小学六年级数学竞赛讲座 第2讲 高斯记号进阶.pdf

第二讲第二讲 高斯记号进阶高斯记号进阶 模块一、高斯记号求值： 例 1和式 S= 502 1 305 503 n n 的值为 。 解 1： 305 1305 502 305 503503 ， 305 2305 501 305 503503 ， 502 1 305 305 251 503 n n 所以 502 1 305 503 n n = 502 1 305 251 503 n n =304251=76304. 解 2：n=1 时， 305 1 0 503 ；n=2 时， 305 2 1 503 ；n=3 时， 305 3 1 503 ；n=4 时， 305 4 2 503 ； n=5 时， 305 5 3 503 ；n=6 时， 305 6 3 503 ；n=7 时， 305 7 4 503 ；n=8 时， 305 8 4 503 ； n=9 时， 305 9 5 503 ； n=10 时， 305 10 6 503 ； n=11 时， 305 11 6 503 ； n=12 时， 305 12 7 503 ； n=13 时，305 137 503 ； n=14，305 148 503 ； n=15 时，305 159 503 ； n=16 时，305 169 503 ； 于是原式=0+(1+1+2+3+3)+(4+4+5+6+6)+(7+7+8+9+9)+(301+301+302+303+303)+304 =10+25+40+1510+304= (10 1510) 100 304 2 =76304. 例 2计算： 210 1222 3333 = 。 解：原式=0+0+1+2+5+10+21+42+85+170+341=677. 解 2：对于 1、2、22、23、210，它们除以 3 的余数分别是 1、2、1、2、2、1， 所以直接算 01210 2222 3333 ，得到的数将偏大， 而前面 11 个余数中恰好组成 5 个 3 外加 1 个 1， 于是 01210 2222 3333 1 5 3 = 11 11 (21)5 33 =677. 例 3 20000 100 10 103 的值的个位数字为 。 解： ：先找出 310 10 100 20000 的整数部分与小数部分. 310 10 100 20000 = 310 3 310 3)10( 100 200 100 200200100 1002002001002 1002 100 1002220000200 10010022 20000200 100 200100 100100 2000020002002000010020000 100100100 (10)3(10) (3 ), (10)3 |103 103|(10)3 , 103 . 103 39 1, 103103 1010310910 103103103 知 又 知是整数 显然 知 50 100 81 . 103 其中分母的个位数字为 3，分子的个位数字为 9，故商的个位数字为 3. 模块二、高斯记号方程： 例 4若实数 r 使得 192091 100100100 rrr=546，则100r= 。 解：因为 192091 100100100 rrr，且 9119 1 100100 rr 又 192091 100100100 rrr=546，所以这 73 个数中前 38 个都为 7，后 35 个都为 8， 所以第 38 个数 56 7 100 r ，第 39 个数 57 8 100 r，所以 r+0.568， 所以 7.43r7.44，743100r744， 所以100r=743. 例 5解方程 56157 85 xx ，则 x= . 解： 56565+6 1 888 xxx ，所以 561575+6 1 858 xxx ， 1575+6 58 56157 1 85 xx xx ，解得 419 9010 x. 又 157 5 x 为整数，15x7=0、5、10，解得 x= 7 15 或 x= 4 5 或 x=17 15 （舍） 所以 x= 4 5 或 x= 7 15 . 例 6求正整数 a， 235 aaa a。 解：a 不是最小公倍数 30 的整倍数， 令 a=30k+r，0r2011，所以 239+14=253. 即 n 的最小值是 253. 例 8下列 m 个整数 2009 120092200932009 , , , , , 123 m m 共有 69 个不同的取值，则 m 的 最小值为 ，最大值为 。 解：由于 20092009 1 k kk ， 所以 m 个整数 2009 120092200932009 , , , , , 123 m m 共有 69 个不同的取值， 相当于 m 个整数 2009200920092009 , , , , , 123m 共有 69 个不同的取值， 而 200920092009 1(1)kkk k = 2009200920092009 11(1)(1)kkk kk k = 2009200920092009 1(1)1(1)kk kkk k ， （1）k44 时， 2009 1 (1)k k ，因此 20092009 1 1kk ， 即从 145 时， 2009 k 是 45 个不同的取值； （2）k45 时， 2009 0 (1)k k ， 20092009 1(1)kk k =0 或 1， 因此 k45 时， 20092009 1kk 或 20092009 +1 1kk ， 2009200920092009 44 12345 这是 45 个不同的值，还差 24 个不同的值， 则 2009 m =4424=20，于是 2009 2021 m ，推出 96m100， 综上，m 的最大值是 100，最小值是 96. 随随 堂堂 练练 习习 1 14 114 214 9714 98 33333333 的和是 。 （其中x表示不超过 x 的最大整数） 解：首尾相加比较： 对于 k=1、2、98，14 1414 333333 kkk ，14 (99 )14 (99)14 (99) 333333 kkk ， 所以 42=14 14 (99)141414 (99)14 (99) 333333333333 kkkkkk 并且上式中 1414 (99) 3333 kk 是整数，所以 1414 (99) 3333 kk 也是整数， 又对于任何数 m，0m2， 又当 k2 时， 1111 !(1)1kk kkk ， 所以 111 1 1!2!1995! 1+1+(1 1 2 )+( 1 2 1 3 )+( 11 19941995 )=3 1 1995 3， 所以 111 1 1!2!1995! =2. 3用x不少不超过 x 的最大整数，并令x=xx，若 x、y、z 满足下列关系：x+y=2011，y+z=18.8， z+x=6，则 x+y+z= 。 解：y+z=18.8，因为y是整数，z是小数，所以y=18，z=0.8， 又 z+x=6，所以x=0.2，z=5.8， x+y=2011，所以 x=2010.2，y=18.8， 所以 x+y+z=2010.2+18.8+5.8=2034.8. 4解方程： （1）x+2x=3x； （2）3x+5x49=0. 解： （1）x=x+x，所以x+x+2x=3x， 解得 3x=2x，0x1，所以 03x3，所以 02x3，所以 0x63 时，方程左边的值一定越来越大，也不满足方程， 所以方程有唯一解，即 x=63. 8在 2222 1232013 , 2013201320132013 ，中共出现了多少个互不相同的数？ 解： 2 2013 2013 2013 ，即最小的数为 0，最大的数为 2013， 又 1007210062=(1007+1006)(10071006)=2013，所以 222 1007100620131006 1 2