惠州市2020届高三第一次调研考试理科数学试题及标准答案与评分细则.doc

惠州市2020届高三第一次调研考试理科数学及标准答案与评分细则全卷满分150分，时间120分钟注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1已知集合，则（ ）ABCD2设（为虚数单位），其中，是实数，则等于（ ）A5B CD23某高校调查了320名学生每周的自习时间(单位：小时），制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，根据频率分布直方图，这320名学生中每周的自习时间不足小时的人数是（ ）A68 B72 C76 D804七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A3600种 B1440种 C4820种 D4800种5正方形中，点，分别是，的中点，那么（ ）A B CD6等比数列的前项和为，公比为，若，则（ ）A B C D7设双曲线的一条渐近线为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ）ABCD8将函数ysin x的图象向左平移个单位，得到函数yf(x)的图象，则下列说法正确的是（ ）Ayf(x)是奇函数；Byf(x)的周期为；Cyf(x)的图象关于直线x对称；Dyf(x)的图象关于点(，0)对称9设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ）A存在一条直线，. B存在一条直线，.C存在两条平行直线，.D存在两条异面直线，.10已知是抛物线的焦点，是轴上一点，线段与抛物线相交于点，若，则（ ）A BCD111关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对，再统计其中能与1构成钝角三角形三边的数对的个数，最后根据统计个数估计的值如果统计结果是，那么可以估计的值为（ ）A BCD12已知函数，设，则（ ）ABCD二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知，则函数的最小值为_14在中，则_.15设是公差不为零的等差数列，为其前项和已知成等比数列，且，则数列的通项公式为_.16在三棱锥中，底面是直角三角形且，斜边上的高为，三棱锥的外接球的直径是，若该外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为_三解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（本小题满分12分）已知的内角、满足（1）求角；（2）若的外接圆半径为1，求的面积的最大值18（本小题满分12分）如图所示，在三棱锥中，平面,，分别为线段上的点，且，（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值19（本小题满分12分）已知定点、，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由20（本小题满分12分）已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）若关于的方程在区间2，4内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围21（本小题满分12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器。现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.（1）求的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请在答题卷中写清题号并将相应信息点涂黑。22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）若与相交于两点，求的面积23（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知（1）当时，求不等式的解集；（2）若时，不等式恒成立，求的取值范围惠州市2020届高三第一次调研考试理科数学参考答案及评分细则一、选择题：题号123456789101112答案BABACBCDDABC1【解析】由中不等式得，解得，即，故选B2【解析】由，得，解得，故选A3【解析】由频率分布直方图可得，320名学生中每周的自习时间不足小时的人数 是人故选B4【解析】除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种 数是种，故选A.5【解析】因为点是的中点，所以，点是的中点，所以，所以，故选C6【解析】由题意得由得，又，故选B7.【解析】因为抛物线的焦点为(1,0),所以解得 ，双曲线方程为.故选C.8【解析】函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，为偶函数，排除A；的周期为，排除B；因为，所以的图象不关于直线对称，排除C. 故选D9【解析】对于A，若存在一条直线，则或与相交，若，则存在一条直线，使得，所以选项A的内容是的一个必要条件；同理，选项B，C的内容也是的一个必要条件而不是充分条件；对于D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有，所以选项D的内容是的一个充分条件。故选D。10【解析】由题意得点的坐标为，设点的坐标，点的坐标，所以向量：，由向量线性关系可得：，解得：，代入抛物线方程可得：，则，由两点之间的距离公式可得：故选A11【解析】 由题意，120对都小于1的正实数，满足，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形的三边的数对，满足且，面积为，统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数为，则，故选B12【解析】，函数是偶函数，当时，易得为增函数，故选C二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.137 14 15 16 13【解析】y4x(4x5)5257.当且仅当4x5，即x时取等号14【解析】由题意得AC2AB2BC22ABBCcos B2965，即AC，则，得sin A.15【解析】设等差数列的公差为，则，因为，所以，整理得，16【解析】如图所示，由外接球的表面积为，可得外接球的半径为，则设，则，又变式上的高，当平面时，棱锥的体积最大，此时，当时，体积最大，此时最大值为.三解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（本小题满分12分）解：（1）由正弦定理可得 1分化简得， 2分由余弦定理得， 4分又因为，5分（注1：无此步骤，本得分点不能给分）所以 6分（2）解法一：由正弦定理得， 8分由余弦定理得， 9分即，（当且仅当时取等号） 10分故（当且仅当时取等号）11分即面积的最大值为 12分（注2：无此步骤，本得分点不能给分）（注3：最大值正确但无取等号的说明，扣1分）解法二：由正弦定理：， 7分, 8分 9分10分，当，即时，11分即面积的最大值为 12分（注：本题解题过程的缺少“”（4分点）和“”（11分点）不重复扣分）18.（本小题满分12分）（1）证明：因为平面，平面，所以.1分由得为等腰直角三角形，故2分又，且面，面，3分（注：此步骤中写出任意一个可得1分；全部不写，本得分点不给分）故平面4分（2）解：如图所示，过点作垂直于，易知，又，故由，得，故5分以点为坐标原点，分别以，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图空间直角坐标系， 6分， 7分设平面的法向量为，则，即，8分令，则，故可取9分（注：与共线的非零向量都可给分）由（1）可知平面，故平面的法向量可取为，即.10分则，11分（注：根据法向量方向不同结果可正可负，都可给分）又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为12分（注：无此步骤，本得分点不能给分）19（本小题满分12分）解：（1）设动点，则，1分，2分，即化简得：，3分由已知，故曲线的方程为4分（注：方程正确，只要在解答过程出现过，就不扣分；否则扣1分）（2）由已知直线过点，设的方程为，5分则联立方程组，消去得，6分设，则，7分直线与斜率分别为 ， ，8分9分当时，； 10分当时，11分所以存在定点，使得直线与斜率之积为定值12分20（本小题满分12分）解：（1）函数的定义域是(1,)1分因为，2分又，令，解得，3分所以函数的单调递增区间是(1,2) 4分（注：单调区间也可以是(1,2，写成其它形式，本得分点不能给分）（2）由，得令，5分则（）. 6分由，得，由，得7分所以函数在2，3内单调递减，在3，4内单调递增，8分画出草图，可知方程在区间2，4内恰有两个相异的实根，则，9分（注：此步骤中，写对任意一个可得1分）即，10分解得，11分综上所述，实数取值范围是12分（注：此步骤中，最终结果可以是集合、区间或不等式。若区间端点开闭错误，本得分点不给分。）21（本小题满分12分）解：（1）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6. 1分（注：此步骤中，全部写对可得1分） ， ， ， ， ， ， ，3分（注：此步骤中，写对任意一个可得1分，全对得2分）的分布列为01234565分（2）选择延保方案一，所需费用元的分布列为：70009000110001300015000P7分（注：此步骤中，取值全对可得1分）(元). 8分选择延保方案二，所需费用元的分布列为：100001100012000P10分（注：此步骤中，取值全对可得1分） (元). 11分，该医院选择延保方案二较合算. 12分（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。22（本小题满分10分）解：（1）消去参数可得的普通方程为，1分由，得，2分又因为，3分（注：此步骤中写出任意一个可得1分）所以的直角坐标方程为4分（2）解法1：标准方程为，表示圆心为，半径的圆5分到直线的距离，6分故7分原点到直线的距离，8分所以 9分综上，的面积为 10分解法2：联立方程组得，5分，6分 7分原点到直线的距离，8分所以9分综上，的面积为 10分23（本小题满分10分）解：（1）解法1：当时，不等式可化简为1分当时，解得，所以；2分当时，无解；3分当时，解得，所以4分综上，不等式的解集为5分（注：解集