风险资产定价.ppt

2006-12-11,1,第九章风险资产定价,贾怀京北京邮电大学经济管理学院,2,第九章风险资产定价,9.1有效集与最优投资组合9.2无风险借贷对有效集的影响9.3资本资产定价模型9.4资本资产定价模型的进一步讨论9.5套利定价模型,3,9.1有效集与最优投资组合,问题：市场上有N种风险资产，还有无风险资产，投资者如何投资才能实现最优决策？,问题：无风险资产收益率为Rf，市场上有N种风险资产（如股票），第i种风险资产的预期收益率与方差为和，第i、j风险资产的协方差为（i、j=1，2，3N）。若记投资者的效用函数为F（，），则使投资者效用函数最大化的投资组合是什么？,4,9.1有效集与最优投资组合,根据马柯维茨（Markowitz）证券组合理论，投资者必须根据自己的风险收益偏好和各种证券组合的风险、收益特征来选择最优的投资组合。,9.1.1可行集,可行集（Feasibleset）指的是由N种证券所形成的所有组合的集合，它包括了现实生活中所有可能的组合。图9-1中，ANBHCD边线所构成的区域为可性集。,5,9.1.1、可行集,标准差P,图9-1：可行集和有效集,6,9.1有效集与最优投资组合,9.1.2、有效集,（一）、有效集的定义对于一个理性的投资者，其是厌恶风险、偏好收益的。可行集中：（1）对于同样的风险水平，投资者将会选择提供最大预期收益率的组合；（2）对于同样的预期收益率，他们将会选择风险最小的组合。满足这两个条件的投资组合的集合就是有效集（EfficientSet）。图9-1中，N和B之间的上方边界（蓝线）为有效集。,7,9.1有效集与最优投资组合,9.1.2、有效集,（二）、有效集的位置有效集是可行集的一个子集。1、给定风险看最大预期收益率，能提供最大收益率的组合集是可行集中介于N和H之间的上方边界上的集合。2、给定预期收益率看最小风险，能提供最小风险水平的组合是可行集介于A、B之间的左边边界上的组合集。同时满足上面两个条件的为有效集的位置。故有效集的位置位于N、B两点之间上方边界上的可行集。,8,9.1有效集与最优投资组合,9.1.2、有效集,（三）、有效集的形状1、向右上方倾斜的曲线2、向上凸的曲线3、有效集曲线上不可能有凹陷的地方,9,9.1有效集与最优投资组合,9.1.3、最优投资组合的选择,最优投资组合：在给定的投资条件下，使投资者的效用最大的投资组合。若记效用函数为U（预期投资收益率，标准差）U（，），则在给定的约束条件下，使投资者效用函数最大化的投资组合为最优投资组合。,10,9.1有效集与最优投资组合,9.1.3、最优投资组合的选择,在图9-1中，投资的约束条件为：投资者的投资处在有效集中，即NB两点之间的弧线上（蓝线部分）。当效用函数与有效集曲线相切时，切点处的投资组合便是在约束条件下投资者的投资效用最大的投资组合。有效集向上凸的特征和无差异曲线向下凸的特征决定了有效集和无差异曲线的相切点是唯一的，即最优投资组合是唯一的。图9-1中的红点为最优投资组合。,11,9.1有效集与最优投资组合,9.1.3、最优投资组合的选择,对于投资者来说，有效集是客观存在，而无差异曲线是主观的。无差异曲线是由投资者自己的风险收益偏好所决定的。厌恶风险程度越高的投资者，其无差异曲线的斜率越大，因此最优投资组合越接近N点；厌恶风险程度越低的投资者，其无差异曲线的斜率越小，因此最优投资组合越接近B点；,12,9.1有效集与最优投资组合,9.1.3、最优投资组合的选择,求最优投资组合的步骤：找出可行集。根据可行集，找出有效集。给出投资者的无差异曲线。投资者的无差异曲线与有效集的交点就是投资的最优投资组合。,13,9.2无风险借贷对有效集的影响,9.2.1、无风险贷款对有效集的影响,（一）、无风险贷款或无风险资产的定义在未来的收益是确定的贷款(这里指的是投资者将钱贷给别人)，或者说预期收益率的标准差为零的贷款为无风险贷款。在现实生活中，无风险资产首先应没有任何违约的可能，其次没有市场风险。实际上，严格意义上，只有到期日与投资期相等的国债才是无风险资产。,14,9.2.1、无风险贷款对有效集的影响,（二）、允许无风险贷款下的投资组合1、投资于一种无风险资产和一种风险资产的情形问题：有无风险资产A和风险资产B，如何投资是最优投资？,15,9.2.1、无风险贷款对有效集的影响,（二）、允许无风险贷款下的投资组合1、投资于一种无风险资产和一种风险资产的情形问题：投资于一种无风险资产和一种风险资产的情形下的可行集和有效集分别是什么？投资于一种无风险资产和一种风险资产的情形下的预期收益率与风险的关系式是什么？,16,9.2.1、无风险贷款对有效集的影响,（二）、允许无风险贷款下的投资组合1、投资于一种无风险资产和一种风险资产的情形假设风险资产和无风险资产在投资中的比例分别为X1和X2，它们的预期收益率分别为和,它们的标准差分别等于1和2，它们之间的协方差为12。根据X1和X2的定义，我们有（X1+X2）=1，且X1、X20。根据无风险资产的定义，我们有2和12都等于0。这样，该投资组合的预期收益率和标准差分别为：,17,9.2.1、无风险贷款对有效集的影响,（9-3）,（9-4）,由上式得,将（9-3）代入（9-1）式得：,18,9.2.1、无风险贷款对有效集的影响,由于、和1已知，式（9-4）是线性函数，其中为单位风险的收益率(也称为Sharpe比率)。图9中，点表示无风险资产，点表示风险资产，由这两种资产组合的预期收益率和风险落在、这条线段上。,图9-：无风险资产和风险资产的组合,P,A,B,是可行集，也是有效集,19,9.2.1、无风险贷款对有效集的影响,（二）、允许无风险贷款下的投资组合2、投资于一种无风险资产和一个证券组合的情形问题：有无风险资产A、风险资产B和C，如何投资是最优投资？,20,9.2.1、无风险贷款对有效集的影响,（二）、允许无风险贷款下的投资组合2、投资于一种无风险资产和一个证券组合的情形问题：投资于一种无风险资产和一个证券组合的情形下的可行集和有效集分别是什么？投资于一种无风险资产和一个证券组合的情形下的预期收益率与风险的关系式是什么？,21,（二）、允许无风险贷款下的投资组合投资两个风险证券A、B，投资组合的预期收益率与风险的关系,C（0，）,9.2.1、无风险贷款对有效集的影响,22,9.2.1、无风险贷款对有效集的影响,（二）、允许无风险贷款下的投资组合2、投资于一种无风险资产和一个证券组合的情形风险资产组合B是由2种风险证券C、D组成的，则B的有效集位于经过C、D两点向上凸出的弧线上注，如图9-3所示。如果我们仍用R1和1代表风险资产组合的预期收益率和标准差，用X1代表投资该风险资产组合的资金在整个投资组合资金中所占的比重，则式（9-1）到（9-4）的结论同样适合于由无风险资产和风险资产组合构成的投资组合的情形。这种投资组合的预期收益率和标准差一定落在A、B线段上。,23,9.2.1、无风险贷款对有效集的影响,图9-3：无风险资产和风险资产组合的组合,P,24,9.2.1、无风险贷款对有效集的影响,图9-3：无风险资产和风险资产组合的组合,A,P,B,可行集为B点沿着CD弧线移动时AB直线所扫过的面积。,25,9.2.1、无风险贷款对有效集的影响,（三）、无风险贷款对有效集的影响引入无风险贷款后，有效集将发生重大变化。在图9-4中，弧线CD代表马柯维茨有效集，A点表示无风险资产。我们可以在有效集中找到一点T，使AT直线与弧线相切于T点。T点所代表的组合称为切点处投资组合。引入AT线段后，CT弧线将不再是有效集。,P,图9-4：允许无风险贷款时的有效集,A,C,D,T,26,9.2.1、无风险贷款对有效集的影响,例1：假定市场上有A、B两种证券，其预期收益率分别为8%和13%，标准差分别为12%和20%。A、B两种证券的相关系数为0.3。市场无风险利率为5%。某投资者决定用这两种证券组成最优风险组合。,27,9.2.1、无风险贷款对有效集的影响,（四）、无风险贷款对投资组合选择的影响注意，引入无风险贷款后的有效集为：（AT直线段）（TD弧线）。对于不同的投资者而言，无风险贷款的引入对他们的投资组合选择有不同的影响。记无差异曲线与有效集的相切点为O点（见图9-5（a），当O点位于T点的右上方时，O点为最优投资组合。投资者将把所有的资金投资于风险资产，故而是否有无风险贷款对投资组合的选择没有影响。当O点位于T点的左下方时，记无差异曲线与AT直线的相切点为O*（见图9-5（b），则O*点为最优投资组合。投资者将把部分资金投资于风险资产，另一部分资产投资于无风险资产（见（9-4）式）。,28,9.2.1、无风险贷款对有效集的影响,A,A,T,C,D,D,O,O*,T,C,图9-5：无风险贷款下的投资组合选择,无差异曲线,无差异曲线,P,P,（a）,（b）,29,9.2.2、无风险借款对有效集的影响,在推导马柯维茨有效集的过程中，我们假定投资者可以购买风险资产的金额仅局限于他初期的财富。然而，在现实生活中，投资者可以借入资金并用于购买资产。由于对所借款的利息支付一定，无不确定性，因此我们把这种借款称为无风险借款。,1、无风险借款并投资于一种风险资产的情形我们可以把无风险借款看成负的投资，则投资组合中风险资产和无风险的比例也可以X1和X2表示，且X1+X21，X11，X20。这样（9-1）式到（9-4）式也完全适应于无风险借款的情况。由于X11，X20，因此P1，（9-4）式在图上表现为AB线段向右边的延长线上，如图9-6所示。,（一）、允许无风险借款下的投资组合,30,9.2.2、无风险借款对有效集的影响,图9-6：无风险借款和风险资产的组合,1、无风险借款并投资于一种风险资产的情形无风险借款(利率为)并投资于一种风险资产(预期收益率为)的情形,31,9.2.2、无风险借款对有效集的影响,2、无风险借款并投资于风险资产组合的情形,图9-7：无风险借款和风险资产的组合,P,P1,A,D,C,无风险贷款的利率为,风险资产组合的有效集为CD曲线。无风险借款并投资于风险资产组合的收益与风险的关系为以B点为起点的BE射线，且（1）A、B、E三点在一条线上。（2）B点可以在CD曲线上的任意一点上。,E,32,引人无风险借款后，可行集如下图所示意。,（二）、无风险借款对有效集的影响,图9-8(1)：允许无风险借款时的可行集,33,引人无风险借款后，有效集也发生了变化。图9-8中，弧线CD代表风险投资的马柯维茨有效集，T点仍表示CD弧线与过A点直线的相切点。当存在无风险借款时，因为有P1，C1D，故有效集为AT线段过T点向右边的延长线TG，再加上CT弧线段。,（二）、无风险借款对有效集的影响,PT,A,C,D,T,P,图9-8(2)：允许无风险借款时的有效集,34,对于厌恶风险较低的人，其无差异曲线与CD弧线相切与TD之间，则无差异曲线与AT直线相切与O*点（见图9-9（a），O*点为最优投资组合。此时，投资者将进行无风险借款并投资于风险资产。对于厌恶风险较高的人，其无差异曲线与CD弧线相切与TC之间，切点为O（见图9-9（b），则O点为最优投资组合。此时，投资者将不进行无风险借款，他只会用自有资产投资于风险资产。,（三）、无风险借款对投资组合选择的影响,A,35,9.2.3、无风险借、贷款对有效集的影响,投资者可以同时借款或贷款进行无风险或风险投资，则有效集会发生怎样的变化？现假定投资者投资于一种无风险资产和一个风险资产证券组合B。风险资产组合B是风险证券C和D组成的，有效集为过A、T点的AT射线（如图9-10所示）。,图9-10：允许无风险借、贷款时的有效集,P,图9-10：允许无风险借、贷款时的有效集,36,9.3资本资产定价模型,1、投资者通过投资组合在单一投资期内的预期收益率和标准差来评价这些投资组合。2、投资者永不满足，当面临其他条件相同的两种选择时，他们将选择具有较高预期收益率的那一种。3、投资者是厌恶风险的，当面临其他条件相同的两种选择时，他们将选择具有较小标准差的那一种。4、每一种资产都是无限可分的。5、投资者可按相同的无风险利率借入或贷出资金。6、所有投资者的投资期限都相同。7、对于所有投资者来说，无风险利率相同。8、对于所有投资者来说，信息都是免费的并且是立即可得的。9、投资者对于各种资产的收益率、标准差、协方差等具有相同的预期。,9.3.1、基本的假定,37,9.3资本资产定价模型,根据上述假设，我们可以得出如下结论：1、根据相同预期的假定，我们可以推导出每一个投资者的切点处投资组合都是相同的，而每一个投资者的线性有效集都是一样的。（有效集为过A、T点的AT射线，如图9-10所示）。2、由于投资者风险收益偏好不同，其无差异曲线的斜率不同，因此他们的最优投资组合也不同，但风险资产的构成却相同（T点处的风险资产构成，如图9-10所示）。,9.3.2、资本市场线（一）分离定理,38,9.3资本资产定价模型,这里“风险资产的构成相同”的含义：假定投资者将投资的P比例投资于无风险资产，而（1P）比例投资于风险资产。假定风险资产有两项，风险资产C和风险资产D，两者分别占风险资产投资的比例为XC和XD，（XCXD）1。则投资于风险资产C的资金占总投资的比例为（1P）XC，投资于风险资产D的资金占总投资的比例为（1P）XD。这里“风险资产的构成相同”指的是（XCXD）的值是不变的。即，在风险资产的最优结构下，不同的投资者的（XCXD）值是相同的（称该结构为风险资产组合的最优构），但风险资产的投资占总投资比例的（1P）值则随投资者风险态度的不同而不同。风险资产组合的最优结构：单位风险的增加，风险资产的投资收益率的增加最大。这时的风险资产组合结构称为风险资产组合的最优结构。从图9-10可看到，有无风险资产投资时，只有切点T处的风险资产组合才能有“单位风险的增加，风险资产的投资收益率的增加最大”。故切点T处才是风险资产组合的最优结构，也称最优风险资产组合。,9.3.2、资本市场线（一）分离定理,39,9.3资本资产定价模型,分离定理：投资者对风险和收益的偏好与该投资者风险资产组合的最优构成无关。（或者说，各投资者的最优风险资产组合是相同的，但最优投资组合则因人而异，随其效用函数的无差异曲线的变化而变化。）,9.3.2、资本市场线（一）分离定理,40,9.3资本资产定价模型,市场组合：由市场上所有证券构成的组合，在这个组合中，每一种证券的构成比例等于该证券的相对价值。一种证券的相对价值等于该证券市值除以所有证券市值的总和。按市场价格的同比例持有所有资产的投资组合，也称为市场组合或市场投资组合。根据分离定理，得：在均衡状态下，每一种证券在均衡点处的投资组合中都有一个非零的比例。习惯上，人们将切点处组合叫做市场组合，并用M代替T来表示。或者说，最优风险组合中各证券的构成等于市场组合中各证券的构成比例。资本市场线：允许无风险借贷，且为市场组合情况下的有效集。任何不利用市场组合以及不进行无风险借贷的其他所有组合的有效集都将位于资本市场线的下方。,9.3.2、资本市场线（二）市场组合,41,从图9-11可以看出，资本市场线的斜率等于市场组合预期收益率与无风险证券收益率之差（Rf）除于它们的风险之差（M0）。由于资本市场线与纵轴截距为Rf，因此有：,9.3.2、资本市场线（三）、有效集,（9-5）,M,42,从式（9-5）可以看出，证券市场的均衡可用两个关键数字来表示：一是无风险利率Rf，二是单位风险报酬Rf）M，它们分别代表时间报酬和风险报酬。因此从本质上来说，证券市场提供了时间和风险交易的场所，其价格则由供求双方的力量来决定。,9.3.2、资本市场线（三）、有效集,（9-5）,Rf,资本市场线,M,43,9.3.3、证券市场线,资本市场线反映的是有效组合的预期收益率和标准差之间的关系，任何单个风险证券由于均不是有效组合而一定位于该直线的下方。因此，资本市场线并不能告诉我们单个证券的预期收益率与标准差（即总风险）之间应存在怎样的关系。为此，我们有必要作进一步的分析。市场组合标准差的计算公式为：,（9-6）,其中XiM和XjM分别表示证券i和j在市场组合中的比例。,44,9.3.3、证券市场线,（9-6）式可以展开为：,根据协方差的性质可知，证券i与市场组合的协方差iM等于证券i与市场组合中每种证券协方差的加权平均数：,（9-7）,（9-8）,45,9.3.3、证券市场线,（9-8）式代入（9-7式）得：,由（9-9）式可知，市场组合的标准差等于所有证券与市场组合的协方差的加权平均数的平方根，其权数等于证券在市场组合中的比例。在均衡状态下，单个证券的预期收益率与风险的关系为：,（9-9）,（9-10）,（9-10）式表达的就是著名的证券市场线（SecurityMarketLine）,46,9.3.3、证券市场线,Rf,iM,证券市场线,47,9.3.3、证券市场线,记：,（9-11）,（9-12）,（9-12）式是证券市场线的另一种表达方式。（9-11）式或（9-12）式被称为资本资产定价模型（CapitalAssetPricingModel：CAPM）,48,证券市场线的应用例：某公司今年的现金股息为每股0.5元，预期今后每年将以10%的速度稳定增长。当前的无风险利率为3%，市场组合的风险溢价为8%，该公司股票的值为1.5。该公司股票当前的合理价格为多少?,9.3.3、证券市场线,49,在资本资产定价模型中，系数的估算可以通过市场模型（9-13）式来求得：,（9-13）,（9-13）式中，Ri为证券i的收益率，RM为市场指数收益率。i为随机误差，其期望值为零。Ri为证券i的收益率，计算公式为：,（9-14）,RP：证券收益率,V2：期末证券的市场价值V1：期初证券的市场价值,D：期间投资者得到的现金分配,9.3.4、市场模型和值的估计,50,例如，某养老基金在六月底的市场价值为1亿美元，七月底的市场价值为1.03亿美元，这一个月间投资者收益500万美元，则该基金这个月的收益率为：,RM市场指数收益率计算公式与（9-14）一样。市场指数以某一代表性的市场指数，比如标准普尔500股票的市场指数、道琼斯工业平均数（DJIA）、那斯达克市场指数等。,9.3.4、市场模型和值的估计,51,在西方资本市场上，对于那些交易活跃的股票，有很多服务机构提供该公司的值资料。这些值常常是过去3-5年的周收益率或月收益率为基础计算出来的。,9.3.4、市场模型和值的估计,根据市场模型统计（9-13）式计算的股票值(1992年7月31日),注:根据1992年7月31日前60个月每个月收益率测算,市场指数使用S&P500指数资料来源:MerrillLynch.SecurityEvaluationService,52,最优风险资产组合意味单位风险的增加所带来的收益率的增加最大。因此，最优风险资产组合也就是切点T处的风险资产组合。,9.3.5、最优风险资产组合的求解,53,根据资本市场线方程，记切点T处的收益率与方差为则应有：,9.3.5、最优风险资产组合的求解,Xi为对第i种风险资产的投资占总投资的比例，共有n种风险资产，Rf为无风险资产的收益率。,（9-16）,（9-15）,54,最优风险资产组合的另一种求解方法是：风险溢价来自于协方差，即,9.3.5、最优风险资产组合的求解,Xi为对第i种风险资产的投资占风险资产总投资的比例。Rf为无风险资产的收益率。,（9-17）,（9-18）,55,例1：假定市场上有A、B两种风险证券，预期收益率分别为8%和13%，标准差分别为12%和20%。A、B两种证券的相关系数为0.3，市场无风险利率为5%，某投资者决定用这两种证券构成最优风险资产组合，试求之。解：（方法一）,9.3.5、最优风险资产组合的求解,56,得：,9.3.5、最优风险资产组合的求解,最优组合的预期收益率和标准差分别为：,57,解：（方法二），根据公式（9-16）和（9-17）得：,9.3.5、最优风险资产组合的求解,58,解：记投资风险资产占总投资的比例为Y，则投资无风险资产的比例为（1-Y）。,9.3.6、最优投资组合的求解,59,9.3.7、风险资产有效边界（有效集）的求解,定理：风险资产有效边界上的任何一点都可以由有效边界上的任何其他两点的某一加权组合构成。,若给出最小方差的风险资产投资组合（N点）和最优风险投资组合（T点），就能给出风险资产的有效边界。,T,60,1、确定最小方差（）的风险资产投资组合,9.3.7、风险资产有效边界（有效集）的求解,定理：风险资产有效边界上的任何一点都可以由有效边界上的任何其他两点的某一加权组合构成。,定理：使预期收益率方差最小的风险资产的投资组合，是该投资组合的预期收益率与其中每一种风险资产的预期收益率的协方差都相等的投资组合。,61,9.3.7、风险资产有效边界（有效集）的求解,2、确定切点处的投资组合根据（9-15）和（9-16）式或者（9-16）和（9-17）式确定切点处的投资组合。,62,9.3.7、风险资产有效边界（有效集）的求解,3、确定风险资产的有效边界,63,9.3.7、风险资产有效边界（有效集）的求解,求例1中的风险资产的有效边界解：1、确定最小方差的投资组合：根据使预期收益率方差最小的风险资产的投资组合，是该投资组合的预期收益率与其中每一种风险资产的预期收益率的协方差都相等的投资组合。,64,9.3.7、风险资产有效边界（有效集）的求解,求例1中的风险资产的有效边界解：1、确定最小方差的投资组合：根据使预期收益率方差最小的风险资产的投资组合，是该投资组合的预期收益率与其中每