米），每小时行 3800/12*60=190000（米）=19（千米） 分析，6 分钟快车追上骑车人时，中车与它们还相差 6*（24-20）/60=0.4 千米，10 分钟时，中车又开了 4*20/60=4/3 千米，追上 骑车人，说明骑车人 4 分钟骑了 4/3-0.4=14/15 千米，即骑车人速度=（14/15）*（60/4）=14 千米/小时，因为快车用 6 分钟追上骑车人， 由此可知原本三辆汽车落后骑车人 6*（24-14）/60=1 千米，12 分钟时，骑车人离三车出发点 1+14*12/60=3.8 千米，所以，慢车速度= （3.8/12）*60=19 千米/小时。 答：慢车每小时行 19 千米。 11、客车和货车分别从甲、乙两站同进相向开出，第一次相遇在离甲站 40 千米的地方，相遇后两车仍以原速度继续前进。客车到达 乙站、货车达到甲站后均立即返回，结果它们又在离乙站 20 千米的地方相遇。求甲、乙两站之间的距离。 分析：分析：第一次相遇一共走了全程 S，其中客车走 40 千米 第二次相遇两车一共又走了 3 个全程 2S，其中客车走（S+20）千米 所以 S+20=3*40，解得 S=100（千米） 答：甲、乙两站之间的距离是 100 千米。 12、甲、乙、丙是 3 个车站。乙站到甲、丙两站的距离相等。小明和小强分别从甲、丙两站同时出发，机向而行。小明过乙站 100 米后与小强相遇，然后两人又继续前进。小明走到两站立即返回，经过乙站后 300 米又追上小强。问：甲、丙两站的距离是多少米？ 分析：分析： 第一次相遇，小明走：全程的一半+100 米 从第一次相遇点再到追上小强时离乙站 300 米，300-100=200 米，小明又走：全程+20 0 米，可知第二段距离是第一段距离的 2 倍。小强第二段也应该走第一段的 2 倍，100+300=400 米，所以第一段走 400/2=200 米。乙丙距 离=200+100=300 米，甲丙距离=2*300=600 米。 答：甲、丙两站距离是 600 米。 13、甲、乙两地之间有一条公路。李明从甲地出发步行去乙地，同时张平从乙地出发骑摩托车去甲地，80 分钟后两人在途中相遇。 张平到达甲地后马上折回乙地，在第一次相遇后又经过 20 分钟在途中追上李明。张平达到乙地后又马上折回甲地，这样一直下去。问： 当李明到达乙在，张平共追上李明多少次？ 分析：分析：设李 20 分钟走 1 份距离，则 80 分钟走 4 份 张 20 分钟后追上李，李这时走了 4+1 份距离，张 202 分钟走 4+5=9 份，所以 速度比：李速度/张速度=1/9。李走完单程时张应该走 9 个单程，追上的次数是（9-1）/2=4（次） 答：当李明到达乙地时，张平共追上李明 4 次。 14、甲、乙两车分别从 A，B 两地出发，在 A，B 之间不断往返行驶。已知甲车的速度是每小时 15 千米，乙车的速度是每小时 35 千 米，并且甲、乙两车第三次相遇（两车同时到达同一地点即称相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距 100 千米，那么两地之间的距 离等于多少千米？ 分析：分析：甲速度/乙速度=15/35=3/7，第三次相遇时两车一共行驶 5 个 AB，其中甲行 5*3/10=1（5/10）AB，第四次相遇时两车一共行 驶 7 个 AB，其中甲行 7*3/10=2（1/10）AB，这两点的距离是 5/10-1/10=4/10AB=100（千米） 所以 AB=100*10/4=250（千米） 答：两地之间的距离是 250 千米。 15、两名游泳运动员在长为 30 米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游 1 米，乙的速度是每秒游 0.6 米，他们同时分别从游泳池 的两端出发，来回共游了 5 分钟。如果不计转向的时间，那么在这段时间内两人共相遇多少次？ 分析：分析：5 分钟两人一共游了（1+0.6）*5*60=480 米 第一次迎面相遇，两人一共游了 30 米；以后两人和起来每游 2*30=60 米，就 迎面相遇一次，480=30+60*7+30，迎面相遇了 8 次。甲比乙多游了（1-0.6）*5*60=120 米，甲第一次追上乙时，比乙多游 30 米；以后每 多游 2*30=60 米，就又追上追上乙一次，120=30+60+30，甲一共追上乙 2 次 两人相遇次数=8+2=10 次。 分析，甲的速度是每秒游 1 米，一个来回 60 秒=1 分钟，5 分钟共游了 5 个来回；乙的速度是每秒游 0.6 米，一个来回 100 秒，5 分钟共游了 5*60/100=3 个来回；画图很容易可以看出共相遇了几次。 答：在这段时间内两人共相遇 10 次。 计算问题计算问题 多位数与小数讲义多位数与小数讲义 1.计算：1991+199.1+19.91+1.991. 解析：解析：1991+199.1+19.91+1.991 =1991+9+199.1+0.9+19.91+0.09+1.991+0.009-(9+0.9+0.09+0.009) =2000+200+20+2-9.999 =2222-10+0.001 =2212.001 2.计算：7142.853.72.71.70.7. 解析：解析：7142.853.72.71.70.7 =7142.853727177 =7142.85799917 =49999.9599917 =50.0517 =850.85 3.光的速度是每秒 30 万千米，太阳离地球 1 亿 5 千万千米.问：光从太阳到地球要用几分钟？（答案保留一位小数.） 解析：解析：15000000030000060=15036=5068.338.3（分） 光从太阳到地球要用约 8.3 分钟。 4.已知 105.5+(40+2.3) 0.5-1.53 (53.626.80.125)=187.5,那么所代表的数是多少？ 解析：解析：105.5+(40+2.3) 0.5-1.53 (53.626.80.125) =105.5+（20+4.6-1.53）(226.826.80.125) =105.5+(18.47+4.6) 0.25 =105.5+18.470.25+4.60.25 =105.5+73.88+1.15 因为 105.5+73.88+1.15187.5 所以=(187.5-105.5-73.88) 1.15=8.121.15=8.12+0.812+0.406=9.338 答：=9.338 5.22.5-(32-24) 3.2=10 在上面算式的两个方框中填入相同的数，使得等式成立。那么所填的数应是多少？ 解析：解析：22.5-(32-24) 3.2 =22.5-(32-24) 3.2 =22.5-83.2 =22.5-2.5 因为 22.5-2.5=10，所以2.5=22.5-10，=(22.5-10) 2.5=5 答：所填的数应是 5。 6.计算：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+0.99. 解析：解析：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+0.99 =(0.1+0.9) 52+(0.11+0.99) 452 =2.5+24.75 =27.25 7.计算：37.521.50.112+35.512.50.112. 解析：解析：37.521.50.112+35.512.50.112 =0.112（37.521.5+35.512.5） =0.112（12.5321.5+35.512.5） =0.11212.5（321.5+35.5） =0.11212.5100 =1250（0.1+0.01+0.002） =125+12.5+2.5 =140 8.计算：3.4276.3+7.6357.6+9.1823.7. 解析：解析：3.4276.3+7.6357.6+9.1823.7 =7.63（34.2+57.6）+9.1823.7 =7.6391.8+91.82.37 =(7.63+2.37) 91.8 =1091.8 =918 9.计算：(32.891-16.492-1.75656) (0.20.2). 解析：解析：(32.891-16.492-1.75656) (0.20.2) =(16.4291-16.492-16.4401.75) (0.20.2) =16.4(182-92-70) (0.20.2) =16.4200.20.2 =82100 =8200 10.计算：(2+3.15+5.87) (3.15+5.87+7.32)-(2+3.15+5.87+7.32) (3.15+5.87). 解析：解析：(2+3.15+5.87) (3.15+5.87+7.32)-(2+3.15+5.87+7.32) (3.15+5.87) =(2+3.15+5.87) (3.15+5.87+7.32)-2(3.15+5.87) -(3.15+5.87+7.32) (3.15+5.87) =(3.15+5.87+7.32) (2+3.15+5.87-3.15-5.87) -2(3.15+5.87) =(3.15+5.87+7.32) 2-2(3.15+5.87) =(3.15+5.87) 2+7.32 2-2(3.15+5.87) =7.322 =14.64 11.求和式 3+33+333+333（10 个 3）计算结果的万位数字. 解析：解析：个位 10 个 3 相加，和为 30，向十位进 3； 十位 9 个 3 相加，和为 27，加上个位的进位 3 得 30，向百位进 3； 百位 8 个 3 相加，和为 24，加上十位的进位 3 得 27，向千位进 2； 千位 7 个 3 相加，和为 21，加上百位的进位 2 得 23，向万位进 2； 万位 6 个 3 相加，和为 18，加上千位的进位 2 得 20，万位得数是 0。 答：计算结果的万位数字是 0。 12.计算：19+199+1999+1999（1999 个 9）. 解析：解析：19+199+1999+1999（1999 个 9） =(20-1)+(200-1)+(2000-1)+(2000（1999 个 0）-1) =2220（1999 个 2）-19991 =222(1996 个 2)0221 13.算式 999（1992 个 9）999（1992 个 9）+1999（1992 个 9）的计算结果的末位有多少个零？ 解析：解析：999（1992 个 9）999（1992 个 9）+1999（1992 个 9） =999（1992 个 9）（1000-1）（1992 个 0）+1999（1992 个 9） =999（1992 个 9） 0（1992 个 0） - 999（1992 个 9）+1999（1992 个 9） =999（1992 个 9） 0（1992 个 0）+1000（1992 个 0） =1000（3984 个 0） 14.计算：333（10 个 3）666（10 个 6）. 解析：解析：333（10 个 3）666（10 个 6） =333（10 个 3）3222（10 个 2） =999（10 个 9）222（10 个 2） =(1000（10 个 0）-1) 222（10 个 2） =222（10 个 2）000（10 个 0）-222（10 个 2） =222（9 个 2）177（9 个 7）8 15.求算式 999（1994 个 9）888（1994 个 8）666（1994 个 6）的计算结果的各位数字之和. 解析：解析：999（1994 个 9）888（1994 个 8）666（1994 个 6） =9111（1994 个 1）8111（1994 个 1）6111（1994 个 1） =986111（1994 个 1） =12111（1994 个 1） =（10+2）111（1994 个 1） =111（1995 个 1）+222（1994 个 1） =133333（1993 个 1） 2 各位数字之和=1+19933+2=5982 答：计算结果的各位数字之和 5982。 组合问题组合问题 构造与论证讲义构造与论证讲义 1、有一把长为 9 厘米的直尺，你能否在上面只标出 3 条刻度线，使得用这把直尺可以量出从 1 至 9 厘米中任意整数厘米的长度？ 分析：分析：可以。（1）标 3 条刻度线，刻上 A，B，C 厘米（都是大于 1 小于 9 的整数），那么，A，B，C，9 这 4 个数中，大减小两两之 差，至多有 6 个：9-A，9-B，9-C，C-A，C-B，B-A，加上这 4 个数本身，至多有 10 个不同的数，有可能得到 1 到 9 这 9 个不同的数。 （2） 例如刻在 1，2，6 厘米处，由 1，2，6，9 这 4 个数，以及任