微积分与数学建模知识总结.doc

微积分与数学模型（上册）任课教师：陈骑兵小组成员 张程 1440610405 王子尧 1440610402 李昊奇 1440610403 梅良玉 1440610426 方旭建 1440610406 李柏睿 1440610428 第1章 函数，极限与连续 1.1 函数的基本概念 准备知识（掌握集合与区间的相关知识） 函数定义：设x和y是两个变量，D是一个给定的数集。如果对于任意xD， 按照某一法则f，变量y都有确定的值和它对应，则称f为定义在D上的函数，数集D称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量。与x对应的y的值记做f(x)，称为函数f 在x处的函数值。D上所有的数值对应的全体函数值的集合称为值域 函数特性： 1：函数的有界性设f(x)在集合X上有定义，若存在M=0,使得对任意x属于X都有f(x的绝 对值0且a1；对数函数 如：y=,a0且a1；三角函数 如：y=sinx,y=cosx,y=tanx；反三角函数 如：y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx；以及双曲函数1.3 极限的概念 （1) .极限的直观定义：当x接近于某个常数x0但不等于x0时，若f(x)趋向于常数A，则 称A为f(x)当x趋向于x0时的极限。(2) .极限的精确定义：给定函数f(x)和常数A，若对于0（无论多么小），总彐0,使得当0|x-x0|0以及0，使得当0|x-x0|0(或A0，使得当0|x-x0|0(或f(x)0，彐0，使得当0|x-x0|时，有|f(x)|0，彐0，使得当0|x-x0|M,则称f(x)为xx0时的无穷大量定理： (1)若f(x)为无穷大量，则1/f(x)为无穷小量； (2)若f(x)为无穷小量，且f(x)0，则1/f(x)为无穷大量。无穷小量的运算性质： a 两个无穷小量的和或差仍为无穷小量； b 有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量； C 常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量； d 有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。无穷小量的比较： a若lim(/)=0,则称是的高阶无穷小，F b若lim(/)=,则称是的低阶无穷小， c若lim(/)=C0,则称是的同阶无穷小， d若lim(/)=1,则称与是等阶无穷小，记做。1.6函数的连续性连续函数的定义： i 若函数f(x)在包含x0的某个领域U(x0,)内有定义，且limxx0 f(x)=f(x0)，则称f(x)在点x连续 ii 若函数f(x)在包含x0的某个领域U(x0,)内有定义，且limx0 y=0,其中y表示对应于自)在包含x0的某个右(左)领域内有定义，且左右极限相等，则称f(x)在点x右（左）连续。间断点及其分类满足条件：f(x)x=x limf(x)存在 limf(x)=f(x)三者有一个不成立，则称f(x)在点x间断,称x为间断点第一类间断点：可去间断点 跳跃间断点第二类间断点：跳跃间断点 振荡型间断点连续函数的运算性质与初等函数的连续性 连续函数的四则运算法则：若f(x),g(x)均在x0连续，则f(x)g(x),f(x)g(x)及f(x)/g(x) (g(x0)0)都在x0连续； 反函数的连续性 若y=f(x)在区间Ix上单值，单增(减)，且连续，则其反函数x=(y)也在对应的区间Ix=y|y=f(x),xIx上单值，单增(减),且连续； 复合函数的连续性 函数u=(x)在点x=x0连续，且(x0)=u0，函数y=f(u)在点u0连续，则复合函数y=f(x)在点x0处连续。 结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。1.7闭区间上连续函数的性质 最值定理： i 闭区间上的连续函数在该区间一定有界 ii 闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值 介值定理： 设f(x)在a,b上连续，且f(a)f(b)，则对于f(a)f与f(b)之间的任意常数C， 在(a,b)内至少存在一点x,使得f(x)=C(axb) 推论： 设f(x)在a,b上连续，则对于C（m,M)，必存在x(a,b)，使得f(x)=C 零点存在定理：设f(x)在a,b上连续，且f(a)f(b)a)上可积，我们称积分形式(A +) f(x)dx为f(x)在a,+)上的无穷积分。类似可定义-时的无穷积分。瑕积分：设函数f(x)定义在a,b)上，而f(x)在x=b的任一左邻域内f(x)无界（此时称x=b为f(x)的瑕点）。若f(x)在任意a,b-(0a)上可积，我们称积分形式(A +) f(x)dx为f(x)在a,+)上的无穷积分。类似可定义-时的无穷积分。瑕积分：设函数f(x)定义在a,b)上，而f(x)在x=b的任一左邻域内f(x)无界（此时称x=b为f(x)的瑕点）。若f(x)在任意a,b-(0b-a)上可积，我们称积分形式(a b) f(x)dx为f(x)在a,b)上的瑕积分。类似可定义a为瑕点时的瑕积分。又设c(a,b),函数f(x)以点c为暇点，那么当两个反常积分(a c) f(x)dx和(c b) f(x)dx均收敛时，反常积分(a b) f(x)dx收敛。其值定义为：(a b) f(x)dx=(a c) f(x)dx+(c b) f(x)dx=lim( 0+)ac- f(x)dx+lim( 0+)c+ b f(x)dx,否则该反常积分发散5.5定积分的几何应用（4） 计算平面图形的面积时，一般先画出大体图形，然后根据图形的特点选择是用直角坐标系还是极坐标系，通常图形与圆有关时选择极坐标系，这样运算起来更简单一些。在直角坐标系下还要根据图形的形状选择恰当地积分变量，如果不是公式所给的类型，还需要对图形进行分割，分割后的每一块都是四种标准中的一种，然后再积分；极坐标系类似，恰当地选择积分变量和积分区域可给计算带来方便，另外，可利用图形的对称性简化计算。（5） 计算曲边梯形绕坐标轴旋转成旋转体体积时，利用切片发，即把旋转体看成由一系列垂直于旋转轴的圆形薄片组成，而此薄片体积就是体积元。（6） 计算曲线弧长时，主要根据曲线的方程，选择相应的公式写出弧微分ds，继而求出弧长。（4）计算旋转体的侧