全国各省市高上期数学联考试题重组题型 立体几何(学生.doc

2012届全国各省市高三上学期数学联考试题重组专题题型三 立体几何（学生版）【备 考 要 点】立体几何在数学高考中占有重要的地位，近几年高考对立体几何考察的重点与难点稳定（也是考生的基本得分点）：高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行的判断与性质、垂直的判断与性质作为考察的重点。新课标教材对立体几何要求虽有所降低，但考察的重点一直没有变，常常考察线线、线面、面面的平行与垂直的位置关系和空间角与距离的计算。（1）从考题的数量看，一般为2-3题，其中一大一小的设置更符合课时比例；从所占分值来看，同一省份不同年份差异不大，不同省份略有差异。（2）文理科差异较大，文科以三视图、面积与体积、平行与垂直关系的判断与证明为主要的考查对象，三视图几乎每年必考（其实，三视图是考察学生空间想象能力的良好素材，大部分省份的情况是文、理同题，位置调整难度）。（3）理科在文科的基础上重点考查空间角的计算，由此可见“空间角的计算”受到的关注程度最高，与考纲要求吻合。解答题的命制特点是“一题两法”，各地标准答案都给出了向量解法。（4）在“空间角”的考查中，主要考查的是“二面角”，高于教材要求，但对线面角的考查也有加大的趋势。预测2012年高考的可能情况是： (1)以选择题或者填空题的形式考查空间几何体的三视图以及表面积和体积的计算对空间几何体的三视图的考查有难度加大的趋势，通过这个试题考查考生的空间想象能力；空间几何体的表面积和体积计算以三视图为基本载体，交汇考查三视图的知识和面积、体积计算，试题难度中等 (2)以解答题的方式考查空间线面位置关系的证明，在解答题中的一部分考查使用空间向量方法求解空间的角和距离，以求解空间角为主，特别是二面角 【2011高 考 题 型】立体几何大题一般出现在试卷中第18、19题，难度中等，少数省份出现在20、21或17题位置，难度中等偏上或偏下。小题通常为容易题、中等题，中上难度的题也时有出现。占分比重全国绝大多数省份是两小题一大题21-22分，占全卷的14%左右。 考查重点 直线与平面的位置关系判定、证明及角度与距离的计算。直线平面的平行、垂直作为知识体系的轴心，在考查中地位突出，贯穿整个大题。角度的计算：线线角、线面角、二面角是必考内容，线面角、二面角的出现频率更高些。距离以点面距、异面直线的距离为主，前者的出现频率更高。另外还应注意非标准图形的识别、三视图的运用、图形的翻折、求体积时的割补思想等，以及把运动的思想引进立体几何。最近几年综合分析全国及各省高考真题，立体几何开放题是高考命题的一个重要方向，开放题更能全面的考查学生综合分析问题的能力。考查内容一般有以下几块内容：1、平行：包括线线平行，线面平行，面面平行；2、垂直：包括线线垂直，线面垂直，面面垂直；3、角度：包括线线（主要是异面直线）所成的角，线面所成的角，面面所成的角；4、求距离或体积；高考中的立体几何题的解法通常一题多解，同一试题的解题途径和方法中常常潜藏着极其巧妙的解法，尤其是空间向量这一工具性的作用体现的更为明显。因此，这就要求考生通过“周密分析、明细推理、准确计算、猜测探求”等具有创造性思维活动来选择其最佳解法以节约做题时间，从而适应最新高考要求。立体几何解答题的设计，注意了求解方法既可用向量方法处理，又可用传统的几何方法解决，并且向量方法比用传统方法解决较为简单，对中学数学教学有良好的导向作用，符合数学教材改革的要求，有力地支持了新课程的改革.【2012 命 题 方 向】【原题】（本题满分13分）如图，在四棱锥中，平面平面底面为矩形， ，（）求证：；（）求二面角的大小.【试题出处】北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷【原题】(本小题满分12分) 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1，B1A1C1=90，D、E分别为CC1和A1B1的中点，且A1A=AC=2AB=2 (I)求证：C1E平面A1BD； ()求点C1到平面A1BD的距离【试题出处】河北省石家庄市2012届高三上学期教学质量检测(一)数学（文）试题【原题】(本小题满分12分) 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，且PA=AB，M、N 分别是PA、BC的中点(I)求证：MN平面PCD；(II)在棱PC上是否存在点E，使得AE上平面PBD?若存在，求出AE与平面PBC所成角的正弦值，若不存在，请说明理由【试题出处】河北省石家庄市2012届高三上学期教学质量检测(一)数学（理）试题【原题】（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，,平面，是的中点，是的中点. () 求证：平面；（）求证：平面平面；（）求平面与平面所成的锐二面角的大小. 说明：（）小题用几何法，解答只要言之有理均应按步给分.【试题出处】福建省三明市普通高中2011-2012学年第一学期联合命题考试高三数学（理科）试题【原题】（本题满分12分）如图1，平面四边形ABCD关于直线AC对称，把ABD沿BD折起（如图2），使二面角ABDC的余弦值等于。对于图2，完成以下各小题：（1）求A，C两点间的距离；（2）证明：AC平面BCD；（3）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值。【试题出处】山东省烟台市2012届高三上学期期末检测 数学（理）试题【原题】（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分如图，在直三棱柱中，（1）求三棱柱的表面积；（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）【试题出处】2011学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（理）【原题】（本小题满分12分）如图，四边形为矩形，平面,，平面于点，且点在上.（）求证：；（）求四棱锥的体积；（）设点在线段上，且，试在线段上确定一点，使得平面.【试题出处】山东省青岛市2012届高三期末检测数学 (文科)【原题】（本小题满分12分）已知四边形满足，是的中点，将沿着翻折成，使面面，为的中点.（）求四棱的体积；（）证明：面；（）求面与面所成二面角的余弦值.【试题出处】山东省青岛市2012届高三期末检测数学 (理科) 【原题】（本小题满分12分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，E是SA的中点。（1）求证：平面BED平面SAB；（2）求平面BED与平面SBC所成二面角（锐角）的大小。【试题出处】唐山市2012届高三上学期期末考试数学试题（理）【原题】（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E分别是AA1和B1C的中点（） 求证：DE平面ABC；（）求三棱锥E-BCD的体积。【试题出处】江苏省苏北四市（徐、连、宿、淮）2012届高三元月调研测试（数学）【原题】（本题满分14分）如图，在梯形中，四边形为矩形，平面平面，（）求证：平面；（）设点为中点，求二面角的余弦值（第20题）【试题出处】浙江省宁波市2012届高三第一学期期末考试数学（文）试卷【原题】（本题满分14分）已知四棱锥中，底面是边长为的菱形，（I）求证：；（II）设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求的值【试题出处】浙江省宁波市2012届高三第一学期期末考试数学（理）试卷【原题】（本小题满分14分）如图边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC的中点，将BEF剪去，将AED、DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点P得一三棱锥如图示.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积；（3）求点E到平面PDF的距离【试题出处】广东省揭阳市20112012学年度高三学业水平考试数学文试题DPABCE【原题】（本小题满分14分）如图，一简单组合体的底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，EC/PD，PD=2EC(1) (2) 若，求DE与平面PDB所成角的正弦值。【试题出处】温州市十校联合体2011学年第一学期高三期末联考数学试卷【原题】（本小题满分12分）如图，已知四棱台ABCD A1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1=2。（ I）求证：平面A1ACC1平面B1BDD1；（）求四棱台ABCD - A1B1C1D1的体积；（）求二面角BC1CD的余弦值【试题出处】湖北省武昌区2012届高三年级元月调研测试数学（理）试题【原题】 (本小题满分13分)在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为的正三角形，点A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中点（）求证：A1ABC；（）当侧棱AA1和底面成45角时，求二面角A1ACB的大小余弦值； （）若D为侧棱A1A上一点，当为何值时，BDA1C1【试题出处】2012届厦门市高三上期末质量检查数学模拟试题（理）【原题】（本小题满分12分）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点。（1）求证:平面平面(2)当二面角的大小为时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由。 【试题出处】黑龙江省绥化市2011-2012学年度高三年级质量检测数学理科试题【原题】（本小题共14分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点， （）求证：平面；（）点在线段上，试确定的值， 使平面；（）若平面，平面平面，求二面角的大小ABCDEF图(1)【试题出处】北京市东城区2011-2012学年度高三数第一学期期末教学统一检测数学ABCDEF图(2)【原题】(本题12分) 如图(1)在等腰中，D，E，F分别是AB，AC和BC边的中点，现将沿CD翻折成直二面角A-DC-B.(如图(2)(I)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(II).求二面角E-DF-C的余弦值；(III)在线段BC是否存在一点P，但APDE？证明你的结论.【试题出处】2012年北海市高中毕业班第一次质量检测数学【原题】如图所示,在棱长为2的正方体中,点分别在棱上,满足,且.(1)试确定、两点的位置.(2)求二面角大小的余弦值.【试题出处】南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数 学试题【原题】（本小题满分12分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥PABCD中，平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1。（1）求证：平面PAB；（2）求面PCD与面PAB所成锐二面角的正切值；（3）在PC上是否存在一点E，使得DE/平面PAB？若存在，请找出；若不存在，说明理由。【试题出处】安徽省宿州市2012届高三第一次教学质量检测数学试题（理）【原题】（本小题满分14分）如图在四棱锥中，底面是正方形，垂足为点，,点，分别是，的中点（I）求证: ；（II）求证:平面；（III）若 ,求平面与平面所成二面角的余弦值.【试题出处】昌平区20112012学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）【方 法 总 结】解答题在考查中经常涉及的知识及题型有：证明“平行”和“垂直”；求多面体的体积；三种角的计算；有关距离的计算；多面体表面积或体积的计算.这类问题的解法主要是化归思想，如两条异面直线所成的角转化为两相交直线所成的角，面面距离转化为线面距离，再转化为点面距离等. 一题两法，支持新课程改革. 1.平行、垂直位置关系的论证 证明空间线面平行或垂直需要注意以下几点： (1)理清平行、垂直位置关系的相互转化.(2)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路. (3)立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一.(4)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑，应用时需要先认清所观察的平面及它的垂线，从而明确斜线、射影、面内直线的位置，再根据定理由已知的两直线垂直得出新的两直线垂直.另外通过计算证明线线垂直也是常用方法之一.2.空间角的计算 主要步骤：一作、二证、三算；若用向量，那就是一证、二算. (1)两条异面直线所成的角平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线. 补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系. 向量法：直接利用向量的数量积公式cos=（注意向量的方向）.(2)直线和平面所成的角作出直线和平面所成的角，关键是作垂线、找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算.用公式计算sin= (PM 直线l，M面, 是l与所成的角，是 面的法向量）. (3)二面角 平面角的作法：求两平面所成的二面角，就是要求出它的平面角，作二面角的平面角关键在于寻求棱上一点出发的两条垂线（分别位于两个平面内）但如果两垂线不同时出现于特殊位置上，就需要构思出二面角的平面角构思的一般方法是：（1）利用三垂线定理或逆定理，过一个面内一点分别作另一个平面的垂线、棱的垂线，连结两个垂足，可以得到二面角的平面角；（2）寻找（或证明）棱垂直于过棱上一点的两条相交直线（分别位于两个面内）所确定的平面平面角计算法： ()找到平面角，然后在三角形中计算（解三角形）或用向量计算. ()射影面积法：cos=. ()向量夹角公式：|cos|= ，是两面的法向量.( 是锐角还是钝角，注意图形和题意取舍）.*求平面的法向量：找；求：设，为平面内的任意两个向量，=(x,y,1)为的法向量, 则由方程组，可求得法向量.3.空间距离的计算 (1)两点间距离公式（线段的长度） (2)求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直