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线线线性性性代代代数数数总总总结结结 第第第一一一章章章 行行行列列列式式式 一一一. 行行行列列列式式式的的的定定定义义义 定定定义义义 把 n2个数 aij(i = 1, ,n;j = 1, ,n) 排成 n 行 n 列, 按照下 式 D = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a11a12.a1n a21a22.a2n . an1an2.ann ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = (1)i1i2ina1i1a2i2anin 计算得到的一个数, 称为 n 阶行列式, 简记为 D = det(aij) 或 D = |aij|, 其 中 表示对所有 n 元排列求和. 注注注： 1此和式共有n!项； 2每一项都是位于不同行不同列的n个元素的乘积； 3每一项的正负由列下标排列的奇偶性决定。 要要要点点点： 1. 如何写出上述和式中的所有项：即n元排列的所有可能组合； 2. 如何判断每一项的符号：计算一个排列的逆序数判断一个排列的奇 偶性判断行列式中任一项的正负。 二二二. 行行行列列列式式式的的的性性性质质质 性性性质质质1. 行列式与它的转置行列式相等, 即 D = DT. 性性性质质质2. 互换行列式两行，行列式变号，记作ri rj. 推论1. 若行列式的任意两行相同, 则行列式为 0; 推论2. 若行列式的任意两行成比例, 则行列式为 0. 性性性质质质3. 行列式某一行所有元素都乘以同一数k，等于用k乘此行列式， 记作ri k. 1 性性性质质质4. 若行列式中某一行是两组数的和, 则这个行列式等于两个行列式 之和, 其中这两个行列式分别以这两数为该行, 而其余各行与原行列对应各 行相同. 即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a11a12.a1n . . . . . . . . . . . . ai1+ bi1ai2+ bi2.ain+ bin . . . . . . . . . . . . an1an2.ann ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a11.a1n . . . . . . ai1.ain . . . . . . an1.ann ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a11.a1n . . . . . . bi1.bin . . . . . . an1.ann ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 性性性质质质5. 把行列式的第 j 行元素的 k 倍加到第 i 行的对应元素上, 行列式 的值不变. 即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a11a12.a1n . . . . . . . . . . . . ai1ai2.ain . . . . . . . . . . . . aj1aj2.ajn . . . . . . . . . . . . an1an2.ann ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a11a12.a1n . . . . . . . . . . . . ai1+ kaj1ai2+ kaj2.ain+ kajn . . . . . . . . . . . . aj1aj2.ajn . . . . . . . . . . . . an1an2.ann ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 记作 ri+ krj. 注注注:上述所有性质对列同样成立.相应的运算符号可记为ci cj;ci k;ci+ k ci. 要要要点点点：应用行列式的性质简化行列式的计算。 三三三. 行行行列列列式式式的的的计计计算算算 （一） 用定义计算行列式. （二） 用性质计算行列式. 1. 直接利用行列式的性质可计算行列式的值为 0. 2 注注注:这种问题常常可以利用行列式的下列性质: (i)若行列式中有一行(列)的元素全为0,则行列式为0. (ii)若行列式中有两行(列)相同,则行列式为0. (iii)若行列式中有两行(列)成比例,则行列式为0. 2. 利用性质消零化三角形. 以主对角线为轴的上/下三角形行列式： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a11a12.a1,n1a1n 0a22.a2,n1a2n . . . . . . . . . . . . 000ann ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a110.00 a21a22.00 . . . . . . . . . . . . an1an2an,n11ann ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = a11a22ann 以副对角线为轴的上/下三角形行列式： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a11a12.a1,n1a1n a21a22.a2,n10 . . . . . . . . . . . . an1000 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 00.0a1n 00.a2,n1a2n . . . . . . . . . . . . an1an2an,n1ann ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = (1) n(n1) 2 a1na2,n1an1 几种特殊形式的行列式: (a) 各行 (列) 元素之和均相等的行列式. 方法：把各列(行)都加到第1列(行),并提出第1列(行)的公因子, 则第1列(行)各元素全化成了1,然后再进一步进行化零运算. (b) 箭形行列式. 方法：若主对角线上元素全不为零，则将每一列的ai1 aii倍加至第一列， 则行列式化为三角形行列式； 若主对角线上某元素为零，如aii= 0，则将 行列式按第i行展开即可. 3 (c) 分块对角行列式和分块上 (下) 三角行列式. 基本结论： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? D1 D2 . Dm ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = D1D2Dm; ? ? ? ? ? ? ? ? ? D1AB D2C 0D3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? = D1D2D3. (D1,D2, ,Dm是任意阶行列式). （三） 行列式按行（列）展开法则. akiAkj= Dij= D,当 i = j时； 0,当i = j时. 注注注:利用这一法则,使高阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算,因此 也称其为降阶法.这是计算高阶 行列式的一个基本方法. 4 第第第二二二章章章 矩矩矩阵阵阵及及及其其其运运运算算算 一一一. 矩矩矩阵阵阵的的的概概概念念念 定定定义义义 由m n个数排成m行n列矩行的表 a11a12a1n a21a22a2n an1an2ann 称为一个m n矩阵，记作A.其中aij称为第i行第j列元素。 几种特殊形式的矩阵: (a) 零矩阵：所有元素均为零。 (b) 对角矩阵：对角线上元素不全为零，对角线以外元素全部为零，记 作A = diag(a11,a22, ,ann)。 单位矩阵： En= diag(1,1, ,1) 纯量矩阵： A = diag(c,c, ,c) (c)上/下三角矩阵 (d)行/列矩阵：只有一行或只有一列的矩阵。 二二二. 矩矩矩阵阵阵的的的运运运算算算 （一）矩阵的加法： C = A B = (aij bij)mn. N 运算规律: 设A,B,C是同型矩阵，则 (i) A + B = B + A ; （加法交换律） (ii) (A + B) + C = A + (B + C) ; （加法结合律） (iii) A + O = O + A = A ,其中O与A同型; （零矩阵的作用） (iv) A + (A) = 0.(负矩阵的作用) （二）矩阵的数乘：A = (aij)mn. N 运算规律: (v) 1A = A,0A = 0; 5 (vi) ()A = (A);(关于数乘因子满足结合律） (vii) ( + )A = A + A;(关于数乘因子满足分配律） (viii) (A + B) = A + B.(关于矩阵满足分配律） （三）矩阵的乘法：设A = (aij)ms,B = (bij)sn， 则C = AB = (cij)mn， 其中cij= ai1b1j+ ai2b2j+ + aisbsj。 注注注：1只有当“左矩阵的列数=右矩阵的行数”时,两矩阵才能相乘且“乘 积矩阵的行数=左矩阵的行数； 乘积矩阵的列数=右矩阵的列数”. 2特殊地，行矩阵与的列矩阵的乘积是一个数,即: ( ai1ai2ais ) b1j b2j . . . bsj = ai1b1j+ ai2b2j+ + aisbsj. 3一般情况下, AB = BA： (i) AB与BA其中之一没有意义; (ii) AB与BA都有意义，但不同型； (iii) AB与BA同型，但不相等。 4消去律不成立。 N 运算规律: (i) EmAmn= AmnEn= Amn;(单位矩阵的作用) (ii) OA = AO = O;(零矩阵作用） (iii) (AB)C = A(BC);(乘法结合律) (iv) (AB) = (A)B = A(B);(数因子的位置任意) (v)(A + B)C = AC + BC, A(B + C) = AB + AC.(分配率) （四）矩阵的幂与多项式：设A Mn，则 Ak+1=AkA, k = 1,2, f(A)=anAn+ an1An1+ + a1A + a0I. 6 N 运算规律: (i) AkAl= Ak+l; (ii) (Ak)l= Akl. 注注注：由于矩阵乘法不满足交换律,所以下列等式未必成立: (AB)k= AkBk, (A + B)2= A2+ 2AB + B2(其中A,B为n阶方阵，k为正整数)。 （五）矩阵的转置：设A = (aij)mn，则AT= (aji)nm. N 运算规律: (i) (AT)T= A; (ii) (A + B)T= AT+ BT; (iii) (A)T= AT; (iv) (AB)T= BTAT, (A1A2Am)T= AT mATm1AT2AT1. 对称/反对称矩阵：设A Mn。若AT= A，则称A为对称矩阵; 若AT= A, 则称A为反对称矩阵. 要要要点点点： 利用对称/反对称矩阵的定义证明给定某个形式的矩阵是对称或 反对称的。 （六）矩阵的行列式：由n阶矩阵A = (aij)nn的元素所构成的行列 式(各元素的位置不变)， 称为方阵A的行列式，记为| A |或detA。 N 运算规律: (i) |AT| = |A|; (ii) |A| = n|A|; (iii) |AB| = |BA| = |A|B|. 伴随矩阵：行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的矩阵 A= A11A21An1 A12A22An2 A1nA2nAnn 7 称为A的伴随矩阵. N 性质: AA= A= |A|E. 要要要点点点： 利用这一性质证明矩阵、伴随矩阵与逆矩阵之间的关系。 （七）矩阵的初等变换 定定定义义义 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。其中初 等行变换分别包含以下三种： (i) 对称变换：互换矩阵第i行与第j行的位置，记作 ri rj； (ii)数乘变换：用一个非零常数k乘矩阵的第i行，记作ri k； (iii)倍加变换：将矩阵的第j行元素的k倍加到第i行上，记作ri+ krj。 把上述三种行变换换为列即三种初等列变换。 定定定义义义 单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，可分别记 作E(i,j), E(i(k), E(ij(k)。 注注注： 1单位矩阵E经初等行变换和初等列变换的对称变换和数乘变 换所得的初等举证形式完全一样，即均是E(i,j), E(i(k)。但 对于倍加变 换，则不完全相同。具体地，初等矩阵E(ij(k)表示矩阵的第j行元素的k倍 加到第i行上，或矩阵的第i列元素的k倍加到第j列。 2初等矩阵都可逆且其逆矩阵也都是可逆矩阵，其逆阵为：E(i,j)1= E(i,j); E(i(k)1= E(i(1 k); E(ij(k) 1 = E(ij(k) 定定定义义义 若矩阵A经过初等变换化为矩阵B,则称A与B等价。 N 初初初等等等变变变换换换的的的性性性质质质 （1）任意一个矩阵经过初等行变换一定可以化为行阶梯形矩阵和行最 简形矩阵，进一步通过初等列变换还可化为 标准型。 （2）设A是一个m n矩阵,对A施行一次初等行变换，相当于在A的左 边乘以相应的m阶矩阵； 对A施行一次列初等变换，相当于在A的右边乘以 相应的n阶初等矩阵。 8 （3）设A是一个m n的矩阵，则存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩 阵Q， 使PAQ = Er0 00 ，即等价于标准形。 （4）可逆矩阵A可表示成有限个初等矩阵的乘积。 （5）若A是一个可逆的n阶矩阵，则A等价于单位矩阵En。 要要要点点点： 矩阵的初等变换可用于求解矩阵的秩、求解线性方程组，是矩 阵两大运算之一。 三三三. 矩矩矩阵阵阵的的的秩秩秩 定定定义义义 设在矩阵A中有一个不等于0的阶子式D，且所有r + 1阶子式(如 果存在的话)全等于0， 则称D为A的最高阶非零子式，并称其阶数r为矩 阵A的秩，记作R(A) = r。 注注注：矩阵的秩唯一，但最高阶非零子式并不唯一。 N 矩矩矩阵阵阵秩秩秩的的的性性性质质质 （1）R(A + B) R(A) + R(B). （2）R(AB) minR(A),R(B). （3）设A Mmn,B Mns，则R(AB) R(A) + R(B) n。 特殊 地，若AB = 0，则R(A) + R(B) 6 n。 （4）maxR(A),R(B) 6 R(A,B) 6 R(A) + R(B). （5）R( A0 0B ) = R(A) + R(B). （6）初等变换不改变矩阵的秩。 （7）设A,B Mmn，则R(A) = R(B) A B. 矩阵秩的求法：把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵,则行阶梯形 矩阵中非零行的个数即该矩阵的秩。 四四四. 逆逆逆矩矩矩阵阵阵 定定定义义义 设A Mn。如果存在B Mn，使AB = BA = E，则称矩阵A是 可逆的(或满秩的，非奇异的)，并称B是A的一个逆矩阵。 否则称A是不可 9 逆的(或降秩的，奇异的)。 注注注： 1若A可逆,则A的逆唯一。 2 若AB = E(或BA = E)，则B = A1(或A = B1)。 3 AB可逆的充分必要条件是A,B均可逆。 4 若A可逆,可定义A0= E,Ak= (A1)k。 N 运算规律: (i) (A1)1= A; (ii) (A)1= 1 A 1; (iii) (AB)1= B1A1,(A1A2An)1= A1 n A1 2 A1 1 ; (iv) |A1| = 1 |A| = |A|1; (v) (A1)T= (AT)1。 逆矩阵的求法： 1. 待定系数法 2. 用公式A1= 1 |A|A 计算 3. 用定义 4. 用性质 5. 利用分块对角阵的逆矩阵公式：若Ai均可逆,则A = diag(A1,A2, ,As) 可逆且A1= diag(A1 1 ,A1 2 , ,A1 s )。 6. 利用分块三角阵的逆矩阵公式：若Aii(i = 1,2, ,s)均可逆， 则A可逆且其逆仍是三角矩阵。特殊地，对于二阶分块三角矩阵 A110 A21A22 1 = A1 11 0 A1 22A21A 1 11 A1 22 7. 利用初等变换：(A . . . E) = (E . . . A1). 要要要点点点： 关于逆矩阵的计算和证明。 五五五. 分分分块块块矩矩矩阵阵阵及及及其其其运运运算算算 （一）分块矩阵的线性运算 10 （二）分块矩阵的乘法 （三）分块对角矩阵的运算：设A = diag(A1,A2, ,As),B = (B1,B2, ,Bs) 是分块对角矩阵,其中Ai,Bi(i = 1,2, ,s) 均是同阶矩阵,则 A + B=diag(A1+ B1,A2+ B2, ,A3+ B3) A=diag(A1,A2, ,As) AB=diag(A1B1,A2B2, ,AsBs) AT=diag(AT 1,A T 2, ,A T s) |A|=|A1| |A2|As| （四）分块三角矩阵的运算 11 第第第三三三章章章 向向向量量量组组组的的的线线线性性性相相相关关关性性性 一一一. 线线线性性性相相相关关关性性性的的的概概概念念念 （一）线性表示 定定定义义义 给定向量组 A : a1,a2, ,am，对于任何一组实数 k1,k2, ,km， 称向量 k1a1+ k2a2+ + kmam为向量组a1,a2, ,am的线性组合， 并称k1,k2, ,km为该线性组合的系数； 若对向量 b，存在一组数 1,2, ,m， 使 b = 1a1+2a2+mam， 则称b 能由 a1,a2, ,am 线性表示。 下述命题等价: (i) b 能由 a1,a2, ,am线性表示； (ii) 方程组 x1a1+ x2a2+ + xmam= b 有解； (iii) R(A) = R(B), 其中 A = (a1,a2, ,am),B = (a1,a2, ,am,b)。 注注注 “线性表示非齐次线性方程组”且“线性表示的系数非齐次 线性方程组的解”。 （二）线性相关/线性无关 定定定义义义 给定向量组 A : a1,a2, ,am，若存在不全为零的数 k1,k2, ,km, 使 k1a1+ k2a2+ + kmam= 0， 则称向量组 a1,a2, ,am是线性相关 的，否则称为线性无关。 下述命题等价: (i) 向量组 a1,a2, ,am线性相关（线性无关）； (ii) 齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解（只有零解），其中A = (a1,a2, ,am),x = (x1, ,xm)T； (iii) R(A) s，则向量组A线性相关。 (2) 若向量组A : a1,a2, ,am能由向量组B : b1,b2, ,bs线性表示 且A组线性无关,则m s。 (3) 等价的线性无关的向量组有相同个数的向量。 (4) 若矩阵A经过初等行变换化为矩阵B，则A的列向量组与B对应的列 向量组有相同的线性关系。 （二）向量组的秩 定定定义义义 设有向量组A。如果A中能选出r个向量a1,a2, ,ar满足： (i)向量组A0: a1,a2, ,ar线性无关； (ii)向量组A中任意r + 1个向量都线性相关( A组中每一个 向量均可 由A0组线性表示)。 则称向量组A0是向量组A的一个最大极大线性无关向量组(简称最大无关 组)，并称r为向量组的秩。 注注注： 1一个线性无关向量组的最大无关组就是这个向量组本身。 2向量组的最大无关组一般不是唯一的。 3一个向量组中任两个最大无关组所含向量个数是唯一的。 N 性质： (1) 两个等价的向量组的秩相等。 (2) 若向量组B可由向量组A线性表示,则向量组B的秩不大于向量组A的 秩。 (3) 矩阵A的秩 = 行向量组的秩 = 列向量组的秩。 (4) 设Cmn= AmsBsn，则R(C) R(A), R(C) R(B)。 四四四. 向向向量量量空空空间间间 定定定义义义 设V是数域F上的n维向量构成的非空集合且满足: (i)若a,b V ，则a + b V ； 14 (ii)若a V, F，则a V . 称集合V为数域F上的向量空间.若数域F为实(复)数域,则称V为实(复)向 量空间. 定定定义义义 设V 为向量空间,如果存在r个向量a1,a2, ,ar V 满足: (i) a1,a2, ,ar线性无关； (ii) V 中任一向量都可由a1,a2, ,ar线性表示. 则称向量组a1,a2, ,ar为向量空间V 的一组基，称r为向量空间V 的维 数，记作dimV = r. N 若向量组a1,a2, ,ar是向量空间V 的一个基，则V 可表示为 V = x = 1a1+ 2a2+ + rar|1, ,r R . 15 第第第四四四章章章 线线线性性性方方方程程程组组组 一一一. 齐齐齐次次次线线线性性性方方方程程程组组组Ax = 0 N 解解解的的的判判判别别别 设A Mm,n,x Rn,则 (1)若m n,则Ax = 0有非零解; (2)若m = n,则 (i) Ax = 0有非零解 |A| = 0 R(A) n A不可逆 A的列向 量组线性相关; (ii) Ax = 0只有零解 |A| = 0 R(A) = n A可逆 A的列向量 组线性无关。 (3)一般地, (i) Ax = 0有非零解 R(A) n A的列向量组线性相关; (ii) Ax = 0只有零解 R(A) = n A的列向量组线性无关. N 解解解的的的性性性质质质 (1)若x = 1,x = 2都是Ax = 0的解，则x = 1+ 2也是Ax = 0的解; (2)若x = 是Ax = 0的解，k为实数，则x = k也是Ax = 0的解. 注注注：齐次线性方程组的解空间是一个向量空间。 定定定义义义 齐次线性方程组Ax = 0解空间的基称为该方程组的基础解系. N 求求求解解解步步步骤骤骤 设A Mmn, R(A) = r n,则齐线性方程组Ax = 0的基础解系含有nr个向量1,2, ,r. 系数矩阵A 初等行变换 行最简形矩阵 R(A) = n时,方程组只有零解； R(A) n时,方程组的通解为x = k11+ k22+ + knrnr. 二二二. 非非非齐齐齐次次次线线线性性性方方方程程程组组组Ax = b N 解解解的的的判判判别别别 设A Mm,n,x Rn 16 (1)对(A . . . b)作初等变换化作阶梯形 c11c1rc1r+1c1nd1 . . . . . . . . . . . . crrcr,r+1crndr dr+1 0 . . . 0 (i) dr+1= 0 无解； (ii) dr+1= 0,r = n 有唯一解； (iii) dr+1= 0,r n 有无穷多解. (2)非齐次线性方程组Ax = b有解 b可由A的列向量a1,a2, ,an线性表示 a1,a2, ,an与a1,a2, ,an,b是等价向量组 向量组a1,a2, ,an与a1,a2, ,an,b的秩相等 R(A) = R(B). N 解解解的的的性性性质质质 (1)若x = 1,x = 2都是Ax = b的解,则x = 1 2是对应的齐次线性方 程组Ax = 0的解. (2)若x = 是Ax = b的解,x = 是Ax = 0的解,则x = + 是Ax = b的 解. (3)若x = 是Ax = b的解,则Ax = b的任一解都可表示成 = + ,其 中是Ax = 0的解. N 求求求解解解步步步骤骤骤 17 增广矩阵B 初等行变换 行阶梯形矩阵 判断方程组是否有解 若有解 行最简形矩阵 R(A) = R(B) = n时,可直接求出其唯一解； R(A) = R(B) = r 0， 则称f(x) = xTAx为正定二次型；若对任何x = 0，都有f(x) 0， 则 称f(x) = xTAx为半正定二次型；若对任何x = 0，都有f(x) 0，则对任意随机事件A，称P(A|B) = P(AB) P(B) 为已知事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率。 乘乘乘法法法公公公式式式 P(B) 0 P(AB) = P(A|B)P(B); P(A) 0 P(AB) = P(A)P(B|A). 24 推广： P(A1A2) 0P(A1A2A3) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A2A1); P(A1A2An) 0P(A1A2An) = P(A1)P(A2|A1)P(An|An1A1). 全全全概概概率率率公公公式式式 设事件A1,A2, ,An两两互斥且满足A1+ A+ + An= U, P(Ai) 0 (i = 1,2, ,n)，则 对任一事件B，有 P(B)=P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + + P(An)P(B|An) = n i=1 P(Ai)P(B|Ai). Bayes公公公式式式 设事件A1,A2, ,An两两互斥且满足A1+ A+ + An= U, P(Ai) 0 (i = 1,2, ,n)，则 对任一事件B，有 P(Ai|B) = P(Ai)P(B|Ai) n i=1P(Ai)P(B|Ai) . 注注注：称P(A1),P(A2), ,P(An)为验前概率，P(A1|B),P(A2|B), ,P(An|B)为 验后概率。 Bernoulli概概概型型型与与与二二二项项项概概概率率率公公公式式式 若试验E只有两个可能的结果：A与A，并设P(A) = p, P(A) = q = 1 p。把E独立地重复n次构成的新的试验称为 n重Bernoulli试验。 记Pk n(A)为n重Bernoulli试验中事件A发生k次的概率，则 Pk n(A) = C k np kqnk, 称之为二项概率公式。 要要要点点点： 熟练掌握如何运用上述四个公式计算事件的概率。 定定定义义义 设A, B为任意两个事件。若P(AB) = P(A)P(B)，则称事件A与 事件B相互独立。 25 注注注： 1必然事件U、不可能事件与任一事件均是相互独立的； 2相互独立 ; : 互斥。 26 第第第二二二部部部分分分 随随随机机机变变变量量量 定定定义义义 设是一个随机变量。对于实轴上任意一个集合S， S为一个 随机事件。 称P S为随机变量的分布；特殊地，若取S = (,x)， 则称 F(x) = P x 为随机变量的分布函数。 N 分布函数的性质 （1）0 F(x) 1. （2）若x1 x2，则F(x1) F(x2). （3）limnF(x) = 0, limn+F(x) = 1. （4）limxx00F(x) = F(x0). （一）一维离散型随机变量 定定定义义义 定义在样本空间U上，取值于实数域R，且只取有限个或可数个值 的随机变量称为一维 离散型随机变量。设是一个离散型随机变量，它所有 可能取值为a1,a2, ,，事件P = ai = pi(i = 1,2, ,), 则可用下述表 格表达的取值规律： a1a2ai 概率p1p2pi 称这个表格为离散型随机变量的分布密度。 又若 = g()，则称为的函 数且仍为一个离散型随机变量，其分布密度为 g(a1)g(a2)g(ai) 概率p1p2pi 27 若级数iaipi绝对收