四边形综合题(含答案).doc

四边形综合题1. 已知ABC是等腰直角三角形，BAC=90，AB=AC，点D是边BC上的一个动点(不运动至点B，C)，点E在BC所在直线上，连结AD，AE，且DAE=45 (1)若点E是线段BC上一点，如图1，作点D关于直线AE的对称点F，连结AF，CF，DF，EF 求证：ABDACF；若BD=1，DE=2，求CE的长；(2)如图2，若BD=85，AB=2，求CE的长.(直接写出答案即可) 【答案】解：(1)点D与点F关于直线AE的对称，AE垂直平分DF，AD=AF，DAE=FAE=45，即DAF=90，DAC+FAC=90，BAC=90，DAC+BAD=90，BAD=FAC，在ABD与ACF中，AB=ACBAD=CAFAD=AF，ABDACF(SAS)；由可得：ABDACF，B=ACF=45，BD=CF=1，ECF=ACB+ACF=90，AE垂直平分DF，DE=EF=2，CE=EF2CF2=3；(2)CE=3或54理由：如图所示，当点E在BC延长线上时，作点D关于直线AE的对称点F，连结AF，CF，EF， 根据ABDACF，可得BD=CF=85，在等腰直角三角形ABC中，AB=2，BC=2，CD=25，DE=CE+25=EF，在RtCEF中，CE2+(85)2=(CE+25)2，解得CE=3；如图所示，当点E在线段BC上时，作点D关于直线AE的对称点F，连结AF，BF，EF， 根据ABFACD，可得BF=CD=25，DE=CE25=EF，又BE=BCCE=2CE，在RtBEF中，(25)2+(2CE)2=(CE25)2，解得CE=54【解析】(1)根据轴对称的性质，得到AD=AF，DAE=FAE=45，再根据同角的余角相等，得到BAD=FAC，即可判定ABDACF(SAS)；由可得：ABDACF，据此得出B=ACF=45，BD=CF=1，进而得到ECF=ACB+ACF=90，再根据DE=EF=2，运用勾股定理求得CE即可；(2)分两种情况进行讨论：当点E在BC延长线上时，作点D关于直线AE的对称点F，连结AF，CF，EF；当点E在线段BC上时，作点D关于直线AE的对称点F，连结AF，BF，EF.分别根据全等三角形的性质以及勾股定理，求得CE的长即可本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质以判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及对称轴的性质的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法，解题时注意分类思想的运用2. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=3，在BC边上取两点E、F(点E在点F的左边)，以EF为边所作等边PEF，顶点P恰好在AD上，直线PE、PF分别交直线AC于点G、H(1)求PEF的边长；(2)若PEF的边EF在线段CB上移动，试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论；(3)若PEF的边EF在射线CB上移动(分别如图和图所示，CF1，P不与A重合)，(2)中的结论还成立吗？若不成立，直接写出你发现的新结论【答案】解：(1)过P作PQBC于Q(如图1)，四边形ABCD是矩形，B=90，即ABBC， 又AD/BC，PQ=AB=3，PEF是等边三角形，PFQ=60，在RtPQF中，FPQ=30，设PF=2x，QF=x，PQ=3，根据勾股定理得：(2x)2=x2+(3)2，解得：x=1，故PF=2，PEF的边长为2；(2)PHBE=1，理由如下：在RtABC中，AB=3，BC=3，由勾股定理得AC=23，CD=12AC，CAD=30 AD/BC，PFE=60，FPD=60，PHA=30=CAD，PA=PH，APH是等腰三角形，作ERAD于R(如图2) RtPER中，RPE=60，PR=12PE=1，PHBE=PABE=PR=1(3)结论不成立，当1CF2时，PH=1BE，当2CF3时，PH=BE1【解析】(1)过P作PQBC，垂足为Q，由四边形ABCD为矩形，得到B为直角，且AD/BC，得到PQ=AB，又PEF为等边三角形，根据“三线合一”得到FPQ为30，在RtPQF中，设出QF为x，则PF=2x，由PQ的长，根据勾股定理列出关于x的方程，求出x的值，即可得到PF的长，即为等边三角形的边长；(2)PHBE=1，过E作ER垂直于AD，如图所示，首先证明APH为等腰三角形，在根据矩形的对边平行得到一对内错角相等，可得APE=60，在RtPER中，REP=30，根据直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半，由PE求出PR，由PA=PH，则PHBE=PABE=PAAR=PR，即可得到两线段的关系；(3)当若PEF的边EF在射线CB上移动时(2)中的结论不成立，由(2)的解题思路可知当1CF2时，PH=1BE，当2CF3时，PH=BE1此题综合考查了矩形的性质，等腰三角形的判别与性质、等边三角形的性质及直角三角形的性质.学生作第三问时，应借助第二问的结论，结合图形，多次利用数学中等量代换的方法解决问题，这就要求学生在作几何题时注意合理运用各小题之间的联系3. 已知，正方形ABCD中，MAN=45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边长分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N，AHMN于点H(1)如图，当MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：_ ；(2)如图，当MAN绕点A旋转到BMDN时，(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；(3)如图，已知MAN=45，AHMN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长【答案】AH=AB【解析】解：(1)如图AH=AB，四边形ABCD是正方形，AB=AD，B=D=90，在ABM与ADN中，AB=ADB=DBM=DN，ABMADN，BAM=DAN，AM=AN，AHMN，MAH=12MAN=22.5，BAM+DAN=45，BAM=22.5，在ABM与AHM中，BAM=HAMB=AHM=90AM=AM，ABMAHM，AB=AH；故答案为：AH=AD；(2)数量关系成立.如图，延长CB至E，使BE=DNABCD是正方形，AB=AD，D=ABE=90，在RtAEB和RtAND中，AB=ADABE=ADNBE=DN，RtAEBRtAND，AE=AN，EAB=NAD，EAM=NAM=45，在AEM和ANM中，AE=ANEAM=NAMAM=AM，AEMANM，SAEM=SANM，EM=MN，AB、AH是AEM和ANM对应边上的高，AB=AH；(3)如图分别沿AM、AN翻折AMH和ANH，得到ABM和AND，BM=2，DN=3，B=D=BAD=90，分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，由(2)可知，AH=AB=BC=CD=AD，设AH=x，则MC=x2，NC=x3，在RtMCN中，由勾股定理，得MN2=MC2+NC2，52=(x2)2+(x3)2，解得x1=6，x2=1(不符合题意，舍去) AH=6(1)由三角形全等可以证明AH=AB，(2)延长CB至E，使BE=DN，证明AEMANM，能得到AH=AB，(3)分别沿AM、AN翻折AMH和ANH，得到ABM和AND，然后分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE，设AH=x，则MC=x2，NC=x3，在RtMCN中，由勾股定理，解得x本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，翻折的性质，此题比较典型，具有一定的代表性，且证明过程类似，同时通过做此题培养了学生的猜想能力和类比推理能力4. 已知在四边形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的一点(1)如图1：当四边形ABCD是正方形时，作出将ADF绕点A顺时针旋转90度后的图形ABM；并判断点M、B、C三点是否在同一条直线上_ (填是或否)；(2)如图1：当四边形ABCD是正方形时，且EAF=45，请直接写出线段EF、BE、DF三者之间的数量关系_ ；(3)如图2：当AB=AD，B=D=90，EAF是BAD的一半，问：(2)中的数量关系是否还存在，并说明理由；(4)在(3)的条件下，将点E平移到BC的延长线上，请在图3中补全图形，并写出EF、BE、DF的关系【答案】是；EF=BE+DF【解析】(1)解：如图1：根据旋转的性质，ABM=90，四边形ABCD是正方形，ABC=90，M、B、C三点在一条直线上故答案为：是；(2)由旋转的性质可得：AM=AF，BAM=DAF，BM=DF，四边形ABCD是正方形，EAF=45，DAF+BAE=45，EAM=BAM+BAE=45，EAM=EAF，在EAM和EAF中，AM=AFEAM=EAFAE=AE，EAMEAF(SAS)，EF=EM=BM+BE=BE+DF；故答案为：EF=BE+DF；(3)存在理由如下：延长CB到P使BP=DF，B=D=90，ABP=90，ABP=D，在ABP和ADF中，AB=ADABP=DBP=DF，ABPADF(SAS)，AP=AF，BAP=DAF，EAF=12BAD，BAE+DAF=EAF，BAP+FAD=EAF，即：EAP=EAF，在APE和AFE中，AP=AFEAP=FAEAE=AE，APEAFE(SAS)，PE=FE，EF=BE+DF；(4)如图3，补全图形证明：在BC上截取BP=DF，B=ADC=90，ADF=90，B=ADF，在ABP和ADF中，AB=ADB=ADFBP=DF，ABPADF(SAS)，AP=AF，BAP=DAF，EAF=12BAD， DAE+DAF=12BAD，BAP+EAD=12BAD，EAP=12BAD=EAF，在APE和AFE中，AP=AFEAP=FAEAE=AE，APEAFE(SAS)，PE=FE，EF=BEBP=BEDF(1)首先由旋转的性质，画出旋转后的图形，然后由ABM=D=ABC=90，证得点M、B、C三点共线；(2)首先由旋转的性质可得：AM=AF，BAM=DAF，BM=DF，然后由EAF=45，证得EAM=EAF，继而证得EAMEAF，继而证得结论；(3)首先延长CB到P使BP=DF，证得ABPADF(SAS)，再证得APEAFE(SAS)，继而证得结论；(4)首先在BC上截取BP=DF，证得ABPADF(SAS)，再证得APEAFE(SAS)，即可得EF=BEBP=BEDF此题属于四边形的综合题.考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质.注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意准确作出辅助线是解此题的关键5. 正方形ABCD中，点E是射线AB上一动点，点F是线段BC延长线上一动点，且AE=CF，(1)如图1，连接DE、DF，若正方形的边长为4，AE=3，求EF的长？(2)如图2，连接AC交EF与G，求证：AC=2AE+2CG；(3)如图3，当点E在AB延长线上时，AE=CF仍保持不变，试探索线段AC、AE、CG之间的数量关系，并说明理由【答案】(1)解：正方形的边长为4，AE=3，BE=43=1，AE=CF， CF=3，BF=BC+CF=7，EF=BE2+BF2=52；(2)证明：如图2，作EH/BC交AC于H，四边形ABCD是正方形，BAC=45，AH=EH=2AE，AE=CF， EH=CF，又EF/CF，HG=CG，即HC=2CG，AC=AH+HC=2AE+2CG；(3)AC=2AE2CG证明：如图3，作EP/BC交AC的延长线于P，四边形ABCD是正方形，BAC=45，AP=EP=2AE，AE=CF，EP=CF，又EF/CF，PG=CG，即PC=2CG，AC=APPC=2AE2CG【解析】(1)根据题意分别求出BE、BF的长，根据勾股定理计算即可；(2)作EH/BC交AC于H，根据正方形的性质得到BAC=45，根据勾股定理得到AH=2AE，根据平行线分线段成比例定理得到HC=2CG，得到答案；(3)作EP/BC交AC的延长线于P，与(2)的方法类似，证明即可本题考查的是正方形的性质、平行线分线段成比例定理以及全等三角形的判定和性质，掌握相关的性质定理、灵活运用类比思想是解题的关键6. 如图，正方形ABCD边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF(1)求证：HEA=CGF；(2)当AH=DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；(3)设AH=2，DG=x，FCG的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并直接写出x的取值范围；(4)求y的最小值【答案】(1)证明：如图1，连接GE，AB/CD，AEG=CGE，GF/HE，HEG=FGE，HEA=CGF；(2)证明：四边形ABCD是正方形，D=A=90，四边形EFGH是菱形，HG=HE， 在RtHAE和RtGDH中，AH=DGHE=HG，RtHAERtGDH，AHE=DGH，又DHG+DGH=90，DHG+AHE=90，GHE=90，菱形EFGH为正方形；(3)解：作FMDC，交DC的延长线于M，在RtAHE和RtGFM中，A=MAEH=FGMHE=FG，RtAHERtGFM，MF=AH=2，DG=x，CG=6x，y=12CGFM=122(6x)=6x(0x26)；(4)k=10，y随x的增大而减小，x=26时，y的最小值是626【解析】(1)连接GE，根据正方形的性质和平行线的性质得到AEG=CGE，根据菱形的性质和平行线的性质得到HEG=FGE，解答即可；(2)证明RtHAERtGDH，得到AHE=DGH，证明GHE=90，根据正方形的判定定理证明；(3)作FMDC，证明RtAHERtGFM，得到MF=AH=2，根据三角形的面积公式得到解析式；(4)根据一次函数的性质：当k0时，y随x的增大而减小解答即可本题考查的是正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数解析式的求法和一次函数的性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键7. 四边形ABCD为正方形，点E为射线AC上一点，连接DE，过点E作EFDE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG(1)如图1，当点E在线段AC上时求证：矩形DEFG是正方形；求证：AC=CE+CG；(2)如图2，当点E在线段AC的延长线上时，请你在图2中画出相应图形，并直接写出AC、CE、CG之间的数量关系；(3)直接写出FCG的度数【答案】(1)证明：作EPCD于P，EQBC于Q，DCA=BCA，EQ=EP，QEF+FEC=45，PED+FEC=45，QEF=PED，在RtEQF和RtEPD中，QEF=PEDEQ=EPEQF=EPD，RtEQFRtEPD，EF=ED，矩形DEFG是正方形；ADE+EDC=90，CDG+EDC=90，ADE=CDG，在AED和CGD中，AD=CDADE=CDGDE=DG，AEDCGD，AE=CG，AC=CE+AE=CE+CG；(2)AC+CE=CG， 证明：由(1)得，矩形DEFG是正方形，DE=DG，ADC=EDG=90，ADE=CDG，在ADE和CDG中，AD=DCADE=CDGDE=DG，ADECDG，AE=CG，AC+CE=CG；(3)如图1，当点E为线段AC上时，ADECDG，DCG=DAE=45，FCG=FCD+DCG=135；如图2，当点E为线段AC的延长线上时，FCG=FCDDCG=45【解析】(1)作EPCD于P，EQBC于Q，证明RtEQFRtEPD，得到EF=ED，根据正方形的判定定理证明即可；根据三角形全等的判定定理证明AEDCGD，得到AE=CG，证明结论；(2)根据题意画出图形，与(1)的方法类似，证明ADECDG，得到AE=CG，即可得到答案；(3)根据全等三角形的性质和点E的不同位置求出FCG的度数本题考查的是正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用8. 在ABC中，AB=AC，点PABC为所在平面内一点，过点P分别作PE/AC交AB于点E，PF/AB交BC于点D，交AC于点F (1)当点P在BC边上(如图1)时，请你探索线段PD，PE，PF，AB与之间的数量关系，并给出证明；(2)当点P在ABC内(如图2)时，(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，线段PD，PE，PF，AB与之间又有怎样的数量关系(3)当点P在ABC外(如图3)时，线段PD，PE，PF，AB与之间又有怎样的数量关系【答案】(1)答：PD+PE+PF=AB证明如下：点P在BC上，PD=0，PE/AC，PF/AB，四边形PFAE是平行四边形，PF=AE，PE/AC，BPE=C，B=BPE，PE=BE，PE+PF=BE+AE=AB，PD=0，PD+PE+PF=AB；(2)证明：AB=AC，B=C，PF/AB，B=CDF，C=CDF，CF=PD+PF，PE/AC，PF/AB，四边形PFAE是平行四边形，PE=AF，PD+PE+PF=AC，PD+PE+PF=AB；(3)证明：同(2)可证DF=CF，PE=AF，AF+CF=AC，PE+PFPD=AC，PE+PFPD=AB【解析】(1)先求出四边形PFAE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得PF=AE，再根据两直线平行，同位角相等可得BPE=C，然后求出B=BPE，利用等角对等边求出PE=BE，然后求解即可；(2)根据等边对等角可得B=C，再根据两直线平行，同位角相等可得B=CDF，然后求出C=CDF，再根据等角对等边可得CF=PD+PF，然后求出四边形PFAE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得PE=AF，然后求出PD+PE+PF=AC，等量代换即可得证；(3)证明思路同(2)本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟记平行四边形的判定方法与性质，并准确识图理清图中边的关系是解题的关键，此类题目，