待定系数法分解因式(含答案)-.pdf

待定系数法分解因式 待定系数法作为最常用的解题方法可以运用于因式分解、确定方程系数、解决 应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中认 真学好并掌握待定系数法必将大有裨益。 将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式这样就得到一个恒等式。 然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组其后通过解方程或方程组便 可求出待定的系数或找出某些系数所满足的关系式这种解决问题的方法叫做待定 系数法。 本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。 这一部分中通过一系列题目的因式分解过程同学们要学会用待定系数法进行 因式分解时的方法步骤技巧等。 例 1 分解因式 思路 1 因为 所以设原式的分解式是然后展开利用多项式的恒等 求出 m, n,的值。 解法 1 因为所以可设 比较系数得 由、解得把代入式也成立。 思路 2 前面同思路 1然后给 x,y 取特殊值求出 m,n 的值。 解法 2 因为所以可设 因为该式是恒等式所以它对所有使式子有意义的 x,y 都成立那么无妨令 得 令得 解、得或 把它们分别代入恒等式检验得 说明本题解法中方程的个数多于未知数的个数必须把求得的值代入多余的方 程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立则需将此解舍去若得方程 组无解则说明原式不能分解成所设形成的因式。 例 2 分解因式 思路 本题是关于 x 的四次多项式 可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之 积。 解 设 由恒等式性质有 由、解得代入中式成立。 说明 若设原式 由待定系数法解题知关于 a 与 b 的方程组无解故设原式 例 3 在关于 x 的二次三项式中 当时 其值为 0 当时 其值为 0 当 时其值为 10求这个二次三项式。 思路 1 先设出关于 x 的二次三项式的表达式然后利用已知条件求出各项的系数。可 考虑利用恒待式的性质。 解法 1 设关于 x 的二次三项式为把已知条件分别代入得 解得 故所求的二次三项为 思路 2 根据已知时 其值 0 这一条件可设二次三项式为然 后再求出 a 的值。 解法 2 由已知条件知当时这个二次三项式的值都为 0故可设这个二 次三项式为 把代入上式得 解得 故所求的二次三项式为即 说明要注意利用已知条件巧设二次三项式的表达式。 例 4 已知多项式的系数都是整数。若是奇数证明这个多项 式不能分解为两个整系数多项式的乘积。 思路先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积然后利用已知条件及其 他知识推出这种分解是不可能的。 证明设 m,n,r 都是整数。 比较系数得 因为是奇数则与 d 都为奇数那么 mr 也是奇数由奇 数的性质得出 m,r 也都是奇数。 在式中令得 由是奇数得是奇数。而 m 为奇数故是偶数所以 是偶数。这样的左边是奇数右边是偶数。这是不可能的。 因此题中的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。 说明所要证的命题涉及到“不能”时常常考虑用反证法来证明。 例 5 已知能被整除求证 思路可用待定系数法来求展开前后系数之间的关系。 证明设展开比较系数得 由、得 代入、得 例 6 若 a 是自然数且的值是一个质数求这个质数。 思路因为质数只能分解为 1 和它本身故可用待定系数法将多项式分解因式 且使得因式中值较小的为 1即可求 a 的值。进而解决问题。 解由待定系数法可解得 由于 a 是自然数且 是一个质数 解得 当时不是质数。 当 时是质数。 =11 . 练习 A 级 1、分解因式_. 2、若多项式能被 整除则 n=_. 3、二次三项式当 时其值为-3当 时其值为 2当 时其值为 5 这个二次三项式是_. 4、m, n 是什么数时多项式能被整除 B 级 5、多项式 能分解为两个一次因式的积则 k=_. 6、若多项式 能被整除则_. 7、若多项式当2 时的值均为 0则当 x=_时多项式的值 也是 0。 8、求证不能分解为两个一次因式的积。 参考答案或提示 1. 提示设原式 比较两边系数得 由、解得 将 代入式成立。 原式 2、-4。 提示设原式 = 比较系数得 由、解得 代入得 3、 提示设二次三项式为 把已知条件代入得 解得 所求二次三项式为 4. 设 比较系数得 解得 当 m=-11n=4 已知多项式能被整除。 5.-2 提示设原式 . 比较系数得 解得 6.-7 提示设原式 比较系数得 解得 7.3. 提示设原式 比较系数得 解