寒假数学第3讲《比例应用题》.pdf

+ 五年级 第 3 讲 比例应用题 （C 版） 1 比比比例例例应应应用用用题题题 3 3 3 (1)艾迪、大宽和薇儿一共有 45 块糖，而且三人糖数之比 为 4 :5 :6，那么艾迪有 块糖，大宽有 块糖，薇儿有 块糖. (2)艾迪、大宽的糖数之比为 3:2，大宽、薇儿的糖数之比 为 3:4，并且知道艾迪比薇儿多 10 块糖，那么三人共有 块糖. （3）艾迪、大宽、薇儿一共有 45 块糖，艾迪吃掉 1 块， 大宽吃掉 2 块，薇儿吃掉 3 块后，三个人剩下的糖数之比 是 4:3:6，那么艾迪原有 块糖。 按比分配 【分析】【分析】 (1)1份是45 （4+5+6）=3块糖， 艾迪有3 4=12 块糖，大宽有3 5=15块糖，薇儿有3 6=18块糖； (2)统一比为9:6以及6:8,艾迪比薇儿多9-8=1份，对应10块 糖，所以共有（9+6+8） 10=230块糖； (3)1份是(45-1-2-3) (4+3+6)=3块糖，艾迪原有3 4+1=13 块糖。 有一个长方体，长与宽的比是 2:1，宽与高的比是 3:2已 - 练一练练一练 - 例例1 了解勾股定理历史，定义 了解勾股定理和弦图的证明 利用平方差公式和勾股定理解决 五年级 第 3 讲 比例应用题 （C 版） 2 知这个长方体的全部棱长之和是 220 厘米， 求这个长方体 的体积 按比分配 【分析】【分析】 由条件长与宽的比为2:16:3，所以这个长方 体的长、宽、高的比为6:3:2，由于长方体的所有棱中， 长 、 宽 、 高 各 有4条 ， 所 以 长 方 体 的 长 为 16 22030 4632 厘米，宽为 13 22015 4632 厘米， 高为 12 22010 4632 厘米， 所以这个长方形的体积为 30 15 104500 立方厘米. 加工某种零件，甲 2 分钟加工 1 个，乙 3 分钟加工 1 个， 丙 4 分钟加工 1 个现在三人在同样的时间内一共加工 143 个零件问:甲、乙、丙三人各加工多少个零件? 按比分配 【分析】【分析】 法 1:2，3，4=12，则 12 分钟内，甲，乙，丙 分别加工6， 4， 3个零件， 即总共加工13个零件 143 13=11， 最终甲加工 11 6=66(个)；乙加工 11 4=44(个)；丙加工 11 3=33(个). 法 2:甲乙丙三人的效率之比为: 1 1 1 :6:4:3 2 3 4 ，时间相 - 例例2 五年级 第 3 讲 比例应用题 （C 版） 3 同时，工作量之比也为 6:4:3，总量为 143，由按比分配可 知，三人各加工 66，44，33 个零件 (1)甲的 1 3 等于乙的 1 4 ，则甲:乙=_. (2) 已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的 2 倍也等 于丙的 2 3 ，那么甲的 2 3 、乙的 2 倍、丙的一半，这三个数 的比为多少? 【分析】【分析】 （1）甲的 1 3 与乙的 1 4 的比是1:1，所以甲、乙的 比为 11 (1):(1)3:4 34 （2）甲的一半、乙的2倍、丙的 2 3 这三个数的比为1:1:1， 所以甲、乙、丙这三个数的比为 12 1: 12 : 1 23 即 1 3 2: 2 2 ，化简为4:1:3，那么甲的 2 3 、乙的2倍、丙的一 半这三个数的比为 21 4: 1 2 : 3 32 即 83 :2: 32 ，化简为 16:12:9. - 例例4 - 例例3 五年级 第 3 讲 比例应用题 （C 版） 4 （1）甲、乙、丙三个班的总人数之比为 6:7:8，甲班男女 人数比为 2:3，乙班男女人数比为 4:3， 丙班男女人数比为 3:1，那么甲、乙、丙三个班的男生人数比是多少? （2）在某次数学联考中，甲、乙、丙三个班总分之比为 8:9:11，甲、乙、丙三个班人数之比为 3:4:5，那么三个班 的平均分之比是多少? 【分析】【分析】 （1） 甲班男生占 22 235 ， 乙班男生占 44 437 ， 丙班男生占 33 3 14 ，所以甲、乙、丙三个班的男生人数 比为 24312 6:7:8:4:66:10:15 5745 。 （2）平均分之比为 8 9 11 (83):(94):(11 5):160:135:132 3 45 . 两个长方体的长之比为 4:7，宽之比为 5:3，体积之比为 2:3，求两个长方体高的比。 【分析】【分析】 高的比为 11 (245):(373):7:10 10 7 . (1) 艾迪和薇儿身上的钱数之比为 3:2，妈妈又给艾迪 4 元钱后，艾迪与薇儿的钱数之比变成 8:5，则薇儿身上有 - 例例5 - 练一练练一练 五年级 第 3 讲 比例应用题 （C 版） 5 多少钱? (2)艾迪和薇儿原有的积分卡张数之比为 8:7，若艾迪给薇 儿 4 张，则两人的张数之比将变成 18:17，则艾迪原有多 少张? (3)艾迪和薇儿家里的课外书之比为 5:4，大宽问艾迪和薇 儿各借了 5 本课外书后， 艾迪和薇儿的课外书之比变成了 9:7，则艾迪和薇儿原来的课外书共有多少本? 比中的不变量 【分析】【分析】 (1)法1:不变量的第一种情况，单量不变艾迪 得到4元钱后，薇儿的钱数不改变因此可以统一薇儿的 钱数2，5=10，3:2=15:10；8:5=16:10，即16-15=1份为 4元薇儿有10份，所以薇儿有10 4=40(元). 法2:出现两个比的应用题中，利用一个比设未知数，利用 另一个比列出比例方程是一种万能的方法 设艾迪原来的钱数为3x元则薇儿的钱数为2x元 348 25 x x ，解得x=20，因此薇儿的钱数为2 20=40(元). (2)法1:一个人给另一个人，则总数不变开始时，两人共 8+7=15份， 而之后变成18+17=35份 前后份数统一到15， 35=105份则8:7=56:49；18:17=54:51发现艾迪少了 56-54=2份，这2份就是4张，因此1份是2张，艾迪原有56 份，即原有56 2=112(张). 五年级 第 3 讲 比例应用题 （C 版） 6 法2: 设艾迪原有8x张，则薇儿原有7x张. 8418 7417 x x ，解得:x=14，因此艾迪原有14 8=112(张) (3)法1:两人都减少了5本，差不变原来两人的份数差为 5-4=1份后来变成9-7=2份1，2=2，将5:4变成10:8， 可看出前后两人都减少了10-9=1份即1份为5本两人原 有课外书为: (10+8) 5=90(本). 法2:设艾迪和薇儿原有5x和4x本课外书. 559 457 x x ，解得x=10因此两人原有(5+4) 10=90(本)课 外书 水池中插了甲、乙、丙三根竖直的柱子，刚开始甲、乙、 丙三根柱子露在水面上的部分长度之比为 5:8:9，水面上 升一定高度后，甲、乙两根柱子水上长度之比变为 3:5， 如果水面再上升相同的高度， 三根柱子水上长度之比变为 多少? 比中的不变量 【分析】【分析】 柱子的水上长度差不变，所以5:8:9=10:16:18， 3:5=9:15，说明水面高度上升了1份，如果再上升1份，就 变为8:14:16=4:7:8. - 练一练练一练 五年级 第 3 讲 比例应用题 （C 版） 7 (1)甲乙两人原有的钱数之比为6:5， 后来甲又得到180元， 乙又得到 30 元，这时甲、乙钱数之比为18:11，求原来两 人的钱数之和为多少? 方程解比例应用题 【分析】【分析】 法1:设原来甲有6x元，则乙有5x元根据题意可 列出如下方程: 618018 53011 x x ，解得: 60 x ，因此两人的钱数之和为 660 元 法 2:由于甲、乙得到的钱数不同，所以差并非不变。为了 让得到的钱数相同， 可以考虑将乙原有的钱数和得到的钱 数都翻 6 倍，那么甲、乙原有钱数之比变为 1:5，现有钱 数之比变为 3:11，统一差，变为 2:10 以及 3:11，一份就 是 180 元，所以原有钱数之和为(2+10 6) 180=660. (2)有甲、乙两个棋盒，甲盒内黑白棋子数之比为 5:8，乙 盒内黑白棋子数之比为 3:2，两个棋盒混合在一起的黑白 棋子数之比为 7:9，求原来这两个棋盒内棋子总数之比。 方程解比例应用题 【分析】【分析】 设甲棋盒黑棋有5x枚， 白棋有8x枚； 乙棋盒黑棋 有3y枚，白棋有2y枚，根据题意列出方程: - 例例6 五年级 第 3 讲 比例应用题 （C 版） 8 537 829 xy xy ，得到:11x=13y，所以x:y=13:11. 甲 棋 盒 共 有 13x 枚 ， 乙 班 共 有 5y 枚 ， 总 数 之 比 为 13x:5y=13 13:5 11=169:55. 有甲、乙两个班，甲班男女人数之比为 2:3，乙班男女人 数之比为 5:4，两个班的男女人数之比为 16:17.求这两个 班的人数之比。 方程解比例应用题 【分析】【分析】 设甲班男生有2x人，女生有3x人；乙班男生有5y 人，女生有4y人，根据题意列出方程: 2516 3417 xy xy ，得到:2x=3y，所以x:y=3:2. 甲 班 共 有 5x 人 ， 乙 班 共 有 9y 人 ， 总 人 数 之 比 为 5x:9y=5 3:9 2=5:6. 北京中学生运动会男女运动员比例为19:12，组委会决定 增加女子艺术体操项目，这样男女运动员比例变为20:13； 后来又决定增加男子象棋项目， 男女比例变为30:19,已知 男子象棋项目运动员比女子艺术体操运动员多 15 人，则 总运动员人数为多少? - 例例7 - 练一练练一练 五年级 第 3 讲 比例应用题 （C 版） 9 比中的不变量 【分析】【分析】 19:12变为20:13过程中，男生人数不变，统一为 380:240以及380:247.再从380:247变为30:19过程中，女生 人数不变，统一为380:247以及390:247.可以看出女子艺术 体操项目为247-240=7份，男子象棋项目为390-380=10份， 1 份 就 是 15 (10-7)=5 人 ， 总 运 动 员 人 数 为 (390+247) 5=3185. 某大学本科共有四个年级， 男生总人数和女生总人数的比 为 7:5.又已知: 一年级男生和二年级女生的比是 3:2，二年级男生和一 年级女生的比也是 3:2； 三年级和四年级的人数相等， 且三年级男生比四年级女 生多 100 人； 三、四年级男生与女生的比为 6:5； 二年级的男生占学生总数的 24%。 请问:一年级男生和女生的人数分别是多少? 按比分配 【分析】【分析】 三四年级人数相等，且三年级男生比四年级女 生多100人，所以四年级男生比三年级女生也多100人。三 四年级男生比女生多200人；男女比为6:5（差倍问题） 。 - 例例8 五年级 第 3 讲 比例应用题 （C 版）