1991年考研数学(一)试题.pdf

19911991年数学一试题年数学一试题 一、填空题一、填空题 (1)(1) 设设 2 1, cos , xt yt = + = 则则 2 2 d y dx =_.=_. (2)(2) 由方程由方程 222 2xyzxyz+=所确定的函数所确定的函数( , )zz x y=在点在点(1,0, 1)处的全处的全 微分微分dz=_.=_. (3)(3) 已知两条直线的方程是已知两条直线的方程是 1 123 : 101 xyz L = ； 2 21 : 211 xyz L + =, ,则过则过 1 L 且平行于且平行于 2 L的平面方程是的平面方程是_._. (4)(4) 已知当已知当0 x时时, , 1 2 3 (1)1ax+ 与与cos1x 是等价无穷小是等价无穷小, ,则常数则常数a=_.=_. (5)(5) 设设 4 4 阶方阵阶方阵 5 2 0 0 2 1 0 0 0 0 1 2 0 0 1 1 A = , ,则则A的逆阵的逆阵 1 A=_.=_. 二、选择题二、选择题 (1)(1) 曲线曲线 2 2 1 1 x x e y e + = ( () ) (A)(A) 没有渐近线没有渐近线(B)(B) 仅有水平渐近线仅有水平渐近线 (C)(C) 仅有铅直渐近线仅有铅直渐近线(D)(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2)(2) 若连续函数若连续函数( )f x满足关系式满足关系式 2 0 ( )ln2 2 x t f xfdt =+ , ,则则( )f x等于等于 ( () ) (A)(A)ln2 x e(B)(B) 2 ln2 x e (C)(C)ln2 x e+(D)(D) 2 ln2 x e+ (3)(3) 已知级数已知级数 1 1 ( 1)2 n n n a = = , , 21 1 5 n n a = = , ,则级数则级数 1 n n a = 等于等于( () ) (A)(A) 3 3(B)(B) 7 7(C)(C) 8 8(D)(D) 9 9 (4)(4) 设设D是是xOy平面上以平面上以(1,1)(1,1)、 (-1,1)(-1,1)和和(-1,-1)(-1,-1)为顶点的三角形区域为顶点的三角形区域, , 1 D是是D 在第一象限的部分在第一象限的部分, ,则则(cos sin ) D xyxy dxdy+ 等于等于( () ) (A)(A) 1 2cos sin D xydxdy (B)(B) 1 2 D xydxdy (C)(C) 1 4(cos sin ) D xyxy dxdy+ (D)(D) 0 0 (5)(5) 设设n阶方阵阶方阵A、B、C满足关系式满足关系式ABCE=, ,其中其中E是是n阶单位阵阶单位阵, ,则必有则必有 ( () ) (A)(A)ACBE=(B)(B)CBAE= (C)(C)BACE=(D)(D)BCAE= 三、三、(1)(1) 求求 0 lim(cos)x x x + . . (2)(2) 设设n是曲面是曲面 222 236xyz+=在点在点(1,1,1)P处的指向外侧的法向量处的指向外侧的法向量, ,求函数求函数 22 68xy u z + =在点在点P处沿方向处沿方向n的方向导数的方向导数. . (3)(3) 22 ()xyz dV + , ,其中其中是由曲线是由曲线 2 2 , 0 yz x = = 绕绕z轴旋转一周而成的曲面与轴旋转一周而成的曲面与 平面平面4z=所围成的立体所围成的立体. . 四、在过点四、在过点(0,0)O和和( ,0)A 的曲线族的曲线族sin (0)yax a=中中, ,求一条曲线求一条曲线L, ,使沿该使沿该 曲线从曲线从O到到A的积分的积分 3 (1)(2) L ydxxy dy+ 的值最小的值最小. . 五五、 将函数将函数( )2 |( 11)f xxx= + 展开成以展开成以 2 2 为周期的傅立叶级数为周期的傅立叶级数, ,并由此求级并由此求级 数数 2 1 1 n n = 的和的和. . 六六、 设函数设函数( )f x在在0,10,1上连续上连续,(0,1),(0,1)内可导内可导, ,且且 1 2 3 3( )(0)f x dxf= , ,证明在证明在(0,1)(0,1) 内存在一点内存在一点c, ,使使( )0f c=. . 七、已知七、已知 1 (1,0,2,3)=, , 2 (1,1,3,5)=, , 3 (1, 1,2,1)a=+, , 4 (1,2,4,8)a=+, ,及及 (1,1,3,5)b=+. . (1)(1)a、b为何值时为何值时, ,不能表示成不能表示成 1234 、的线性组合？的线性组合？ (2)(2)a、b为何值时为何值时, ,有有 1234 、的唯一的线性表示式？并写出该表示的唯一的线性表示式？并写出该表示 式式. . 八、设八、设A为为n阶正定阵阶正定阵, ,E是是n阶单位阵阶单位阵, ,证明证明AE+的行列式大于的行列式大于 1.1. 九九、在上半平面求一条向上凹的曲线在上半平面求一条向上凹的曲线, ,其上任一点其上任一点( , )P x y处的曲率等于此曲线在处的曲率等于此曲线在 该点的法线段该点的法线段PQ长度的倒数长度的倒数( (Q是法线与是法线与x轴的交点轴的交点),),且曲线在点且曲线在点(1,1)(1,1)处的处的 切线与切线与x轴平行轴平行. . 十、十、(1)(1) 若随机变量若随机变量X服从均值为服从均值为 2,2