多体系统动力学仿真中的接触碰撞模型分析_安雪斌.pdf

收稿日期: 2007 - 09-03 修回日期: 2007-09- 10 第 25卷 第 10期计 算 机 仿 真2008年 10月 文章编号: 1006 - 9348( 2008) 10 - 0098-04 多体系统动力学仿真中的接触碰撞模型分析 安雪斌 ,潘尚峰 ( 清华大学精密仪器与机械学系, 北京 100084) 摘要: 为了明确多体系统动力学仿真时接触碰撞模型的选择依据, 对恢复系数模型, I M P A C T 函数模型, 迟滞阻尼模型三种 模型进行了分析讨论, 并指出了模型中各参数的物理意义。最后以小球与平面碰撞问题为例, 通过理论推导与试验相结合 的方法确定了模型的参数, 在 A D A M S 软件中进行了仿真计算, 得到了三种模型的计算结果。 计算结果表明, 恢复系数方法 只能得到碰撞后的速度; I M P A C T 函数模型可以得到较好的仿真结果, 但是参数确定困难; 修正的迟滞阻尼模型可以解决恢 复系数接近 1的接触问题。 关键词: 接触; 恢复系数法; 迟滞阻尼模型; 动力学仿真 中图分类号:T P 391. 9 文献标识码: B A n a l y s i s o f C o n t a c t Mo d e l i nMu l t i - b o d yS y s t e mD y n a mi c S i m u l a t i o n A NX u e - b i n , P A NS h a n g - f e n g ( D e p a r t m e n t o f P r e c i s i o nI n s t r u m e n t s a n dMe c h a n o l o g y , T s i n g h u aU n i v e r s i t y , B e i j i n g100084, C h i n a ) AB S T R AC T :I no r d e r t om a k ec l e a rt h eb a s i sf o r c h o o s i n gc o l l i s i o nm o d e l i nmu l t i -b o d ys y s t e md y n a m i cs i m u l a - t i o n , t h r e ek i n d s o f c o l l i s i o nmo d e l s i n c l u d i n gc o e f f i c i e n t o f r e s t i t u t i o nmo d e l , I MP A C Tf u n c t i o nm o d e l a n dh y s t e r e s i s d a m p i n gm o d e l w e r ed i s c u s s e d , a n dt h ep h y s i c a l s i g n i f i c a n c eo f p a r a m e t e r s i nt h ef o r m u l a s w a sp o i n t e do u t .F i n a l l y , t h ec o l l i s i o nb e t w e e na s m a l l b a l l a n dap l a n ew a s c a l c u l a t e dw i t hA D A MSs o f t w a r ea s a ne x a mp l e , m e t h o d s o f c o m b i - n a t i o no f t h e o r e t i c a l d e r i v a t i o na n dt e s t w e r eu s e dt od e t e r mi n et h em o d e l p a r a me t e r s , a n dt h r e ek i n d s o f m o d e l s w e r e u s e dt o c a l c u l a t e t h ec o n t a c t f o r c e .T h e r e s u l t s s h o wt h a t , t h ec o e f f i c i e n t o f r e s t i t u t i o nme t h o dc a no n l yg e t t h er e s u l t s o f v e l o c i t yo f b o d ya f t e r c o l l i s i o n ;I MP A C Tf u n c t i o nm o d e l c a nr e c e i v eb e t t e rs i mu l a t i o nr e s u l t s , b u t i t sp a r a m e t e r s a r ed i f f i c u l t t od e t e r m i n e ;t h ea m e n d e dh y s t e r e s i s d a m p i n g mo d e l c o u l ds o l v e t h es i m u l a t i o no f m o d e l s h a v i n gac o e f - f i c i e n t o f r e s t i t u t i o nc l o s et o1. KE Y WOR DS :C o n t a c t ;C o e f f i c i e n t o f r e s t i t u t i o nme t h o d ;H y s t e r e t i cd a m p i n gm o d e l ;D y n a m i cS i m u l a t i o n 1 引言 接触现象在自然界中是广泛存在的, 根据接触持续时间 的长短可以把接触分为静态接触和动态接触 1 。 静态接触 的作用时间较长, 接触状态变化缓慢或保持不变; 动态接触 也就是通常所说的碰撞, 作用时间都非常短, 在接触发生的 瞬间作用力很大, 动态接触过程要复杂的多。 到目前为止, 人们对接触的认识还不是很深入, 尤其是动态接触问题, 还 不能很好的解释接触的机理和特性。 具有运动学约束的机械多体系统的动力学分析已经十 分成熟, 然而机械多体系统中纯粹的运动学约束是不存在 的, 为了得到更准确的仿真结果, 就要在建模时把物体和物 体之间的连接使用接触来建模, 而不是简化成理想的运动 副, 这就需要对接触问题进行深入研究 。 本论文针对多体系 统仿真中的接触碰撞问题的建模方法进行了分析研究, 对恢 复系数模型, I MP A C T 函数模型, 迟滞阻尼模型三种接触碰撞 模型进行了分析讨论, 比较了三种模型的优缺点, 并给出了 小球与平面碰撞问题在 A D A MS 软件中的计算实例。 2 动力学仿真中的接触碰撞模型 接触碰撞现象可以认为系统在碰撞的瞬间构型不变, 在 接触力的作用下, 发生碰撞的两个物体的动量发生改变。 接 触碰撞是一种单边约束, 两物体的外形边界不能相互侵入。 处理多刚体中的接触碰撞现象有两类方法 2 : 恢复系数方法 和等效弹簧阻尼方法。 2. 1 恢复系数方法 碰撞计算旨在由碰撞前的运动状态确定碰撞后的运动 98 状态。 恢复系数方法是一种简化的处理方法, 在真实状况下 影响碰撞行为的参数很多, 如相对速度、物体的形状、材料的 特性等, 恢复系数方法抛开这些因素, 仅用接触刚度和碰撞 恢复系数两个参数来计算碰撞行为。 如 1图所示两个球体 相对运动并发生碰撞 。 假设碰撞过程在瞬间完成, 在碰撞瞬间, 物体的位置保 持不变, 而速度发生跳跃变化。 恢复系数的选择有多种方 法。 最常用的是牛顿恢复系数 N, 假定碰撞前后的接触点 的法向相对速度可由恢复系数确定, 即: N E =- N N A ( 0 N 1) ( 1) 其中: N E碰撞前相对速度, N A为碰撞后相对速度。 泊松恢复系数 P是建立的泊松假设上的恢复系数。 将 微小的接触持续时间 t A, tE分为压缩过程 tA, tC和恢复过 程 t C, tE 。 压缩过程中储存的冲量在恢复过程中只是部分 地释放, 即定义压缩过程冲量与恢复过程中冲量的比值为泊 松恢复系数。 牛顿恢复系数与泊松恢复系数的物理意义虽 然不同, 但是二者是等价的。 另一种恢复系数是 S t r o n g e 提出的通过碰撞过程中能量 的损耗来定义的 1 , 即定义压缩过程中的能量与恢复过程中 的能量的比值为能量恢复系数 E。 由于恢复系数实质上是 碰撞过程中法向方向能量损耗的一种表征, 所以能量恢复系 数越来越受到重视。 恢复系数方法的特点是计算效率高, 但是恢复系数方法 认为碰撞是在瞬间完成的, 无法计算出发生碰撞时的接触 力, 速度为不连续。 仿真中恢复系数的选取是仿真的关键, 恢复系数不仅取决于碰撞物体的材料、接触面的几何形状, 还与碰撞速度有关, 一般需要通过试验获得 3。 2. 2 等效弹簧阻尼方法 等效弹簧阻尼方法将接触碰撞现象处理为连续的动力 学问题, 将碰撞过程中接触力等效成一个弹簧阻尼模型 4 , 如图 2中所示。 图 1 两个球体碰撞示意图 如图所示 I 、J 两个的物体发生碰撞, 定义法向接触力 F n, 正值表示分离力; K 表示刚度系数; 为碰撞物体变形量, 或者为侵入深度; e 为渗透深度的指数, 简称刚性指数 ; D为 阻尼系数; 为两个物体的相对速度。 则法向接触力的计算 公式为: 图 2 等效弹簧阻尼模型 F n=K e+D ( 2) 式( 2) 所描述的接触力模型可用于整个接触过程中。 等效弹 簧阻尼方法的关键是选择合理接触力模型, 通过建立接触力 的模型, 就可以求解接触碰撞问题。 H u n d 和 G r o s s l e y 提出了 一种如下形式的迟滞阻尼模型 5, 6 : D= e ( 3) 其中参数 被称为迟滞阻尼因子。 迟滞阻尼模型相应的接触力变形量曲线和变形量 时间曲线如图 3中所示。 图 3 迟滞阻尼模型的特性曲线 在图中 t (- ), t m, t ( + )分别表示初始接触时刻, 最大压痕 时刻和两球分离时刻。 参数 m, Fm由 tm时刻的压痕深度和 接触力决定。 在式( 3) 的阻尼接触力模型中, 必须设法确定 阻尼系数 D或迟滞阻尼因子 。 可以根据古典脉冲动量方 程和能量守恒估计估计参数 。 根据文献 6中的推导, 的计算公式为: =3K ( 1 - 2) 4 ( - ) ( 4) 其中: 为碰撞前后物体的法向相对速度之比, 即牛顿恢复 系数; (- ) 为碰撞前两个物体相对速度。 由于推导过程中假设 e 1, 所以得到的表达式只能适合 恢复系数接近 1的场合, 而当恢复系数比较小时的计算误差 很大 7 。 该文献中提出了修正的迟滞阻尼模型, 修正后的迟 滞阻尼因子计算公式为 : =3K ( 1 - 2) e( 2 - 2 ) 4 ( - ) ( 5) A D A MS 软件中提供了一种用 s t e p函数表示的黏性阻尼模 99 型。 其阻尼系数的计算公式如下: D =s t e p ( , 0, 0, d , C )( 6) 其中: C最大阻尼系数, 用于表征接触能量损失; d 是使阻尼 达最大值时的侵入深度; s t e p 函数为阶跃函数。 在软件中, 可以用 I M P A C T函数来 实现该模型。 I M- P A C T 函数模型的计算公式为: F n=K e+s t e p ( , 0, 0, d , C ) ( 7) I MP A C T 函数的力分为两部分, 弹性力和阻尼力。 两部 分的行为特性可分别如图 1( a ) 与( b ) 所示。 图 4 I MP A C T 函数的特性 图 4中( a ) 表示的弹簧的特性, 弹簧力为以指数函数。 图 4中( b ) 表示的阻尼力的特性, 随着接触变形量的增大, 阻 尼系数 D逐渐增大, 直到侵入深度为 d 时, 达到最大阻尼系 数 C 。 等效弹簧阻尼方法计算过程中涉及到的参数较多, 计算 量较大, 速度为连续, 可以计算出碰撞力, 某种程度上可以较 真实地模拟出接触碰撞过程。 3 A D A MS 中的接触碰撞计算实例 碰撞种类繁多, 由于作用时间短, 瞬时作用力非常大, 仿 真计算比较困难。 其中接触式一维移动碰撞是最简单和最 具规律性的一种碰撞。 本论文选择了小球与平面的接触碰 撞问题研究不同的接触力模型的接触仿真结果差别。 一个 直径 20mm的小球, 从 3m/s 的速度与地面发生碰撞, 小球和 地面都为钢制材料, 假设地面质量无穷大, 碰撞后速度不变。 3. 1 接触碰撞模型参数的确定 根据赫兹弹性接触理论, 在接触体形状不过于复杂的情 况下, 如圆球面或圆柱面时, 可以由材料的杨氏模量( Y o u n g sm o d u l u s ) 、泊松比( P o i s s o n sr a t i o ) 推导出适合冲击模型的 接触刚度系数与刚度指数。 以两个球体的接触为例, 根据赫 兹弹性接触理论, 接触面为圆球面时, 法向接触力 P 与变形 之间有如下关系: P= 3 2 16R E 2 9 =K 3 2 ( 8) 式中, R= 1 R 1 + 1 R 2 - 1 , R 1, R2分别为两接触物体在接触点 的接触半径; E= 1- 2 1 E 1 +1- 2 2 E 2 - 1 , 1,2分别为两物体材 料的泊松比, E 1, E2分别为两接触物体材料的杨氏模量。 因此对于两个球体接触, 有: K= 16R E 2 9 , e=1. 5 对于本例, R 1=10mm , R2=, E1=E1=2. 06e 5MP a , 于 是 K=4. 75e 5, e =1. 5。 接触刚度系数和刚度指数可以通过理论推导得到, 而与 阻尼有关的阻尼系数和恢复系数则需要通过试验来获得 8 。 3. 2 仿真计算及结果分析 在 A D A MS /V i e w中对小球与地面建模, 如图 5中所示, 小球使用 s p h e r e , 地面使用 b o x , 地面使用 F I X固定在地面 上。 二者的材料设置为 s t e e l , 并在在二者之间建立接触力。 A D A MS 中提供了两种接触模型求解法向接触力: I MP A C T 函 数模型和恢复系数模型 。 A D A MS 软件中没有提供迟滞阻尼 模型, 需要自己定义函数实现。 借助于 A D A MS中的距离测 量函数和速度测量函数 , 编写迟滞阻尼模型的表达式如下: I F ( D Y ( MA R K E R 9, MA R K E R 10)-20D V K ( a b s ( D Y ( MA R K E R 9, MA R K E R 10)-20) D V e )( 1+ 0. 75( 1 - D V e p 2)V Y( MA R K E R 9, MA R K E R 10) / D V v ) , 0, 0) 图 5 A D A MS /V i e w中建立系统模型 接触参数 K=4. 75e 5 , e=1. 5, 选择 S I 2格式积分, 仿真 结束时刻取 t=1m s , 步数为 5000, 分别使用 I MP A C T函数模 型, 迟滞阻尼模型, 修正的迟滞阻尼模型, 对 =0. 7的情况 进行计算, 得到结果如表 1中所示, 绘制变形接触力曲线如 图 6中所示。 表 1 =0. 7时三种接触碰撞模型的计算结果 碰撞后速度 ( m/s ) 最大接触力 ( N ) 渗透量 ( m m ) 接触持续时间 ( m s ) I M P A C T 函数模型2. 03658730. 048959. 2 迟滞阻尼模型2. 34758520. 051757. 8 修正的迟滞阻尼模型2. 00757680. 048759. 2 100 修改模型参数, 对 =0. 3的情况进行计算, 得到结果如 表 2中所示, 绘制变形接触力曲线如图 7中所示。 表 2 =0. 3时三种接触碰撞模型的计算结果 碰撞后速度 ( m/s ) 最大接触力 ( N ) 渗透量 ( m m ) 接触持续时间 ( m s ) I M P A C T 函数模型0 . 67579070. 033381. 4 迟滞阻尼模型2 . 02157690. 048859. 2 修正的迟滞阻尼模型0 . 97364900. 038270. 2 由图中可以看出 , 当恢复系数接近 1时, I MP A C T函数法 的变形接触力曲线与修正的迟滞阻尼模型的结果曲线比较 相近, 但是当恢复系数比较小的时候, 两种方法的结果曲线 的差别较大。 I MP A C T 函数模型的适应性强, 但是模型的参 数确定比较复杂, 迟滞阻尼模型的参数确定简单, 但是用于 恢复系数远小于 1的问题时, 准确性稍差, 引入修正之后情 况得到了改善。 在含有接触问题的多体系统的动力学仿真分析中, 接触 模型的选取是仿真能否取得准确结果的关键一环, 而接触参 数的准确与否则直接影响到仿真结果准确与否。 经过以上 的对比分析, 可以根据三种模型的特点, 针对自己要分析的 问题选择合适的接触模型, 并且通过合理的接触参数得到足 够准确的分析结果。 4 结语 本文针对动态接触问题的中接触碰撞问题的三种建模 方法进行了分析, 根据三种方法的计算公式总结了各自的特 点。 恢复系数方法参数简单, 计算量小, 适合不需要确定接 触力的场合; I MP A C T 函数法收敛性好, 但是模型中没有考虑 碰撞速度对阻尼的影响; 迟滞阻尼模型法在公式中引入了碰 撞前速度, 更能准确的反应实际情况。 本文最后使用三种方 法分别对小球与平面物体的碰撞问题进行了计算, 验证了上 面的分析。 文中的接触碰撞模型认为碰撞物体的材料的内 部阻尼是能量消耗的主导因素, 即文中提到的三种接触碰撞 模型只适合低速碰撞场合。 当碰撞速度比较大的时候, 应力 波在物体内部传播造成的能量损耗占主要地位, 上述假设是 不成立的, 这时需要使用弹性体接触碰撞模型来处理 7 。 参考文献: 1 彼得 爱伯哈特, 胡斌. 现代接触动力学 M . 南京: 东南大学 出版社,2003. 2 S u s e n d a rM u t h u k u m a r , R e g i n a l dD e s R o c h e s .A H e r t zC o n t a c t M o d e l w i t hN o n-l i n e a r D a m p i n gf o rP o u n d i n gS i m u l a t i o n J . E a r t h q u a k eE n g i n e e r i n g A n dS t r u c t u r a l D y n a m i c s .2006,35: 811 - 82. 3 TW L e e , ACWa n g .O nt h eD y n a m i c s o f I n t e r m i t t e n t -M o t i o n M e c h a n i s m s , p a r t 1:D y n a m i c m o d e l a n d r e s p o n s e J . J o u r n a l o f M e c h a n i s m s ,T r a n s m i s s i o n s ,a n dA u t o m a t i o ni nD e s i g n ,1983, 105( 3) : 534-540. 4 刘才山, 陈滨. 多柔体系统碰撞动力学研究综述 J . 力学进 展, 2000, 30( 1) :7 - 14. 5 HML a n k a r a n i , PEN i k r a v e s h . AC o n