定积分与微积分基本定理教师版.doc

定积分与微积分基本定理教师版一、知识网络二目标认知1考试大纲要求：了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念及其基本定理。2重点：正确计算定积分，利用定积分求面积。3难点：正确计算定积分，利用定积分求面积。三、知识要点梳理 知识点一：定积分的概念定积分的定义：如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式，当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分.记作，即，这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.说明：（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；（2）用定义求定积分的四个基本步骤：分割；近似代替；求和；取极限.知识点二：定积分的性质（1）（为常数），（2），（3）（其中），（4）利用函数的奇偶性求积分：若函数在区间上是奇函数，则；若函数在区间上是偶函数，则.知识点三：微积分基本定理如果，且在上连续，则,其中叫做的一个原函数.由于也是的原函数，其中c为常数.一般地，原函数在上的改变量简记作.因此，微积分基本定理可以写成形式：.说明：求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.知识点四：定积分的几何意义设函数在区间上连续.在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积；如图（1）所示.在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在上，当既取正值又取负值时，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和. 在轴上方的面积积分时取正号，在轴下方的面积积分时，取负号.如图（2）所示.知识点五：应用（一）应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图，由三条直线，轴（即直线）及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：；2. 如图，由三条直线，轴（即直线）及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：；3. 如图，由曲线及直线，围成图形的面积公式为：.4.利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）写出定积分表达式；（4）求出平面图形的面积.（二）利用定积分解决物理问题变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即.变力作功物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功. 四、规律方法指导1.要正确理解定积分的概念，掌握其几何意义，从而解决实际问题；2.要正确计算定积分，需非常熟悉导数的运算。五、巩固练习 题组一定积分的计算1.已知f(x)为偶函数且f(x)dx8，则f(x)dx等于 ()A0 B4 C8 D16解析：原式f(x)dxf(x)dx，原函数为偶函数，在y轴两侧的图象对称，对应的面积相等，即8216.答案：D2设f(x)则f(x)dx等于 ()A. B. C. D不存在解析：数形结合，f(x)dx=x2dx+(2-x)dx=.答案：C3计算以下定积分：(1) (2x2)dx；(2)()2dx；(3)(sinxsin2x)dx；解：(1) (2x2)dx(x3lnx)ln 2ln 2.(2)()2dx(x2)dx(x2lnx2x)(ln 36)(2ln 24)ln.(3) (sinxsin2x)dx(cosxcos2x)()(1).题组二求曲多边形的面积4如图，函数yx22x1与y1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是 ()A1 B. C. D2解析：函数yx22x1与y1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于(x22x11)dx(x22x)dx.答案：B5已知函数yx2与ykx(k0)的图象所围成的阴影部分(如图所示)的面积为，则k_.解析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为0，k，再由(kxx2)dx()求得k2.答案：26如图，设点P从原点沿曲线yx2向点A(2,4)移动，记直线OP、曲线yx2及直线x2所围成的面积分别记为S1，S2，若S1S2，则点P的坐标为_解析：设直线OP的方程为ykx, P点的坐标为(x，y)，则(kxx2)dx(x2kx)dx，即(kx2x3)(x3kx2)，解得kx2x32k(x3kx2)，解得k，即直线OP的方程为yx，所以点P的坐标为(，)答案：(，)题组三定积分在物理中的应用7.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)t2t2，质点作直线运动，则此物体在时间1,2内的位移为 ()A.B. C. D.解析：s(t2t2)dt(t3t22t)|.答案：A8若1 N的力能使弹簧伸长1 cm，现在要使弹簧伸长10 cm，则需要花费的功为()A0.05 J B0.5 J C0.25 J D1 J解析：设力Fkx(k是比例系数)，当F1 N时，x0.01 m，可解得k100 N/m，则F100x，所以W100xdx50x20.5 J.答案：B9一辆汽车的速度时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_米解析：据题意，v与t的函数关系式如下：vv(t)所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为st2(50tt2)10t900米答案：900题组四定积分的综合应用10.(2010烟台模拟)若y(sintcostsint)dt，则y的最大值是 ()A1 B2 C D0解析：y(sintcostsint)dt(sintsin2t)dt(costcos2t)cosxcos2xcosx(2cos2x1)cos2xcosx(cosx1)222.答案：B11(2010温州模拟)若f(x)是一次函数，且f(x)dx5，xf(x)dx，那么dx的值是_解析：f(x)是一次函数，设f(x)axb(a0)，由(axb)dx5得(ax2bx)ab5， 由xf(x)dx得 (ax2bx)dx，即(ax3bx2) ，ab， 解得a4，b3，f(x)4x3，于是dxdx (4)dx(4x3lnx)83ln2443ln2.答案：43ln212设f(x)|x2a2|dx.(1)当0a1与a1时，分别求f(a)；(2)当a0时，求f(a)的最小值解：(1)0a1时，f(a)|x2a2|dx(a2x2)dx(x2a2)dx(a2xx3)(a2x)a3a300a2a3a3a2.当a1时，f(a)(a2x2)dx(a2xx3)a