Stolz(施笃兹)定理 及其推论.pdf

Stolz 定理定理 设 n y是严格单调增加的正无穷大量,且 1 1 lim nn n nn xx a yy (a可以为有限量,与) 则lim n n n x a y 重要结论重要结论:如lim n n aa ,则 1 lim n n aa a n 例 1:设lim n n aa ,求 12 2 lim( ) 2 n n aaana n 例 2:设k为正整数, 求极限 1 1 1 12 lim() kkk k n n nk 例 3:证明： 2222 3 135(21)4 lim 3 n n n 求极限 2222 3 135(21)4 lim 3 n n n n 性质性质设( )f x在 , a b内具有一阶连续导数,则 1 () lim( )() ( )( ) 2 n b an k bak baba nf x dxf af af b nn Stolz 定理应用: 设 11 (0,1),(1),(1,2,), nnn xxxxn + =-=证明：lim1 n n nx = 证明：易知 n x单调降且趋于零，下用 Stolz 定理证lim1 n n nx =. 1 1 111 111 limlimlimlim (1) nnn nnnn nnn xxx nxnnnxx - - - =- - 因 1 11 11 11111 (1) (1)(1) 111 (1) nnn nnnnnn nnn xxx xxxxxx xxx + + - =-=+ - -+ - 因此 11 111 limlim1lim1 1 n nnn nnn nx xxx - -= = - 证明如下结论证明如下结论: (i) 结定数列 n a, 证明lim n n a存在的充要条件是() 1 1 nn n aa - = - 收敛 (ii) 设 11 1ln 2 n an n = +-,证明lim n n a存在 证明 : (i) 级数收敛充要条件是该级数的部分和序列 n S收敛 () 10 1 n nkkn k Saaaa - = =-=- n S收敛, 即 0n aa-收敛的充要条件是lim n n a存在. (ii)() 1 111 111 lnln(1)ln(1) nn nnn aann nnn - = -=-+-=+- (但此级数不是正项级数, 除有限项外都是负的),而 2 11 ln(1) 1 lim 1 2 n nn n - =与 1 11 ln(1) n nn = -+- 与 2 1 1 n n = 有相同敛散性, 故 1 11 ln(1) n nn = -+- 收敛. 故 1 11 ln(1) n nn = +- 收敛, 因此由(i) 知:lim n n a存在 设 01 2(1) 0, 2 n n n x xx x ，求lim n n x 解：易知02 n x，如 n x有极限a，则lim2 n n x （可从 0 2(1) 0, 2 a xa a 得） 关键在：证 n x有极限。 11 22 (2) 2(1) 222 22 n n nn nn x x xx xx 1 0 222 ,(2) 22 n n n x x xx 1 22222 1 222 n n n x xx 12 011 22222 .