微积分答案(上册)(刘迎东版)第七章答案合集.pdf

兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 7.2 平面图形的面积 习题 7.2 1.求由下列各组曲线所围成的图形的面积： （1） 2 1 2 yx与 22 8xy（两部分都要计算） ； 解：根据 2 22 1 , 2 8 yx xy 得交点为 2,2 , 2,2，所以 2 22 121 2 144 82,86. 233 SxxdxSS （2） 1 y x 与直线yx及2.x 解： 2 1 13 ln2. 2 Sxdx x （3）, xx yeye与直线1x 。 解： 1 0 1 2. xx Seedxe e （4）lnyx，y轴与直线ln ,ln0ya yb ba 解： ln ln . b y a Se dyba （5） 2 1yx ， 2 3 yx； 解：根据 2 1, 2 3 yx yx 得交点为 11022 1011022 10 , 3939 ，所以 110 2 3 110 3 240 110. 381 Sxx dx （6） 11 2 ,1 24 yx yx yx； 解：根据 2 , 1 1 4 yx yx 得交点为 4 8 , 7 7 ，根据 1 , 2 1 1 4 yx yx 得交点为4,2，所以 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 4 4 7 4 0 7 11112 21. 2427 Sxx dxxx dx （7） 2 2, 2,0yxyxy； 解：根据 2 2 , 2 yx yx 得交点为1,1，所以 12 2 2 01 2 2. 3 Sx dxxdx （8） 2, ,2yxyx yx； 解：根据 2, yx yx 得交点为 0,0 , 1,1，根据 2, 2 yx yx 得交点为 0,0 , 2,4所以 12 2 01 7 22. 6 Sxx dxxxdx （9） 2 ,sin0yx yxxx； 解： 2 0 sin. 2 Sxxx dx 2.求抛物线 2 43yxx 及其在点0, 3和3,0处的切线所围成的图形的面积。 解： 24yx ，所以0, 3处切线为43yx，3,0处切线为26yx ，联立 43, 26 yx yx 得交点为 3 ,3 2 ，所以 3 3 22 2 3 0 2 9 43432643. 4 Sxxxdxxxxdx 3.求抛物线 2 2ypx及其在点, 2 p p 处的法线所围成的图形的面积。 解： 22yyp，所以点, 2 p p 处切线斜率为1,所以法线斜率为1,法线为 3 2 xyp ， 它与 2 2ypx的另一交点为 9 , 3 2 pp ，所以 2 2 3 316 . 223 p p y Sypdyp p 4.求由下列各曲线所围成的图形的面积： （1）2 cosa 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 解： 2. Sa (2) 33 cos,sinxat yat 解： 0 332422 2 0 2 3 4sincos12sincos. 8 Sat d atattdta (3)22cosa 解： 2 2 0 1 222cos18. 2 Sada 5.求由星形线 3 3 cos, sin xat yat 所围图形的面积。 解： 0 332422 2 0 2 3 4sincos12sincos. 8 Sat d atattdta 6.求由曲线 44 44 1 xy ab 所围图形的面积。 解： 114 5 111 1 4 44 4 4 4 000 2 41411 151 1 5444 ,. 34 4 2 2 a x Sbdxabxdxabttdt a abBabab 7.求由三叶玫瑰线sin3ra一瓣与极轴所围的面积。 解： 2 2 3 0 1 sin3. 212 a Sad 8.求由曲线12yx xx与0y 所围成图形的面积。 解： 212 001 1 121212. 2 Sx xxdxx xxdxx xxdx 9.求对数螺线ae及射线所围成的图形的面积。 解： 2 2222 1 . 24 a Sa e dee 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 10.求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积： （1）3cos及1cos . 解：联立 3cos , 1 cos 得交点 33 , 2 323 ，所以 22 32 0 3 115 21 cos3cos. 224 Sdd (2)2sin及 2 cos2 . 解：联立 2 2sin , cos2 得交点 2 , 26 所以 2 64 0 6 1113 22sincos2. 2262 Sdd 11.求位于曲线 x ye下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积。 解：曲线 x ye上点 0 0, x x e处的切线为 00 0 xx yeexx，若其过原点，则 0 1x ， 切线为 1 xy e ，所以 0 ln. 2 e ye Sy dy e 12.求由抛物线 2 4yax与过焦点的弦所围成的面积的最小值。 解：焦点为,0a，过此点的直线为yk xa，不妨取0,k。由 2 4,yax yk xa 得交点 22 2 211211 , akak a kk ，所以 2 2 3 211 2 22 2 3 211 1 8 . 43 ak k ak k k yy Sadya kak 131 42222 222 22 64 31311 8 8 3 kkkkk Saa kk ， 所以当k ， 即弦为xa时 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 面积最小，为 2 8 . 3 a 13.求由曲线sin ,cossin0aaa 所围图形公共部分的面积。 解：由 sin , cossin a a 得交点, 2 a ，于是 2 322 2 2 4 2 12 cossin. 2244 a aa Sad 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 7.2 体积 习题 7.3 1.把抛物线 2 4yax及直线 00 0 xxx所围成的图形绕x轴旋转， 计算所得旋转体的 体积。 解： 0 2 0 0 42. x Vax dxa x 2.由 3, 2,0yxxy所围成的图形，分别绕x轴及y轴旋转，计算所得两个旋转体的体 积。 解： 2 6 0 128 . 7 x Vx dx 2 8 2 3 0 64 28. 5 y Vy dy 或者 2 4 0 64 2. 5 y Vx dx 3.把星形线 2/32/32/3 xya所围成的图形绕x轴旋转，计算所得旋转体的体积（图 7.18） 。 解： 3 22 2 33 00 32 22. 105 aa Vy dxaxdx 4.用积分方法证明球缺的体积（图 7.19）为 2 . 3 H VHR 证明： 222 . 3 R R H H VRydyHR 5.求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： （1） 22 ,yxxy绕y轴。 解： 11 4 00 3 . 10 Vydyy dy 或 1 2 0 3 2. 10 Vxxxdx （2）arcsin ,1,0,yx xy绕x轴。 解： 3 1 2 0 arcsin2 . 4 Vxdx (3) 2 2 516,xy绕x轴。 解： 22 4 222 4 516516160.Vxxdx 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 6.求圆盘 222 xya绕0 xb ba 旋转所成旋转体的体积。 解： 22 222222 2. a a Vaybaybdya b 7.设有一截锥体，其高为h，上下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2 ,2ab和2 ,2AB，求此 截锥体的体积。 解：根据比例可算出平行于上下底面且距上底面为x的截面为半轴长为 x Aa a h 和 x Bb b h 的 椭 圆 ， 其 面 积 为 x Aax Bb ab hh ， 所 以 0 22 . 6 hx Aax Bb aBbAABab Vabdxh hh 8.计算底面是半径为R的圆， 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立 体体积（图 7.20） 。 解：显然x处等边三角形的边长为 22 2 Rx，此三角形面积为 22 3 Rx，所以 223 4 3 3. 3 R R VRxdxR 9.计算曲线sin0yxx和x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积。 解： 2 0 2sin2.Vxxdx 10.设抛物线 2 yaxbxc通过点0,0，且当0,1x时，0y 。试确定, ,a b c的值， 使得抛物线 2 yaxbxc与直线1,0 xy所围图形的面积为 4 9 ，且使该图形绕x轴旋 转而成的旋转体的体积最小。 解 ： 根 据 抛 物 线 2 yaxbxc通 过 点0,0， 可 知0,c 2 yaxbx。 根 据 1 2 0 4 9 axbx dx 可 得698ab。 该 图 形 绕x轴 旋 转 的 体 积 为 22 12 22 0 2464 52313581243 aabb axbxdxaa ，当 5 3 a 时体积最 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 小，此时2.b 11.求由曲线 3 2 yx，直线4x 及x轴所围图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积。 解： 3 4 2 0 512 2. 7 Vx x dx 12.求圆盘 2 2 21xy绕y轴旋转而成的旋转体的体积。 解： 3 2 2 1 22 124.Vxxdx 13.求由 2 yx与2y 所围图形绕x轴及y轴旋转而成旋转体体积。 解： 2 0 32 2 22. 5 x Vyydy 2 0 2 . y Vydy 14.求由 x yach a 与0,0 xxa y所围图形绕x轴旋转而成旋转体体积。 解： 3 2222 0 4 . 8 a xa Va chdxee a 15.求由sin0yxx与x轴所围图形绕x轴旋转而成旋转体体积。 解： 2 2 0 sin. 2 Vxdx 16.求由摆线 sin, 02 1 cos xa tt t yat 与x轴所围图形绕x轴旋转而成旋转体体积。 解： 22 3 2323 00 1 cos5. a Vy dxatdta 17.求由 2 2ypx与 2 2 40yxpp所围图形绕x轴旋转而成旋转体体积。 解：联立 2 2 2 2, 4 ypx yxp 得交点, 2 p p ，所以 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 2 3 2 0 2 5 24. 12 p p p Vpxdxxpdxp 18.求由 2 22 0 xybaba所围图形绕x轴旋转而成旋转体体积。 解： 22 222222 2. a a Vbaxbaxdxa b 19.求由sin0,0yxxy所围图形绕 2 x 旋转而成旋转体体积。 解： 2 2 0 2sin2 . 2 Vxxdx 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 7.4 平面曲线的弧长和旋转体的侧面积 习题 7.4 1.计算曲线lnyx上相应于38x的一段弧长。 解： 8 2 3 113 11ln. 22 sdx x 2.计算曲线3 3 x yx上相应于13x的一段弧的长度（图 7.26） 。 解： 2 33 11 314 12 3. 3362 xxx sdxdx xx 3.计算半立方抛物线 3 2 2 1 3 yx被抛物线 2 3 x y 截得的一段弧的长度。 解 ： 联 立 3 2 2 2 1 , 3 3 yx x y 得 交 点 2 2, 3 。 对 3 2 2 1 3 yx求 导 得 4 2 2 2 13 221,1 2 x yyxyx y ， 所以 2 1 310 108 211. 299 sxdx 4.计算抛物线 2 2ypx从顶点到这曲线上的一点,M x y的弧长。 解： 2 , 2 ydxy x p dyp ，所以 222 22 2 0 1ln. 22 yypy yyp sdypy ppp 5.将绕在圆（半径为a）上的细线放开拉直，使细线与圆周始终相切，细线端点画出的轨 迹叫做圆的渐伸线，其方程为 cossin,sincos.xatttyattt 算出此曲线上对应于0t 的一段弧的长度（图 7.27） 。 解： 2 22 00 sinsincoscoscossin. 2 a sattttattttdtatdt 6.在摆线sin,1 cosxa ttyat上求分摆线第一拱成1:3的点的坐标。 解：设分点对应 0 t，则 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 0 2 22 22 00 41 cossin1 cossin. t atatdtatatdt 即 0 2 00 4sinsin. 22 t tt dtdt 解得 0 2 . 3 t 对应分点为 233 , 322 aa 。 7.求曲线1相应于 34 43 的一段弧长。 解： 2 4 3 3 22 4 1135 ln. 212 sd 8.求心形线1 cosa的全长。 解： 2 222 0 21cossin8 .saada 9.求抛物线 2 1 2 yx被圆 22 3xy所截下的有限部分的弧长。 解：联立 2 22 1 , 2 3 yx xy 得交点 2,1，所以 2 2 0 216ln23 .sx dx 10. 求抛物线 2 yax在xb 到xb之间的弧长。 解： 222222 0 1 21414ln 214. 2 b sa x dxba baba b a 11. 求阿基米德螺线ra从0到 0 之间的弧长。 解： 0 22222 0 000 0 1ln1. 22 aa saa d 12. 求曲线sin ,cos tt xet yet从0t 到1t 一段弧长。 解： 1122 00 sincoscossin221 . ttttt setetetetdte dte 13. 求 2 ln 1yx上相应于 1 0 2 x的一段弧长。 解： 2 112 22 22 00 211 1ln3. 112 xx sdxdx xx 14. 求曲线 44 cos,sinxat yat的弧长。 解： 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 22 33242 22 00 1 2 0 4 cossin4 sincos21 2sin2sinsin 21 22ln21 . 2 sattattdtattdt a att dta 15. 求曲线0 mt raem当0ra时的弧长。 解： 2 0 22222 1 . mtmt m sa em a edta m 16. 求曲线lncosyx由0 x 到0 2 xaa 一段弧的弧长。 解： 2 0 1tanln sectan. a sxdxaa 17. 证明：悬链线0 x yacha a 自点0,Aa到,P x y的弧长 22. sya 证明： 2222 0 11. x xxx sshdxasha chya aaa 18. 设一半径为R的球，被相距02HHR的两平面所截，求所得圆台的侧面积。 解：设此球为 222 xyR绕x轴旋转而成，则 0 0 2 22 22 212. xH x x PRxdxRH Rx 19. 求半径为R的球的表面积。 解：设此球为 222 xyR绕x轴旋转而成，则 2 222 22 214. R R x PRxdxR Rx 20. 求抛物线 2 4yax由顶点到3xa的一段弧绕x轴旋转所得的旋转体的侧面积。 解： 2 2 2 4 24 ,. aa yyay yx 所以 2 3 0 56 241. 3 a aa Paxdx x 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 21. 求双纽线 22 cos2ra绕极轴旋转所得的旋转体的侧面积。 解： 2 222 4 0 sin 22 2 2cos2 sincos241. cos22 Paaada 22. 求悬链线 x yach a 相应于xb的一段弧绕x轴及y轴旋转所得的旋转体的侧面积。 解： 22 2 212. b x b xxb Pachshdxaba sh aaa 2 22 22 21222. b acha y a yabb Paarchdyabsha cha ayaaa 23. 求曲线tan0 4 yxx 绕x轴旋转所得的旋转体的侧面积。 解： 4 4 0 2151 2tan1 sec52ln. 2 Pxxdx 24. 求 2/32/32/3 xya绕x轴旋转所得的旋转体的侧面积。 解：参数方程为 3 3 cos, sin xa ya ，所以 22 3222 2 0 12 2 2sin3 cossin3 sincos. 5 Paaada 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 7.4 功 水压力和引力 习题 7.5 1.由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力F N与伸长量s cm成正比，即 Fks k是比例常数。 如果把弹簧由原长拉伸6cm，计算所做的功。 解： 6 0 0.010.18 .Wksdsk 。 2.直径为20cm、高为80cm的圆筒内充满压强为 2 10/N cm的蒸汽。设温度保持不变， 要使蒸汽体积缩小一半，问需要做多少功？ 解： 80 2 40 80 10 0.0110800 ln2.Wdx x 3.一颗人造地球卫星的质量为173kg，在高于地面630km处进入轨道。问把这颗卫星从 地面送到630km的高空处，克服地球引力要做多少功？已知 2 9.8/,gm s地球半径 6370.Rkm 解： 2 , 6370000 Mm mgG所以 2 6370000GMg。 2 630000630000 22 008 173 971972820. 63700006370000 M WGdxdx xx 4.一物体按规律 3 xct作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比。计算物体由0 x 移到xa时，克服介质阻力所做的功。 解： 12 2 33 33 dx vctc x dt ，阻力为 24 2 33 9fvc x，所以 2427 3333 0 27 9. 7 a Wc x dxc a 5.用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在击第 一次时，将铁钉击入木板1.cm如果铁锤每次锤击铁钉所做的功相等，问锤击第二次时， 铁钉又击入多少？ 解： 11 01 , h Wkxdxkxdx ，所以 2111 1. 222 h21.h 6.设一圆锥形储水池，深15m，口径20m，盛满水，今以泵将水吸尽，问要做多少功？ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 解： 2 15 0 15 1000 9.8 3.141057697500. 15 x Wxdx 7.半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出， 需做多少功？ 解： 2 24 0 4 . 33 r x Wg xrdxrg 8.如果10N的力能使弹簧伸长1cm，现在要使这弹簧伸长10cm，问需做多少功？ 解： 10 0 0.01 105.Wxdx 9.有一弹簧，原长1m，每压缩1cm需力0.05N。若从80cm长压缩到60cm长，问外力 做功多少？ 解： 80 60 0.01 0.05 1000.3.Wx dx 10. 有一横截面面积为 2 20Sm，深为5m的水池，装满了水，要把池中的水全部抽到高为 10m的水塔顶上去，要做多少功？ 解： 5 0 20 101250 1000 9.812250000.Wgx dx 11. 有一长l的细杆，均匀带电，总电量为Q。在杆的延长线上，距A端为 0 r处，有一单位 正电荷。求这单位正电荷所受的电场力。如果此单位正电荷由距杆端A为a处移到距杆 端b处，电场做的功是多少？ 解： 0 0 2 00 1111 .ln. rlb ra Q k b alQQQ l FdxkWkdxk xlrrllxxlla bl 12. 有一矩形闸门，宽2m，高3m，水面超过门顶2m。求闸门上所受的水压力。 解： 3 0 2210.5 2205800.Fgx dxg 13. 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体，椭圆水平轴长2m，竖直轴长1.5m。当水箱装 满水时，计算水箱的一个端面所受的压力。 解： 2 0.75 2 0.75 0.752 117309.25. 0.75 x Fg xdx 14. 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和6m，高为20m。较长的底边与水面相 齐。计算闸门的一侧所受的水压力。 解： 20 0 20 614373366. 5 x Fgxdx 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 15. 一底为8cm、高为6cm的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水 面平行，而顶离水面3cm，试求它每面所受的压力。 解： 6 3 0 4 0.01 31.67. 3 x Fgxdx 16. 边长为a和b的矩形薄板， 与液面成角斜沉于液体内， 长边平行于液面而位于深h处， 设ab，液体的密度为，试求薄板每面所受的压力。 解： 2 0 sin sin. 2 b gab Fg hxadxgabh 17. 设有一长度为l、线密度为的均匀细直棒，在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质 量为m的质点M，试求这细棒对质点M的引力。 解：取y轴通过细直棒，质点在x轴上，则 33 222200 2222 22 11 . ll xy m aGm lm y FGdyFGdyGm a a alal ayay 18. 设有一半径为R、中心角为的圆弧形细棒，其线密度为常数。在圆心处有一质量为 m的质点M。试求这细棒对质点M的引力。 解：取坐标系使得质点在原点，细棒占据半径为R的上半圆，则由对称性显然0, x F 而 2 22 22 sin 2 3 sin 2 1 2sin 2 . R y R x mRx Gm Rx FGdx RR 或另一解法