量子力学5-1(3)

第五章力学量随时间的演化与对称性,5.1力学量随时间的演化,1、守恒量,量子力学中力学量的取值问题与经典不同。,在一个给定的态（一般为力学量的非本征态）中，力学量的取值有一定的几率分布，从而有平均值的概念。,由于波函数随时间变化，力学量的平均值也是随时间变化的。我们下面就研究这个问题。,其随时间的变化可以用对时间求导给出：,利用Schrdinger方程,利用算符的厄米性质,从而有,故若,则有,即此时，力学量在任何态中的平均值均不随时间变化。,即,由此容易证明：此时力学量取值的几率也不随时间变化。,则有,其中,证明如下：,下面我们看这个几率分布是否随时间变化。,将ak代入,利用含时方程,厄米算符性质,可见A的取值几率分布是不随时间变化的。,故A称为守恒量。,按照上述定义，量子力学中的守恒量A是指：,并有两个重要性质:,平均值不随时间变化,测值几率分布不随时间变化,例1,例2,对于自由粒子,例3,中心力场中,因为,而,所以,可见,但是由于,即,2、量子力学中的守恒量与经典守恒量的区别,守恒量不一定取确定值,守恒量是否处于某本征态由初始条件确定:,a.若初始时为A的本征态，则体系保持本征态；,本征态对应的量子数称为好量子数,b.若初始时没有处于A的本征态，则以后任意时刻也不会处于本征态，但是测值几率不随时间变化。,?,测值几率分布不随时间变化,假设力学量A是守恒量：,如中心力场中，,因而此时它们同时有确定值0。,守恒量与定态的异同,（1）概念不一样,a.定态是能量取确定值的状态能量本征态,b.守恒量是特殊的力学量，要满足一定条件,（2）性质不一样,a.在定态下，一切不含t的力学量，不管是否守恒量，其平均值、几率分布都不随t改变。,b.守恒量对一切状态，不管是否定态，其平均值、几率分布都不随t改变。,不管是定态问题还是力学量问题，都存在力学量的平均值和取值的几率分布不随时间变化问题。,所以，只有当体系即非定态，而所研究的力学量又不是守恒量时，才讨论力学量的平均值和取值几率分布随时间的变化问题。,（3）相似处,3、能级简并与守恒量的关系,分析守恒量，便于确定能级是否简并，并设法标记简并态。,定理：体系有两个彼此不对易的守恒量,即,则体系的能级一般是简并的。,方法一证明：,证明：,设,据,可知,同理，由于,方法二（反证法）,这样,即若能级不简并，则,设所有能级都不简并，则对任意态有,所以，不可能所有能级都不简并，即至少有一些能级是简并的。一般来说能级是简并的（不简并的只是个别能级）,推论1,非简并能量本征态必为某一守恒量本征态,用公式表示为,证明：,但能级E不简并,例,推论2,则体系所有能级都简并，而且简并度为无穷大,证明：,（用反证法）,但由题意知,这是相互矛盾的，,即所有能级都简并。,比较以上两式，可以发现求和没有发生变化。,而,即,由于两式都是对矩阵乘积求迹，如果fn有限，,则求迹与两矩阵乘积的次序无关。即,即：,而,矛盾,问题出来fn有限！,所以fn必为无穷度简并！,4、位力（Virial）定理由定态性质得出的一个有用定理,而,但,所以：,或,这就是所谓的位力（Virial）定理。它描述处于定态的系统，其动能平均值与势能平均值之间的关系。,例1,证明：,这里显然要用位力定理来证。,作业：,后面的例子自己看一看，特别注意库仑势。,32,特例,（在热统中有所介绍）,写成矢量的形式为,对此式两边求平均值，利用前面所给出的定理,即得,将此式用于几个特殊情况，有,（1）谐振子势,将,（2）Coulomb势,（3）势,即有,例2,一质量m为的粒子在对数势场中运动，,试证明：a)所有本征态具有相同的均方速度；b)任何两能级间的间距与m无关；,分析：a)均方速度与动能的平均值有关，这显然可由位力定理给出。,b)主要看能级是如何随质量变化的，这可以