高中函数图像总结

1 / 19 高中函数图像总结 课程星级： 一、函数的定义、定义域、值域 设 A、 B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A 中的每一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从 A到 B 的一个函数，通常记为y?f(x),x?A 在函数 y?f(x),x?A 中， x 叫做自变量， x的取值范围 A叫做y?f(x)的定义域；与 x的值相对应的 y值叫做函数值，函数值的集合 f(x)x?A 称为函数 y?f(x)的值域。 函数的三要素： 定义域、值域和对应法则 二、函数的性质 函数的有界性 2 / 19 设函数 f(x)的定义域为 D， 数集 X?D。 如果存在数 K1， 使对任一 x?X， 有 f(x)?K1， 则称函数 f(x)在 X上有上界， 而称 K1 为函数 f(x)在 X 上的一个上界。 图形特点是 y?f(x)的图形在直线 y?K1 的下方。 如果存在数 K2， 使对任一 x?X， 有 f(x)? K2， 则称函数f(x)在 X上有下界， 而称 K2为函数 f(x)在 X上的一个下界。 图形特点是， 函数 y?f(x)的图形在直线 y?K2 的上方。 如果存在正数 M， 使对任一 x?X， 有 | f(x) |?M， 则称函数 f(x)在 X上有界 ; 图形特点是， 函数 y?f(x)的图形在直线 y? ?M 和 y ? M 的之间。如果这样的 M 不存在， 则称函数 f(x)在 X上无界。函数 f(x)无界， 就是说对任何 M， 总存在 x1?X， 使 | f(x) | M。 例如 f(x)?sin x在 (?， ?)上是有界的： |sin x|?1。 函数 f(x)?1 在开区间 (0， 1)内是无上界的。 或者说它在(0， 1)内有下界，无上界。 这是因 x 3 / 19 为， 对于任一 M1， 总有 x1： ?0?x1?1?1， 使 f(x1)?1?M， 所以函数无上界。 Mx1 函数 f(x)?1 在 (1， 2)内是有界的。 x 函数的单调性 ? 设函数 y ? f(x)的定义域为 D， 区间 I ?D。 如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2， 当 x1 如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2， 当 x1 f(x2)，则称函数 f(x)在区间 I 上是单调减少的。 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。 举例：函数 y ? x2 在区间 (?， 0上是单调增加的， 在区间 0， ?)上是单调减少的， 在上不是单调的。 证明方法和步骤： 设元：设 x1,x2是给定区间上任意两个值，且 x1?x2； 4 / 19 作差： f(x1)?f(x2)； 变形：； 定号：即 f(x1)?f(x2)?0 或 f(x1)?f(x2)?0；根据定义下结论。 二次函数的单调性：对函数 f(x)?ax?bx?c(a?0)， 2 b 的左侧单调减小，右侧单调增加； 2a b 当 a?0 时函数 f(x)在对称轴 x?的左侧单调增加，右侧单调减小。 2a当 a?0 时函数 f(x)在对称轴 x? 复合函数的单调性：复合函数 y?f(g(x)在区间 (a,b)具有单调性的规律见下表： 以上规 律还可总结为： “ 同向得增，异向得减 ” 或 “ 同增异减 ” 。 函数的单调性的应用：判断函数 y?f(x)的单调性；比较大小；解不等式；求最值。 5 / 19 需要更多内容，见文档最后表格介绍。在淘 .宝 .上搜 .索 “.高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲 (详细解答 )” 函数的奇偶性 (来自 : 海达 范文 网 :高中函数图像总结 ) 设函数 f(x)的定义域 D关于原点对称 (即若 x?D， 则 ?x?D)。 如果对于任一 x?D， 有 f(?x) ? f(x)，则称 f(x)为偶函数。 如果对于任一 x?D， 有 f(?x) ? ?f(x)，则称 f(x)为奇函数。 举例： y?x2， y?cos x 都是偶函数。 y?x3， y?sin x 都是奇函数， y?sin x?cos x 是非奇非偶函数。 一个函数是奇函数或偶函数的一个必须具备的必要的条件是：这个函数的定义域是关于原点对称的实数。 可知，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么这个函数就不具有奇偶性。 6 / 19 判断函数的奇偶性的等价命题： 若对于定义域内任意一个 x，有 f(x)-f(-x)=0 成立，或f(?x)?1成立，则 f(x)为偶函数。若 f(x)f(x) 是偶函数，那么 f(x)=f( x)=f(x); 若对于定义域内任意一个 x，有 f(x)+f(-x)=0 成立，或f(?x)?1成立，则 f(x)为奇函数。 f(x) 在几个函数的共同定义域上，若 f i(x)为奇函数， g i(x)是偶函数，可知以下几个结论： f1(x)+f2(x)是 奇函数， g1(x)+g2(x)是偶函数， f1(x) f2(x2)是偶函数， g1(x)g2(x)是偶函数， f(x)g(x)是奇函数。 偶函数的图形关于 y 轴对称， 奇函数的图形关于原点对称。 函数奇偶性的判定中 ” 六点 ” ： 勿忘定义域； 勿忘化简解析式； 勿忘分段讨论； 勿忘分类讨论； 勿忘等价性； 勿忘个别值的特殊性。 7 / 19 需要更多内容，见文档最后表格介绍。在淘 .宝 .上搜 .索 “.高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲 (详细解答 )” 确定函数奇偶性的常用方法： 定义法： 先求定义域，看是否关于原点对称 ; 再判断f(?x)?f(x)或 f(?x)?f(x) 是否恒成立。 。 利用函数奇偶性定义的等价形式： f(x)?f(?x)?0， 或 f(?x)。 ?1f(x) 图像法：奇函数的图象关于原点对称。反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数。 偶函数的图象关于 y 轴对称。反过来 ,如果一个函数的图象关于 y轴对称，那么这个函数为偶函数。 赋值法 函数奇偶性的性质： 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同； 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰8 / 19 恰相反。 即：奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性。 如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数。 若 f(x)为偶函数，则 f(?x)?f(x)?f(|x|)。 若奇函数 f(x)定义域中含有 0，则必有 f(0)?0。故 f(0)?0是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件。 定义在关于原点对称区间上的任意一 个函数，都可表示成“ 一个奇函数与一个偶函数的和 ” 。 复合函数的奇偶性特点是： “ 内偶则偶，内奇同外 ” 。 既奇又偶函数有无穷多个。 常用结论： (1)奇偶性满足下列性质：奇 奇 =奇，偶 偶=偶，奇 奇 =偶，偶 偶 =偶，奇 偶 =奇。 函数的周期性 9 / 19 对于函数 y?f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x取定义域内的每一个值时，都有 f(x?T)?f(x)都成立，那么就把函数 y?f(x)叫做周期函数，不为零的常数 T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 周期函数的图形特点： 在函数的定义域内， 每个长度为 T的区间上， 函数的图形有相同的形状。 常见结论 (约定 a0) f(x)?f(x?a) ，则 f(x)的周期 T=a； f(x?a)? f(x)，或 f(x?a)?f(x a)或 f(x?a)?1(f(x)?0)，或 f(x) f(x?a)?1(f(x)?0), f(x) 则 f(x)的周期 T=2a 函数的对称性 10 / 19 偶函数关于 y轴对称，偶函数有关系式 f(?x)?f(x) 奇函数关于对称，奇函数有关系式 f(x)?f(?x)?0 探讨：函数 y?f(x)关于 x?a对称 ?f(a?x)?f(a?x) f(a?x)?f(a?x)也可以写成 f(x)?f(2a?x) 或 f(?x)?f(2a?x) 简证：设点 (x1,y1)在 y?f(x)上，通过 f(x)?f(2a?x)可知，y1?f(x1)?f(2a?x1)， 即点 (2a?x1,y1)也在 y?f(x)上，而点(x1,y1)与点 (2a?x1,y1)关于 x=a对称。得证。 若 写 成 ： f(a?x)?f(b?x) ， 函 数 y?f(x) 关 于 直 线x?(a?x)?(b?x)a?b 对称 ?22 函数 y?f(x)关于点 (a,b)对称 ?f(a?x)?f(a?x)?2b 上述关系也可以写成 f(2a?x)?f(?x)?2b 或 f(2a?x)?f(x)?2b 简证：设点 (x1,y1)在 y?f(x)上，即 y1?f(x1)，通过f(2a?x)?f(x)?2b 可知， 11 / 19 f(2a?x1)?f(x1)?2b， 所以 f(2a?x1)?2b?f(x1)?2b?y1， 所以点 (2a?x1,2b?y1)也在 y?f(x)上，而点 (2a?x1,2b?y1)与 (x1,y1) 关于 (a,b) 对 称 。 得 证 。 若写成：f(a?x)?f(b?x)?c，函数 y?f(x)关于点 (a?bc,) 对称 22 函数 y?f(x)关于点 y?b 对称 :假设函数关于 y?b 对称，即关于任一个 x值，都有两个 y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于 y?b 对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于 y?b 对称，比如圆c(x,y)?x?y?4?0 它会关于 y=0对称。 需要更多内容，见文档最后表格介绍。在淘 .宝 .上搜 .索 “.高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲 (详 细解答 )” 22 12 / 19 【例】 下列判断正确的是 x2?2xA. 函数 f(x)?是奇函数 B. 函数 f(x)?(1?x x?2 C. 函数 f(x)?x? 答案： C 选项 A 中的 x?2,而 x?2 有意义，非关于原点对称，选项 B中的 x?1,而 x?1 有意义，非关于原点对称，选项 D 中的函数仅为偶函数 【例】已知函数 f(x)? D. 函数 f(x)?1 既是奇函数又是偶函数 x?1,x?3,5?, x?2 判断函数 f(x)的单调性，并证明； 求函数 f(x)的最大值和最小值 解： 设任取 x1,x2?3,5且 x1?x2 f(x1)?f(x2)?x1?1x2?13(x1?x2)? x1?2x2?2(x1?2)(x2?2) 13 / 19 ?3?x1?x2?5 ?x1?x2?0,(x1?2)(x2?2)?0 ?f(x1)?f(x2)?0 即 f(x1)?f(x2) 基本初等函数的图象及函数常用知识点总结 BHS ,s?Q 高中函数图像性质总结 一、指数函数 y?ax(a?0 且 a?1) 1、指数函数的图象和性质 2、第一象限：底数越大，图像越高 ? 二、 y?logax 14 / 19 1、对数函数的图象和性质 2、当 a1 时， a 越大，图像越靠近 x 轴； 当 0 1、所有的幂函数图象都过点。除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限； 注：当 0 时过定点和； 当 0 时过定点 2、 0 时，幂函数的图象都通过原点，并且在 0， +上，是增函数 3、 0 时，幂函数的图象在区间上是减函数 . 4、任何两个幂函数最多有三个公共点 5、图像性质： 在第一象限幂函数图像表现为： 0时， 越大，图像越陡； 0时， 越大，图像越靠近 y 轴远离 x 轴。 四、 一元二次函 15 / 19 数 ： 1、图像和性质 2 顶点式： f(x) a(x h)2 k，定点坐标 分解式： f(x) a(x x1)(x x2), 一元二次方程的两根为x1， x2 一般式： f(x) ax2 bx c， (a0) 1.一次函数 (包括正比例函数 ) 最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。 定义域： R 值域： R 奇偶性：无 周期性：无 平 面 直 角 坐 标 系 解 析 式 ( 下 简 称 解 析 式 ): ax+by+c=0 一般式 y=kx+b 斜截式 y -y1=k(x-x1)点斜式 16 / 19 /(y2 -y1)=(x-x1)/(x2-x1)两点式 与为直线上的两点） x/a -y/b=0截距式 解析式表达局限性： 所需条件较多； 、 不能表达没有斜率的直线； 参数较多，计算过于烦琐； 不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。 倾斜角： x轴到直线的角称为直线的倾斜 角。设一直线的倾斜角为 a，则 该直线的斜率 k=tg(a)。 2.二次函数： 题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与 y轴平行的抛物线。 定义域： R 17 / 19 值域： (4ac -b )/4a，正无穷）； t ，正无穷） 奇偶性：偶函数 周期性：无 解析式： y=ax+bx+c 一般式 a0 a 0，则抛物线开口朝上； a 0，则抛物线开口朝下； 极值点：； =b -4ac, 0，图象与 x轴交于两点： 和； 0，