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58 运用数学开放题培养学生的创新思维 运用数学开放题培养学生的创新思维 新课程改革纲要提出，要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、 机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处 理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力” 。 创新思维是整个创新活动的关键，是创新能力的核心。创新教育与学习必须 着力培养这种可贵的思维品质。有了创新思维的人才能较顺利地解决新的问题， 才能深刻地、高水平地掌握知识，并把这些知识广泛地迁移到学习新知识的过程 中，使学习活动顺利完成。 心理学家研究发现，922 岁的学生正处于创新思维的培养期，初中生正好 处于这一关键年龄段。数学教师应因势力导，培养学生的创新思维能力。创新思 维指的是有创见的思维，即通过思维不仅能够揭示事物的本质及其内在联系，而 且要在此基础上产生新颖的、前所未有的思维成果。 培养学生创新思维能力，就是要培养学生思维的独创性品质。教学中，要 引导学生独立、主动地掌握数学概念，独立完成定理的证明，积极鼓励学生思维 的标新立异性和运用数学知识解决数学问题与实际问题。 本文仅就如何运用数学 开放题培养学生的创新思维能力谈些肤浅的看法。 由于开放型问题的解决，一般要通过学生去观察、尝试、类比与归纳，加上 严格的推理论证，与有明确条件和结论的封闭性问题相比，更有利于培养学生的 创造性思维。因此教学中适当设制一些开放型问题，可以培养学生的思维的灵活 性、广阔性和深刻性，克服学生思维的呆板性，从而培养学生的发散思维和创新 能力。 一 运用不定型开放题，培养学生思维的深刻性 一 运用不定型开放题，培养学生思维的深刻性 不定型开放题，所给条件包含答案不唯一的因素，包括条件开放和结论开放 两个方面。在解题过程中必须利用已有的知识结合有关条件，从不同角度对问题 作全面分析，正确判断，得出结论，培养学生思维的深刻性。 1 59 两盏电灯 等式 1 运用条件型开放题，培养学生思维的选择性 1 运用条件型开放题，培养学生思维的选择性 条件开放题是根据题中所给的结论要求，从同一的角度去寻找获得解决这 个结论的条件。如：在学习北师大版八年级数学下册探索三角形相似的条件 这一节时，我们可以设计这样的开放题：如图 1，点 D、E 分别在ABC 的 AB、 AC 边上，在什么条件下，ADE 与ABC 相似。由于条件开放，因此所添条件不 唯一，只要能使ADE 与ABC 相似的条件都可以，于是学生就根据学过的知识 寻找多种答案： 从角的方面考虑应有：ADE=B 或AED=C 或ADE=C 或AED=B。 从边的方面考虑应有： AB AE AC AD AC AE AB AD =或 . 还可以从其他角度去考虑这个条件， 这样不仅可以使 学生更深刻地理解相似三角形的判定，而且还可以提高学 生学习数学的兴趣，从而提高学生创新思维能力。 2 运用结论型开放题，培养学生思维的广阔性 2 运用结论型开放题，培养学生思维的广阔性 这类开放题是指提供一定的条件， 满足条件的结论往往有多种答案的题型。 这需要学生灵活运用所学知识，善于突破常规，进行直觉、想象、猜想、创造等 活动才能解决。 如：北师大版七年级数学下册 P203 页中有这样一道题目：请以给定的图 形“、” （两个圆，两个三角形，两条平行线段）为构件，尽可能 多地构思独特且有意义的图形，并写出一两句贴切、诙谐的解说词。如下图就是 符合要求的两个图。你还能构思出其他的图形吗？比一比，看谁想得多。 这是一道图案设计能力与空间想象能力的趣味数学题， 所涉及的知识点并不 难，没有确定的答案，为学生展示了很广阔的思维空间，让你驰骋，只须“按要 2 60 图2 F E D CB A 朋友 汽车 漂亮路灯 北京奥运 求画图，且设计合理”都可，下面再给出几种设计： 根据题目要求，可以让学生进行讨论，还可以设计出很多不同图案，这样 既能培养学生学习兴趣，也能培养学生的发散思维和创新能力。 二 运用多向型开放题，培养学生思维的广阔性和灵活性 二 运用多向型开放题，培养学生思维的广阔性和灵活性 多向型开放题，是对同一个问题可以有多种思考方法，使学生纵横联想， 启发学生一题多解、一题多变、一题多思，训练学生的发散思维，培养学生创新 思维能力。 1 利用一题多解型，启发学生思维 1 利用一题多解型，启发学生思维 这类开放题是指在同一条件下，可以有不同的解题思路，最终达到同样结 果的题型。这就需要学生通过多角度、多方位、多层次地探究解题思路和方法， 开阔学生的解题思路，从而培养学生思维的广阔性。 例 1 如图 2， 在ABC 中， AB=AC， E 在 CA 的延长线上， AEF= AFE，试探究 EF 与 BC 的位置关系，并给予证明。 分析：要探究 EF 与 BC 的位置关系，从图形上观察知 EFBC， 要证 EFBC，图中 EF、BC 没有联系，如果能找到一条直线与 BC 垂 直或平行 BC，而与 EF 平行或与 EF 垂直，那么命题得证。 证法 1：证法 1：作 BC 边上的高 AD，D 为垂足（如图 2） AB=AC，ADBC， 3 61 图3 G F E C B A 图4 H F E CB A 图5 K F E CB A 图6 D C B A BAD=CAD（三线合一性质） ， 又BAC 为AEF 的一个外角， BAC=E+AFE，AEF=AFE， BAD+DAC=AEF+AFE，CAD=E. ADEF，ADBC，EFBC. 证法 2：证法 2：分析：过 A 作 AGEF 于 G（如图 3） ，只要证出 AGBC 即可。而欲证两直线平行，只需证明EAG=C，便可 大功告成。 证法 3：证法 3：过 E 作 EHBC 交 BA 的延长线于 H（如图 4） ，易知 H=AEH. H+AEH+AEF+AFE=180 AEF=AFE， H=AEH FEH=90EFEH BCEH 证法 4：证法 4：分析：延长 EF 交 BC 于 K（如图 5） ，如果证出 FKB=90，那么命题得证. 通过一题多解使学生不满足把一道题正确地解出来， 不满足 于常规的一般解法，使知识结构的建立更加合理有序，进而融 会贯通，培养了学生思维的敏捷性。 2 利用一题多变型，诱发学生思维 2 利用一题多变型，诱发学生思维 这类开放题是指从一道题出发，通过逆向思维、探究新知、改变条件、引 申结论、变化难度等手段，使原来一道题变成一类题，这类题的变化是 开放的，只要合理都可以作为变式题。 例 2 如图 6， AB=AD， BAC=DAC， ABC 和ADC 全等吗？ AEF+AEH=90 EFBC 4 62 图7 F E D C B A 图8 E D CB A 图9 E D C B A 为什么？ 对于这题的证明比较简单， 只要知道全等的判定条件就可得到.下面给出本 例的几种变式题： 变式：如图 7，AB=ED，BAC=E，EA=CF，ABC 和EDF 全等吗？为 什么？ 变式：如图 8，AB=AD，AC=AE，ABC 和ADE 全等吗？为什么？ 变式：如图 9，AB=AD，BAD=CAE，AC=AE，BAC 和DAE 全等吗？ 为什么？ 通过一题多证和一题多变，拓展了思维空间，培养了学生的创造性思维， 可使一些基础较差的学生也感到数学并非枯燥无味， 从而对数学这门学科产生了 浓厚的兴趣。因此，在数学教学中，发展创造性思维能力是能力培养的核心，教 师要善于引导学生变换题型， 灵活运用启发式， 让学生善于提出问题和发现问题， 以激发学生积极思维和求知兴趣，达到举一反三，触类旁通的效果。从而培养学 生思维的灵活性和创造性。 三 运用隐藏型开放题，培养学生思维的缜密性 三 运用隐藏型开放题，培养学生思维的缜密性 隐藏型开放题，是指解题所需的某些条件隐藏在题目的背后，如不注意， 则容易遗漏。这就需要我们在解题时要全面考虑问题，既要考虑条件的结论，又 要考虑是否存在与问题有关的隐藏着的条件， 这样才有利于培养学生认真审题的 习惯和思维的缜密性。 九年级学生学习完第二章“一元二次方程”后，第一节复习课上我出示了这 样一道练习题： 5 63 例 3 已知关于 x 的方程（3k+1） 2 x-2xk-1=0 有两个不相等的实数根， 求 k 的取值范围。 解：因为方程有两个不相等的实数根，所以必须满足 2 b-4ac0 即 2 )2(k-4（3k+1）(-1)0,解得 k 4 1 .因此当 k 4 1 时，方程有 两个不相等的实数根。 分析：本题存在两个隐藏条件，对于一元二次方程0 2 =+cbxax,同学们 常常忽视0a这一条件；在运用二次根式时，易疏漏0a这一条件，其实 k 的 取值范围应同时满足：k 4 1 且 3 1 k及0k.故本题k的取值范围为0k。 四 运用多余条件型开放题，培养学生思维的批判性 四 运用多余条件型开放题，培养学生思维的批判性 多余型开放题，将题目中的有用条件和无用条件混在一起，产生干扰因素， 这就需要在解题时，认真分析条件与问题的关系，充分利用有用条件，舍弃无用 条件，学会排除干扰因素，提高学生的鉴别能力，从而培养学生思维的批判性。 例 4：假如用一根很长的钢缆沿赤道绕地球一圈后，把钢缆放长 10 米，此 时的钢缆圈和地球之间的缝隙可以让一头牛通过，还是可以让一只老鼠通过？ （已知地球的半径为 6400KM）. 本题有一定的挑战性，可以激发学生的探究兴趣，从中让学生感受数学的 本质和作用。没解题时学生估计只能通过一只老鼠，而计算结果是通过一头牛都 绰绰有余。学生一般由地球的半径为 6400KM，得赤道长，钢缆圈的长，而后得 到赤道的半径，再求得钢缆圈与地球之间的宽度，即缝隙，计算复杂，误差大。 实际上题中的半径是可以不用的多余条件，解法如下： 设地球的半径为 Rm，钢缆的半径为 R1m,则缝隙的宽度为（R1-R）m. 由题意，得 2R12R=10 2（R1R）=10 R1R=10/2 1.6(m) 通过引导分析这类题，可以防止学生滥用题中的条件，有利于培养学生思 维的批判性，提高学生明辨是非、去伪存真的鉴别能力。 6 64 五 运用缺少型开放题，培养学生思维的独创性 五 运用缺少型开放题，培养学生思维的独创性 缺少型开放题，按常规解法所给条件似乎不足，但如果换个角度去思考， 便可以解答。 在学习完九年级数学第二章“一元二次方程”的复习题 C 组后我出示了一 道练习题： 例 5 解方程组 1 2 2 = =+ cab ba 分析：这是一个有三个未知数两个方程所组成的方程组，显然用常规方法 难以解答， 即使可以也往往使人陷于进退维谷的尴尬处境。 仔细观察方程组中a、 b这两个未知数是以和与积的形式出现，由此联想到根与系数的关系，从而构成 一元二次方程。 解：由原方程组 2 1, 2cabba+=+，于是可设a、b为关于m的方程 012 22 =+cmm的两个根，所以04)1 (4)2(4 2222 =+=ccacb，但 0 2 c，故只有0 2 =c，即0=c，从而有 1 2 = =+ ab ba 解得 1 1 = = b a .所以原方程组 仅有一组实数解，即：. 0, 1