复变函数与积分变换第三章习题解答.pdf

习题三解答 I沿下列路线计算积分I勹证。 。 (1)自原点到3+i的直线段 (2)自原点沿实轴至3,再由3沿垂直向上至3+i; (3)自原点沿虚轴至），再由1沿水平方向右至3+i0 解Cl) t =3t, y = f, 千是 OtI, 故Z = 31 + i I, I。: +I z 2 由=JJ3r+it)3+i肋 = (3 + i)3 I t2d, 0幻sl.dz=(3+i炉 (2) I: 打/dz=l。(. 2止+f c, z油+f C2/dz y C3 。 I 1 I =.:.(3+i)3t31 =-(3+i)1=6+ 26. I 3 0 3 3 (z) 3+i C2 C1 x= 3t, c, 之参数方程为(Ost釭）； y = t, C2之参数方程为 故 x=3, (os, s 1) y =t, z2心=f9t1 -3dt+ f3+ i t)2. j dt = 6+I o 26. 0 3 (3) l。 +i 心z=Lzid,+r i 心z = f C3 z油+f C4 zidz C3 : z = i t(0t1) ; c: z =3t+i osrsl), 故 I 。“ 百z = f-t 2 -idt+ f(3t+i) 2 3dt =6+竺 3 2. 分别沿y =x与y=x 2 算出、积分r i 2+iytz的值。 角召 (I) 并y=x。止七时z=t+it(O幻s1)。dz = (1 + i 11 , 千是 r i k + i y tz = I。:2+irX1 +itt = (1 + i)JJ2 + i ttt = (1+ i+) = -+i o (2)沿y=x 2 此时z= (+记(os1s1)。dz= (1 + i 21炉，故 I。: +; (x 2 + i yz = fJ2 + i t2 Xi + i 2t炒=(1 +i)Jt2(1 + i2t肋=(l+i)JJ2+i2t3切 =(l+i代叶-i+i 0 3. 设氏）在单连域D内解析，C为D内任何一条正向简单闭曲线，问 f cReJ(z)iz = f c lmJ(z)iz = 0 是否成立，如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。 解未必成立。令八z)= z, C :lzl =L则氏）在全平面上解析，但是 - I - f c Ref、(z)Lz= s:T Re产/0= Jos0(-sin0+icos010=冗 i-:t:O f clmJ(z)lz = s:r lmei(Jeil) = foin 0(-sin0+icos010 =- 冗 -:t:O 1 4. 利用 单位圆上z=-的性质，及柯西积分公式说明刮z= 2tri, 其中C为正向单位圆周巨l=l。 t l 解f砬 =p-dz=2兀i(利用柯西积分公式） z C C 5. 计算积分fc 三dz的值， 其中 C为正向圆周：(I) lzl=2; (2)乞=4 lzl 11 4 解(J)因在Iz 1=2上有Iz I= 2 , zz =I叶=4从而有乞， 故有 f上dz=f主dz=f勾z=4冗1 CI z I 呾22 I扣2 乞 16 (2)因在C上有Iz I= 4, zz =I z i2 = 16 , 从而有乞, 故有 f上dz=f 艾衣=f. 吐=8冗1 C I z I 1:1=4 4 :I=z 6. 利用观察法得出下列积分 的值。 解利用柯西 古萨基本定理和柯西积分公式 。 7. 沿指定曲线 的正向计算下列各积分。 e (I) fdz., C:lz-21=1 Cz-2 (3) f edz , C :I z -2i I= 3/ 2 C z 2 十l (5) f dz , C :I z I= r 立=2兀i z 5) 当Ial l时，l/(z-c矿在Iz Il上解析， 对_!t_ 宁iz =O; c亿 -a) 当lakl时，f心兰icez)l,=a= triea c位-a)2! IO. 证明：当C为任何不通过原点 的简单闭曲线时， 沪次=0。 C z- 证明 当原点在曲线C内部时，忙dz=2冗i(l)I I,=()= 0; C z 当原点在曲线C外部时， 1/ z2在C内 解析，故pdz=O。 11. 下列两个积分 的值是否相等？积分2) 的值能否利用闭路变形原理 从 I) 的值得到？为什么？ l) f王心； 1:.1=2 z 解 乞 21T f -dz = f 2ie一iOd0=0; lzl=2 Z。 2) f五 lzl=4 z f 了 五 dz= f 4ie一j(Jd0=0, 故 两个积分 的值相等。但不能利用闭路 旧=4z。 z 变形原理从 I) 的值得到，因不是 一个解析函数。 z 12. 设区域D为右半平面，z为D内圆周Iz I= I上 的任惹一点，用在D内 的任惹一条曲线C连结原 点与z证明 Ref。: 1 + (2 d( = 证明 函数了在右半平面解析，故 在计算从0到z沿任惹一条曲线C的积分时 与积分路径无 l+( 关。 则j z 1 1 I 心 =f 2 心 0 ie o 1+(2 o l+x fo l+ e砌 11/ dr; =芒寸0 2icos77 d7J. (分子分母同乘以J+e- 21), 4 0 2 + 2 cos 2r; -4 - 故 Re店炉归 13. 设cl与C2为相交干M、N两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为B,与B2。Bi与B2的公 共部分为B。 如果f伈）在B1-B与B2-B内解析，在cl、C2上也解析，证明:八z)dz=f伈）dz 证明在B1-B上八z)为解析函数，则由柯西基本定理 f(z)dz =O; 同理 f(z)dz = 0 MENGM MNNlM 则f氏）dz+ f伈）心=f f (z)心+f兀）心，即f沁）dz=扣伈）dz。 NGM MEN MHN NFM C:1 C2 14. 设C为不经过a与-a的正向简单闭曲线，a为不等干零的 C1 任何复数，试就a与-a同C的各种不同位置，计算积分fd z。 Cz 2 -a 解Ci)当a在C的内部而-a在C的外部时 z f z f z+a z C z2 2 dz= 衣 =2冗I冗i。 -a cz-a z+a z=o （应 当-a在C的内部而a在C的外部时， C2 H f z dz=f z-a衣=2丘l 二冗1 cz 2 -a 2 cz+a z-a t=-a (iii)当a与-a在C的内部时，设C1,C2分别为以a,-a为心半径充分小的圆周使CPC2均在C的内 部且互不相交也互不包含，则由复合闭路定理 及Cauchy积分公式得 z z f z心=f L.ff. 改+f 二红 气2 2 z=m+m=2m -a c, z -a c2 z + a (iv)当a与-a都在C的外部时，由Cauchy-Gourssat定理得 f z idz =O。 c z 2 -a 15. 设c,与c2为两条互不包含，也互不相交的正向简单闭曲线，证明： 山zdz +fsinzdz- z), 当z在C , 内时， 2冗i c, z -z, c, z -z。 ,inz 。 , 。 在c,内时 1 z-d z 2 证明利用Cauchy积分公式，当z。在c,内时， - =z l =zi, 而 - 1 smzd z 2冗ifz-z。Z飞2trit z-z。 =0; 当z在C内时， I z dz 2 f =0, 而上f sin zdz = sin z I = sin z。故结论成立。 2冗iI z-z。2冗jC2 z-z。 : 女 16. 设函数氏）在01 zkl内解析，且沿任何圆周C: I z I= r, 0 r I的积分为零，问八z)是否需在 z=O处解析？试举例说明 之。 I 解 不一定。如令八 z)= ,则 其在 0 巨kl内解析，且沿任何圆周C:I z I= r , 0 =u YYv+2uvY+uv 故(uv)xx+(uv=0,即一对 共辄调和函数的乘积仍是调和函数。 27. 如果J位）=u+iv是 一解析函数 ，试证： 1) if位）也是解析函数；2) -u是v的 共扼调和函数； 证明 02 If (z) 1 2 02 If (z) 12 3) ? + = 4(吐+v;) = 41 f(z) 1 2 . 成矿 , l)寸(z)=v-iu ,而八z)=u +iv是 一解析函数 ，故u,v满足CR方程，进而v入.= (-u)y Vy= -(-u)x o故if(z)也是解析函数。 2)由J亿）=u +iv是 一解析函数 ，if(z) = v-iu。故-u是v的 共辄调和函数。 护If位）1 2 扩If(z) 12扩护 3) + = (+了）(uz + v 2) ox2矿8x 2 彻 =2u人;+2讨+2式+2讨+2u(uxx +u) + 2v(v xx十） ,) =4(吟式）=41f(z)l 2 28. 证明： 2 U = X -y 2和 v= y 都是调和函数，但是u+iv不是解析函数。 2 X + y 证明 ux =2x , Uy = - 2y , -2xy V = X (X2 + y 2)2 2 2 X -y V = .v (x2 + y2)2 , 8x 2 y 2y V = - 江勹勹3 1 ? , (x-+y) (x-+yt 8y 3 6y V = - (x 2 + y守(x2+y2)2 ，则 Uxx +UY = 2+(-2) = Q , 8x2 8y3 8y V +V = y 灯YY (x 2 + y2)3 (x 2 + y2)3 (x2 + y2) 2 =0。 -7 - 29. 求具有下列形式的所有调和函数u:I) u = f(ax+by),a与b为常数；2) u= J(f)。 解I )由u人可,u_u=a汀,un=b汀,而u,rx + u yy = 0 , 则f= O ,即f= c1 (ax+ by) + c2 o y 2 y y 1 1 2) 由u人=-f心=2 f+-f ,u. =-f,u.1、:r=-:; 寸 ， 而ux入+u.n=0, 则 X 2 X 3 X 4 X x- (1+5)r +2 if-O, 即If-c, arctan 2. + c, X 30. 由下列各已知调和函数求解析函数f(z)= u +iv : I ) u = (x- y)(x2 +4xy+ y勹； y 2) v= f(2 )=0 ; 2 2 X +y 3) u = 2(x- l)y,f( 2 ) = -i ; y 4) v = arc tan - , x 0 。 解1) u入.= 3x2 + 6xy - 3 y 2, u = 3x 2 -6 xy - 3 y 2 , 则 X f衣）=ux一iu.r=3x2 + 6xy-3y2 一i(3x 2-6x y- 3y 2 ) = 3(一i)z2, 故 f(z)=(l- i)兮+ic,cE屈； 2 2 X y - 2xy x2 -y2-2ixy了21 2) f(z) = Vy +ivx = +i = = 一 (x2 + y2)2 (x 2 + y2)2 (x2 + y 2)2 (z了）2 z2 l I I f(z)=-+c, 又f( 2 )= O, 则f(z)=- 一 ； 2 z 3) f(z)=ux-iu =2y-2i(x-1)=-2i(x- l+iy)=-2i(z-1) , 古女 f(z) = -心-L)2+c, 又f( 2)= - i, 则t、(z)=-i(z-1)2; ，故 4) f(z) = v +iv_, = 2 +i X -y X- ty Z J = - , 故f(z)= ln z +c,c E脱 。 x2 + y x 2 + y x 2 + y2 元 z 31. 设 v=e 四 siny , 求p的值使v为调和函数，井求出解析函数f(z)=u+iv。 解 vt +vyy=epxsin y(p2-1)=0 , 知p=士l。当p=1时，f(z)=ez+c,ce脱 ； 当p=-1时， f(z) = -e-z +c,c E脱。 32. 如果u(x,y )是区域D内的调和函数，C为D内以z。 为 中心的任何一个正向圆周：I z-z。l = r , 它的内部完全含千D。试证： 1) u(x, y)在(x。,y。) 的值等千u(x,y)在圆周C上的平均值， 即 u(xR, 故 j亿） 证明因z为C内 一点 ，I引=IR-/引=R2 I I zl = -在C 及 其内 部解析。 由 I zl (- z Cauchy基本定理知：f八s)d 可Cs) d(=O 。 C (-乞 s = c 豆- R 2 34. 根据柯西积分公式 与习题33的 结 果，证明 氏）上升 l 十 乞 尽）d( =上f (R2- 亏 ）尽） d(, 2 rci C (- z R2- (z 2 rci C (- z)(R2- s可） 其中C为lzl=RI 证明由柯西积分公式有： j 、(z)1 f(s)可cs) =f 心 ； 而由33题 结 果知f 心 =0 , 故 2冗i c s- z C乒- R2 将这两式 相减即 得。 35如果 令t;= Re;0,z = re; lf), 验证 心 = d t; I t; = id0 (t; - z)(R2 -t; 了）(s -z)(-乞）R 2 -2 Rrcos(0- p) + r2 井 由34题 的 结 果，证明 f伈）f I 21r (R2_,.2汀(Re吓 . 2兀 0 R2-2 Rrcos(0- 吩+r dB. 取其实部，得 I 2:r (R 2 -r2)u(Rcos0,Rsin 0) u(x, y) = u(rcos p, rsin rp) =f ? dB 2冗 0 R -2 Rrcos(0-p)+r 这个积分称为泊松(Poisson)积分。 通过这个公式， 一个调和函数 在一个圆内得值可用 它 在 圆周上 的 值来表示。 证明 ， R R ds dsls dsls =R=Re一j(J=f故 s s (s- z)(R2 - s万） 又 (s -z)( 了） R2 (s - z)(f气） s 心iR e;0