《高等数学Ⅱ》补充题参考解答.pdf

2012 级高等数学补充题参考解答 习题 8-1 5（补充题 1） 、从点A(2, 1,7)沿向量8912aijk=+ 方向取长为 34 的线段AB，求点B的 坐标。 解设点B的坐标为(), ,x y z，则()2,1,7ABxyz=+ ，且ABa= ，即 28 ,19 ,712xyz=+ = 又由已知34AB= ， 222 (8 )(9 )( 12 )34+ =，解得2= 所以点B的坐标为()18,17, 17 习题 8-2 5 （补充题 2） 、 设(3,5, 2)(2,1,4)ab= ,， 问与有怎样的关系能使ab+ 与z轴垂直？ 解：()32 ,5, 24ab+=+ ，在z轴上取单位向量()0,0,1k= ， 由已知ab+ 与 z 轴垂直，所以()0abk+= 即()()()320502410+ + = 2402 +=，即能使ab+ 与z轴垂直 习题 8-4 4（补充题）求曲线 22 32330,10 xzyzxzyz+=+ =在zox平面上的投影方程。 解由 22 32330 10 xzyzxz yz += + = 消去y，得到母线平行于y轴的投影柱面方程： 22 4230 xzx+= 从而所求投影曲线方程为 22 4230 0 xzx y += = 5（补充题）已知空间曲线C： 222 222 241xyz xyz += += ，求以C为准线而母线平行于y轴的 柱面方程；求出C在xoy面上的投影方程。 解由 222 222 241xyz xyz += += 消去y得：16 22 =+zx即为所求柱面方程 由 222 222 241xyz xyz += += 消去z得到投影柱面方程：165 22 =+yx 从而所求投影曲线方程为 = =+ 0 165 22 z yx 习题 8-5 6（补充题）求通过点P(2, 1, 1)，Q(1, 2, 3)且垂直于平面23560 xyz+=的平面方程。 解设所求平面的法向量为n ，由已知()() 1 1,3,4 ,2,3, 5nPQnn= = ， 1 134( 27,3, 9) 235 ijk PQn= = ，(9, 1,3)n= 取 故所求平面方程为9(2)(1)3(1)0 xyz+=，即 93160 xyz+= 习题 8-6 8 （补充题） 求过点(-3,2,5)且与两个平面225143xyzxz=和的交线平行的直线方程。 解：设所求直线的方向向量s，由已知()() 12 2, 1, 5 ,1,0, 4snsn= = 12 215(4,3,1) 104 ijk snn= 取 又直线过点()3,2,5，故所求直线方程为 325 431 xyz+ = 复习题八 1（补充题）在y轴上求与点(1, 3,7)A和点(5,7, 5)B等距离的点。 解设y轴上点为()0, ,0My，由已知MBMA= ()()() 222 222 137575yy+=+ 2y= 故所求点为()0,2,0M 2 6(1,2, 1)34 1 xt Myt zt = + = = （补充题）求过点且与直线垂直的平面方程。 /( 1,3,1)( 1,3,1) 1 (1)3(2)(1)0 340 nnL nsn xyz xyz = = += += 解：设所求平面的法向量为 ，由已知 ，取 故所求的平面方程为 即 1212 12321 121211 xyzxyz LLLL + =7（补充题）已知直线 ：和 ：，求经过 且平行于 的 平面方程。 12 /nnLnL 解：设所求平面的法向量为 ，由已知， 1212 (1,2,1)(211)121(1,1, 3) 211 (1)(2)3(3)0360 ijk nsnsnss xyzxyz = +=+= ，取 所求的平面方程为 ，即 习题 9-1 2、求下列极限： （4） （补充题） 22 22() lim() xy x y xye + + 22 22 () 22() 1 lim()limlimlim0 u xy xyu uu xuuu y u xyeu e ee =+ + + += 令 解： （5） （补充题） 2222 22 3( , )(0,0) sin lim () x y xyxy xy + + 22 2222 32 22 3( , )(0,0)000 sinsin1 cossin1 limlimlimlim 366 () uxy x yuuu xyxyuuuu uuu xy =+ + = + 令 解： 习题 9-2 1、求下列函数的偏导数：; （4） （补充题） 2 22 () 3 yzz zxyxxyxy xxy =+= 设，其中（ 可导，证明。 2 2 22 22222222 2 22 22 2 (),() 33 2 ()()() 333 22 ()() 33 zyzy yxyxxy xxyx zyy xyxyxyyx yxyyyx yxy xx zy xyxyxxyyx yxy yx zz xyxy xy = +=+ +=+= +=+ =+=+ += 解： 习题 9-3 1 求下列函数的全微分： （3） （补充题）sin 2 yz y uxe=+求函数的全微分。 11 cos( cos) 2222 yzyzyzyz yy dudxdyze dyye dzdxzedyye dz=+=+解： （4） （补充题） 222 tan()uxyz=+求函数的全微分。 2222 222 sec ()()xyzxdxydyzdz du xyz + = + 解： 3（补充题）设( , , ),(1,1,1z x f x y zdf y =求)。 11111 1111 222 111111 ( )( )( )()( )( ) ln() (1,1,1)1(1,1,1)1(1,1,1)0 (1,1,1) zzzzz xyz xyz xyz xxxxxxx fff z yyyz yz yyzyyyyz duf dxf dyf dz fff dfdxdy = = = =+ = = = 解：， 又， 习题 9-5 4、求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数： （2） （补充题） 2 2 0 , 0 uvx uuvv xyxy uvy += += 求由方程组所确定的函数的偏导数。 21 20 211121 1211 410 1202104141 20 21 210 1 410 12 uv u xx x uv v xx uu uvv uv vvxJuvxJuv uv u yy y uv v yy u u uv vxJ = += =+ = + = += =+ = 解：将原方程组两端对 求偏导数，得 当时， 将原方程组两端对 求偏导数，得 当时， 120 112 12114141 u vu vuvxJuv = + ， 习题 9-6 5（补充题）在曲面z=xy上求一点，使这点处的法线垂直于平面x3yz9 = 0，并写 出这法线方程。 000 (,) xy xyz zyzx= 解：设所求点为 ， 000000 000(,)(,)00 00 000 (,)(, 1)(, 1) 1 3,1,3 131 ( 3, 1,3) 313 131 xxyzyxyz xyznzzyx yx xyz xyz = = = = + = 曲线在处的法向量为 由题意有，得 所求切点为 法线方程 习题 9-7 6（补充题）求函数( )z y u x =在点P0(1,1,1)沿着方向(2,1, 1)l= 的方向导数 0 P u l 。 11 2 1 ( )()( )( ) ( )ln( ) zzz yyyyy graduzz xxxxxx = 解：， 0 0 0211 ( 11 0)(,) 666 2112111 ( 1,1,0) (,)110 () 6666666 P P gradul u l = = = = + = ， ， 从而 习题 9-8 5（补充题）求函数 11 ( , )(0)zf x yxyxy xy =+的极值。 22 2 2 33 22 11 , 1 0 (1,1) 1 0 2,1,2 2 2 13020 (1,1)(1,1)3 xy x y xxxyyy zyzx xy zy x zx y zxzzy ACBA f = = = = = = = 解： 由，得唯一驻点 ，且 所以为函数的极小值点，极小值为 6（补充题）求表面积为 6 而体积最大的长方体的体积。 , , (0,0,0)2()630 ( , , , )(3) ()0 ()0 (1,1,1) ()0 3 0 x y z x y zV Vxyz xyzxzyzxyxzyzxy L x y zxyzxzyzxy Lyzzy Lxzzx xyz Lxyxy Lxzyzxy =+=+= =+ =+= =+= = =+= =+ = 令 令 令 令 解：设长方体的长、宽、高分别为，体积 ，由已知 ，且满足，即 令 由，得，即唯一驻点 故由实 (1,1,1) 1 1 xyz V = = 际问题知，长方体的表面积一定而体积的最大值存在，所以当时， 体积为最大值，其最大的体积为 复习题九 7（补充题）已知(x,y)具有连续的偏导数且(xz,yz) = 0 确定函数z=z(x,y)，试计算 zz xy + 。 1212 12 1212 12 1212 ( , , )(,) , 0 1 xyz y x z zz F x y zxz yz FFF F Fzz F xFyF zz xy = = = = = = = + + +=+= + + 解：设 当时， 8（补充题）已知二元函数u(x,y)，v(x,y)在区域D内满足 （1）具有连续偏导数； （2） 22 , uvuv uvC C xyyx = + （ 常数） ； 证明u(x,y)，v(x,y)在区域D内均为常数。 22 22 00,0 0, 220 220 220 22 4()0 22 220 0 Cuv CuvCx y uv uv uvuvxx uv xyyx uv yy uu uv uvxy uv uuvu vu xy uuvv xyx = + += = += = =+ += = 证明：当时，均为常数 当时，由，两边关于分别求偏导数。得 ，又，则方程组变为 ，其系数行列式 故且0( , ), ( , )u x y v x y y = ，从而均为常数 9（补充题）某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计计算， 销售收入R（万元）与电台广告费用x1（万元）及报纸广告费用x2（万元）之间的关系有 如下的经验公式： 22 121212 15 14328210Rxxx xxx=+ （1）广告费用不限的情况下，求最优广告策略； （2）若广告费用为 1.5 万元，求相应的最优广告策略。 1 2 1 11 22 2 22 1212121212 21 12 12 22 12 ( ,)()15 13318210 13840 353 5 ,( , ) 444 4 31 8200 4820 4( 20)( 8)16040 0.75, x x x xx xx x L x xRxxxxx xxx Lxx xx Lxx LLL ACBA xx =+=+ = = = = = = = = 在第 一卦限部分曲面块的上侧。 222222 222222 222 222222 33 222 222 333 22 22 (0,0) ()() () (cossin) ( xy xy xy D zRxyDxyRxy x dydzy dzdxz dxdyxzyzz dxdy xy xyz dxdy RxyRxy xy Rxydxdy Rxy dR R =+ += + + =+ + =+ + =+ 解法1： ：，：，取上侧 2 00 3 22 2200 44 22 2 00 ) 2 1 2() 32 4sin 1cos() 3cos2 R RR R d d Rd R Rt RtdtRd Rt = + = + 44224 2 0 0 4 444 411 sin() 32 24 43 1113 () 34 2 22 248 R RtdtR R RRR =+ =+= 222222 2222 222 22 2 00 2244 0 2(0,0) 3 3() 3() 3113 () 2248 xy xy D R R zRxyDxyRxy x dydzy dzdxz dxdyz dxdy Rxydxdy dRd RR =+ += = = = 解法 ： ：，： （轮换对称性） 习题 11-6 高斯公式 2、 （补充题）求曲面积分(2 )zx dydzzdxdy + ，其中是曲面 22(0 1)zxyz=+的外侧。 11 1 22 1 1 1 0 1 ( , )1 20 2 1 (2 )() (2 ) 3(2 ) ()3 xy x zx yDxy PzxQRz PQR xyz zx dydzzdxdyzx dydzzdxdy dxdydzzxzzdxdydzdxdy + =+ =+=+ +=+ +=+ =+ += 解：补面：，：，取上侧 ，显然在由闭曲面所围成的空间有界 闭区域 具有连续的一阶偏导数，且 22 1 0 13 2 xy D xyz dxdyzdz + = 11 1 2 211 00 1 2 0 24 1 0 (2 )() (2 ) 3(2 ) () 3 3 2(1) 6 () 242 xy x D zx dydzzdxdyzx dydzzdxdy dxdydzzxzzdxdy dddzdxdy d + +=+ =+ + = = = 或 复习题十一 4、(补充题） 22 ()() 4 L xy dxxy dy L xy + + 计算曲线积分，其中 是边长为 ，原点为中心正方形 边界，方向为逆时针方向。 2222 2222 222222 2222 , 22 (0,0) ()() cos 20 sin ()()()() () ( () LC LL D xyxy PQ xyxy PyxxyQyxxy yxyxxy xt CLtD yt xy dxxy dyxy dxxy dy xyxy QP d xy + + = + = + = = + = + = 解： ，它们在点不连续 在 内挖洞，其边界 ：，在 内满足格林公式条件 0 22 2 2 0 cossin )( sin )(cossin )cos cossin 012 ttxtttdt tt dt + + =+= 5、 （补充题）计算 222 x dydzy dzdxz dxdy + ，其中为锥面 222 2xyz+=介于平面z= 0 及 z= 1 之间部分的上侧。 11 22222 22 1 222 1 222222 22 11 12 222 () (2 xy xyzxy z zz zDxy PxQyRz PQR xyz xyz x dydzy dzdxz dxdyx dydzy dzdxz dxdy x + +=+= = =+ =+ +=+ +=+ = + 解：由消 ，得交线， 补面：，：，取下侧 ，显然它们在由围成的空间有界闭区域 上具有连续的 一阶偏导数，且 222 222 11 2 00 2 22 )( 1)()() 21222(2)2 xy xy xy D D xyz yz dxdydzxzyzzdxdy zdxdydzdxdydzzdxdyzzdz + + + + =+= += += 对称性 习题 12-1 1、根据级数的收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性 （2） （补充题） 1 (221) n nnn = + + 1 ( 32 21)( 42 32)( 52 43)(221) 2121 1 limlim(2121)lim(21)21 21 (221)21 n n nnn n snnn nn snn nn nnn = =+ + = + + =+ +=+ += + + + += + 解： 故级数 2、判断下裂级数的收敛性， （4） （补充题） 1 3 (1) n n n n n = + 1 313 lim3lim0 1 (1) (1) 3 (1) n n nn n n n n n ne n n n = = + + + 解： 由级数收敛的必要条件， 级数发散 （5） （补充题） 1 1 1 ( )n n n = 1 1 1 11 lim( )lim10 1 ( ) n n nn n n nn n = = 解： 由级数收敛的必要条件， 级数发散 习题 12-2 2、用比值审敛法判定下列级数的收敛性 （4） （补充题） 1 2 2n n n = + 1 1 1 2 0 2 3 131 2 limlimlim1 2 222 2 2 2 n n n n nnn n n n n n u n un n un n + + = + = + + = + + + 解： 由正项级数的比值审敛法，级数收敛 4（补充题） ( 1) 1 2( 1) 2 3 n n n n n = + + 判断级数的收敛性。 11 2( 1) 33 n nn nn = 解：和都收敛 ( 1) ( 1)( 1) 11 1 ( 1) 1 2211 022 2222 2( 1) 2 3 n nn n nn nnnn n n n n n = = = + + ，级数收敛，级数收敛 故级数收敛 6（补充题）若级数 2 1 n n a = 收敛，求证 2 1 1 () n n a n = + 收敛。 22 2 2 2 2 2 111 2 1 211 () 21 21 1 () n nn n n n n nnn n n a aa nnn a a nn a a nn a n = = +=+ + + 证明： 由已知和收敛，得绝对收敛 故 收敛 习题 12-3 3（补充题） 112 n n nn n nx = 求幂级数的和函数，并求和。 1 1 1 1 11 1 2 2 1 limlim11( 1) 1 1( )( 1,1) () ()()( 1,1) 1 ( 1,1) (1) 1 1 2 ( )2 1 22 (1) 2 n n n nn n n n n nn nn n n n n an anRxn an s xnxx xnxxx x xxxx x x x x n s = + = = = = = + = = = = = 解：，而时，级数都发散 解法 ： 故 1 11 11 000 111 22 ( ) 2( )0 ( ) 1 ( )1 ()( )(0) 1(1)(1) nn nn xxx nnn nnn s x s xnxxnx x s xx dxnxdxnxdxx xx s xxx s xx xxxx = = = = = 解法 ：，当时，有 两边积分，得 两边求导，得，即 2 1 2 1 0(0)0( )( 1,1) (1) 1 1 2 ( )2 1 22 (1) 2 n n n n x xss xnxx x n s = = =