微积分答案(上册)(刘迎东版)第四章答案合集.pdf

兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 2 xx f x xx 解： 12 23 212 2 001 01 18 1. 2263 xx f x dxxdxx dxx （13） 2 0 2 a dx xaxa 解： 2 22 00 0 1111213 lnln. 222 a aa dxxa dx xaxaaxaxaaxaa （14） 2 21 1 sh sh dx x 解： 2 2 1 21 1. 1 sh sh sh sh dx arshx x 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 2 1 ,01; 2 1 ,1. 2 x x f xxxx xx 。 (4) 1 0 f xt xt dt 解：0 x 时， 1 32 11 2 00 0 1 . 3232 txtx f xt xt dttxt dt 10 x时， 11 22 00 1 23323 0 1 . 2332323 x x x x fxt xt dtxttdttxt dt xtttxtxx 1x 时， 1 23 11 2 00 0 1 . 2323 xttx f xt xt dtxttdt 所以 3 1 ,0; 32 1 ,01; 323 1 ,1. 23 x x xx f xx x x 。 7.设k为正整数，试证下列各题： （1）cos0.kxdx 证明： 1 cossin0.kxdxkx k （2）sin0.kxdx 证明： 1 sincos0.kxdxkx k 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 证明： 1 cossinsinsin 2 coscos 0. 22 kxlxdxlk xlk x dx lk xlk x lklk （2）coscos0;kxlxdx 证明： 1 coscoscoscos 2 sinsin 0. 22 kxlxdxlk xlk x dx lk xlk x lklk （3）sinsin0;kxlxdx 证明： 1 sinsincoscos 2 sinsin 0. 22 kxlxdxlk xlk x dx lk xlk x lklk 9.设 2, 0,1 , ,1,2 . xx fx x x 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 3 1 ,1,2 . 26 x x x x x 因为 23 1111 11 limlim1limlim 2633 xxxx xx xx ， 所以 x在1x 处连 续，在其它点显然连续，所以 x在0,2内连续。 10. 设 1 sin ,0, 2 0,0. xx fx xx 或 求 0 x xf t dt在, 内的表达式。 解：0 x 时， 00 00 xx xf t dtdt ； 0 x时， 00 0 111cos sincos. 2222 x xx x xf t dttdtt ； x时， 00 0 0 11 sin0cos1. 22 xx x xf t dtf t dtf t dt tdtdtt ； 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 1cos ,0; 22 1,. x x xx x 11.用定积分求下列各和数的极限： （1） 222222 lim 12 n nnn nnnn 解： 222222 222 1 1 2 0 0 lim 12 111111 lim 12 111 1 arctan. 14 n n nnn nnnn nnn n nnn dxx x （2） 121 limsinsinsin n n nnnn 解： 1 1 0 0 121cos2 limsinsinsinsin. n nx xdx nnnn （3） 333 1n+2 lim n n nnn nn 解： 333 1 3 1 2 0 0 1n+21 12 11 limlim111 n 24 22 11. 333 nn nnnn nnn nn nn n xdxx (4) 1 12 lim0 ppp p n n p n 解： 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 2 ,0. 2 x x F x x x 作为一个原函数，而 .x dxF xC 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ tancos2cos23 ! ,1. 1 22 ! nn n n dx xttdttdtn n x n （17） 1 0 lnnxxdx 解： 1 2 111 21 000 0 111 11 12 1 000 11 11 2 1 00 1ln lnlnln 222 ! ln1ln1ln 222 ! 1ln11. 222 n nnn nn n nn nnn nnn xxn xxdxxd xxxdx nnn xxdxxxdxxd x nnn xxxdx （18） b a xdx ab xabx 解： 22 22 22 2 arcsin. 22 bb aa b a abab x xdx dx xabx baab x xababab xabx ba （19） 2 1 arctan x dx x 解： 2 2 111 1 2 2 1 arctan1arctan1 arctan 1 1ln2 ln. 42142 xx dxxddx xxxxx x x （20） 2 21 1 dx x x 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ ln ,1; 1 ln lnln2 ,1; 11 k k kk xk x dx k k xx x k kk 所以，当1k 时，反常积分收敛； 当 1k 时，反常积分发散。 3.利用递推公式计算反常积分 0 nx n Ix e dx nN 。 解：当1n 时， 1 0000 1 nxnxnxnx n n Ix e dxx dex enxe dx nI 而 0 0 1, x Ie dx 所以!. n In 4.计算下列反常积分： (1) 2 0 lnsin xdx 解： 24244 0000 4 42 00 lnsinlnsinlnsinlnsinlncos 2 1ln2 lnsin2ln22lnsin 24 xdxxdxxdxxtxdxtdt xdx xttdt 所以 2 0 ln2 lnsin. 2 xdx （2） 2 0 0 11 dx xx 解： 0 22 00 2 1 1 11 1111 11 d dxx dxt x txxxx tt 所以， 2 2 00 11 . 21411 dx dx xxx 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ （3） 2 22 ln 1 xx dx x 解： 22 22 222 2 2 2 2 2 ln11ln11 ln 212211 1 ln2112ln2ln3 ln. 6434 xxx dxxddx xxx x x x x （4） 2 0 lncosxdx 解： 22 00 ln2 lncoslnsin. 22 xdxxttdt （5） 5101 1 dx xxx 解： 0 5 5102111 2 1 1 2 20 0 1 11 1 55111 11 1 11112 ln1ln 1. 55253 1 d dxdtu xtt u xxxttt uuu du uuu uu 5.求由曲线 2 2x yxe和x轴的正方向所围成的面积。 解： 2 2 2 2 0