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导数大题1某堆雪在融化过程中，其体积（单位：）与融化时间（单位：）近似满足函数关系：（为常数），其图象如图所示. 记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为. 那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（ ） （A）（B）（C）（D）2函数的极值点 ，曲线在点处的切线方程是 . 3已知函数，.（）若在处与直线相切，求，的值；（）在（）的条件下，求在上的最大值；（）若不等式对所有的，都成立，求的取值范围.解：（）.由函数在处与直线相切，得即解得 4分（）由（）得，定义域为此时.令，解得，令，得所以在（，）上单调递增，在（，）上单调递减，所以在上的最大值为 8分（）若不等式对所有的，都成立， 即对所有的，都成立，即对所有的，都成立， 即对恒成立 11分即对恒成立，即大于或等于在区间上的最大值令，则，当时，单调递增，所以，的最大值为即所以的取值范围是 14分4已知函数 （）求的单调区间；（）证明：，；（）写出集合（b为常数且）中元素的个数（只需写出结论）解：（） 令，则， +-+极大极小所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为 , 4分 （）证明：由（）知的单调递增区间为，单调递减区间为，所以当时， 因为当时，所以当时， 所以-所以对，都有- 10分（）当时，集合的元素个数为0；当或时，集合的元素个数为1；当时，集合的元素个数为2；当时，集合的元素个数为3 13分5已知函数.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）如果函数在上单调递减，求的取值范围；（）当时，讨论函数零点的个数解：（）当时，所以，所以切线方程为 3分（）因为在上单调递减，等价于在恒成立， 变形得 恒成立，而（当且仅当，即时，等号成立） 所以 8分（）令，得极小值所以= （）当时，所以在定义域内无零点；（）当时，所以在定义域内有唯一的零点；（）当时， 因为，所以在增区间内有唯一零点； ，设，则，因为，所以，即在上单调递增，所以，即，所以在减区间内有唯一的零点所以时在定义域内有两个零点综上所述：当时，在定义域内无零点；当时，在定义域内有唯一的零点；当时，在定义域内有两个零点 13分6已知函数 ,，（，为常数）（）若在处的切线过点，求的值；（）设函数的导函数为，若关于的方程有唯一解，求实数的取值范围；（）令，若函数存在极值，且所有极值之和大于，求实数的取值范围解：（）设在处的切线方程为，因为，所以，故切线方程为.当时，将 代入，得 3分（），由题意得方程有唯一解，即方程有唯一解令，则， 所以在区间上是增函数，在区间上是减函数.又，故实数的取值范围 8分（） 所以.因为存在极值，所以在上有根，即方程在上有根，则有.显然当
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