经典风险模型破产概率及其局部渐近解.pdf

第卷第期 应 用数学 学报 年月 , 江 , , 经典风险模型破产概率及其局部渐近解 廖基定 中南大学数学与计算技术学院 , 长沙 南华大学数理学院 , 衡阳 龚日朝 ” 湖南科技大学商学院 , 数量经济与技术经济研究所 , 湘潭 , 邹捷中刘再明 中南大学数学与计算技术学院 , 长沙 摘要 本文首先研究了分布族 。 全和分布族, 闪的一些相关性质 , 然后研究了经 典风险模型在调节系数不存在而且索赔分布尸 闪 , 的悄况下破产概率的一个渐近结果以及破 产概率局部解的渐近结果 关往词 闪分布族 风险模型破产概率 主肠分类 中图分类 引言 本文约定对于一个具有期望 户 和分布州 二 兰 的随机变量仁 。 其尾分布记为歹 二一 , 平衡分布记为 二 。一 了对于任意实函数 , 夕 , 用 夕 表示 公 寸,招 在风险理论研究中破产概率研究是一个非常重要的课题 份 一 模型 则是现代风险理论中最经典的模型之一 , 具有如下结构【 一 本文年月 日收到 年月 日收到修改稿 湖南省科技计划重点项目 , 教育部人文社科规划基金 以扣 , 湖南省教育厅育年墓金 和一般科研基金 , 湖南省社科基金资助项 目 申 通讯作者 期廖基定 , 龚日朝 , 邹捷中 , 刘再明经典风险模型破产概率及其局部渐近解 索赔额凡 , 葱二 , , 构成一个独立同分布的非负序列 , 共同分 布为和有限期望 拼 索赔发生的间隔时间 , 葱 , , 也是一的非负序列 , 共同分 布是参数为 入 的指数分布记几 三十十 人 , 二 , , 为索赔时刻序 列显然 , 在时间段 , 中发生的次数 亡 即 全 几 丛亡 , 是一齐次过程假设其与凡 , 乞全 独立 , 艺 假设单位时间里保险公司所收取的保费为常数 。 于是 , 根据卜 , 定义风险过程 亡 一 艺凡 一 , 列 葱 通常称之为标准 公 一 风险模型或经典风险模型不失一般性 , 本文假设 三 , 而且进一步假设相对安全负荷条件 二 一入拌 户 成立在此条件下 , 运用大数定律可以证明 , 。亡 , 亡 。 从而 , 的分布函数 二尸 三司是一个以 , 为支撑的正常分布函数 设保险公司的初始资本为 二 全 于是 , 破产概率可以通过风险过程 。 , 定义为 喇 三尸二豆 称满足 丈 “, “一 的常数为风险过程的指数或调节系数 , 其中功 二一 , 兰好 注意到与相互独立 , 可得到 。,一一“ 尤 一 “ “,“ 一 。, 尤 一 “ “, , 于是 , 方程变为 一尸 一 夭 十 厂 了 扣 这一方程可参见【或冈由此可以看出本文所讨论的经典风险模型调节系数的存在性 就完全取决于索赔分布的性质 应用数学学报卷 如果记索赔分布的矩母函数场间 的最大收敛区间为 一 , 显然 有 全 众所周知 , 方程在 一 , 司内至多存在一个正根如果这一正根存在 , 则其就是调节系数 , 本文记为 在调节系数存在的情况下人们对经典风险模型进行了非常深刻的研究 , 取得很多经 典性的成果 , 见 一 但在调节系数不存在的情况下研究相对比较少然而 , 近几年也 开始受到人们的关注 , 取得了一些经典性成果 , 见, 一 对于后一种情形 , 根据 , 可以分为两种情况 一种是索赔服从重尾分布 , 即对 , 都有材户 二 成立 , 见 另一种是矩母函数的最大收敛区间右端点横坐标 。 , 且对 。, 有 关 十 “ 女 详细讨论可见本文关注调节系数不存在而且属于后者情形 , 且索赔分布属于分布 族,闪 , 时经典风险模型破产概率及其局部解的渐近等价关系间题 , 其中 局部解定义为 斌 , 十士十 一 斌诚 一 诚 十 , 回 分布族及相关性质 定义 , 称定义在 , 上的分布函数 任 。 全 , 当且仅当 蛋螃 一 “ 产 “到 叫 箫 一 以 对任意 成立 侧的当且仅当 满足上面中 注这一定义可参见 , 定义或 , 一个重要的特殊族是 , 记 为 , 就是重尾分布族中的次指数分布族类似地 , 侧 二 为重尾分布族中的长尾分 布族属于的 , 的一个典型分布就是满足 、 一。一 ” , 一 的分布, 其中属于的一个典型分布就是 。 分布 因为刁关于尾等价是封闭的 , 故可以假设 , 全 是绝对连续的因 此 , 可以证明其风险率函数 勺 少 若丁, 叶 , 叶 , 少 其中是的分布密度函数在引理的证明中将用到该结论 注刃族分布还具有如下重要性质对 。 , 有 小几习 一、, ”戈 另外 , 龚日朝 , 胡杏和龚日朝给出了如下性质 期廖基定 , 龚日朝 , 邹捷中 , 刘再明经典风险模型破产概率及其局部渐近解 性质如果 任 闪 , , 则对 , 存在常数 , 闪使得对一切 全 , 有 鲁 关 , 一 ”一 证记、 、 。 鬓典 , 则 一 矛芯, 尹 尸 ” 严了 万一 约 、 一 二二二一二 一 懊二二代甲 户 【 , 户,户 , 于是 , 对每一个 。 有 , 三 劣关 一 约 ,、 劣 一 户 亡 二 于 了 不石际一 约歹 一 约 、 一 一去尸 户 【 一 记 二三 命 , 变为 、 毛 尹 , 乙 “。 三 ,“, 一 名节六一 厂 因为闪 , 故对可选取 , 使得 、 寿 十 、 , 关 二 一 今 记 三 砂 到 一 十 , 显然 于是 , 根据递推式 , 立即得到 、, 一 , 二 其井共 。 一 、 井乒李、 一 一 、 一 令 三 十王表争 , 即得 的结果 定义 “ 称定义在 , 上且满足 “了 亡 的分布函数 。 全 族 , 当且仅当 片歹 一幻歹 洁一 、 坐 一一二一一一 亡亡 二 注闪 族是由尹传存首先在中定义的 , 但其特殊情形是最 初由如于年引入的一类重要的重尾分布族 , 其具有很多良好的性质 , 在应用概率中有着广泛的应用 , 有关细节请见降 , 另外 , 中引理证明了如下 性质 性质 。 冷 。 , 。 从上面几个定义可以看出 , 当 , 时 , 闪和闪都不是重尾分布族 , 因为 其矩母函数存在但是在经典风险模型下 , 如果索赔分布 闪调节系数是不存在 的在冈中称这一类分布介于轻尾分布和重尾分布之间 , 王岳宝等将之归结为轻 尾分布类 , 并给出了如下命题 应用数学学报卷 命属于轻尾分布等价于满足 溉 砂 了 一 对某个占成立 属于重尾分布等价于 而 护 歹对所有占成立 该命题的结论对于 闪 。 全 根据定义 , 显然成立下述性质 性质若 任 。 全。 , 则 歹 为证明引理的需要 , 下面给出胡杏和龚日朝中的一个性质 性质若 的 。 全 , 则对任意固定 , 晋 , 有 弓 二弓。 了 一 了 。一 丈 一 “ 歹“,“ 叶 月, 劣叶。 一 户 二一歹 叶 义劣叶。 万 一 歹 一了 公 二 主要结果 定理在满足安全负荷系数的经典风险模型下 , 如果索赔分布 任 。 , 而且满足 “ 女 矛儿 则破产概率具有如下渐近等价公式 马 任 归 代 , 、 一入川入 二 ,、 切吸工闪 一 妞工 一 、 “ 戈 一入 犷 “, 注该定理是龚日朝在年月由中南大学和北京师范大学联合举办的 氏过程及相关论题国际学术研讨会上交流成果之一 定理在满足安全负荷系数的经典风险模型下 , 如果索赔分布 , , 而且满足 “, 釜 , 月 了儿 则破产概率的局部渐近等价公式为 , 人 一入“、一 、 、 劣 , 劣十名 、 一二,一一二下二尸 户 “ 一 拼 犷 , 亡 其中 期廖基定 , 龚日朝 , 邹捷中 , 刘再明经典风险模型破产概率及其局部渐近解 注这两定理的结论也可以从黄宝安和尹传存定理和中推出 , 只要 取该中定理的条件 入 , 并注意到 无 约 , 抓 以及经典风险模型梯 高分布 , 通过计算即可得到我们的结论但是 , 本文所采用的方法与【 是完全不一样 的 , 他们是通过随机游动的理论来研究的 , 而我们是根据著名的公 式探究级数通项的性质 , 运用控制收敛定理得到的 , 我们的结果更简洁 几个引理 引理若闪 。 , 则对任意整数 。 全 , 有 。 卜 豁 关 一 “。 ”一 证 运用归纳法 , 当 “一时 , 注意到。闭 一 器 升 州 弓见 ,有 , 凡 , 一 凡 、 畏二叮勺 ,二二,一一 二 二气了 “ , “ 拼 恤少 假设当 。 时成立 , 下证时也成立事实上 , 由于 厕 一 关 万一 , 兀 , 对任意固定的 , 晋 , 上式可写成 产产一 “ “, ,一 万 一, “, 人 可 一, 关万 一 兀 三 八八 下面首先讨论由假设显然可得到 , 以。劣叶。 。公弓以 矿两 一亡 凡 。 了 一 击关 一 , 一 叶 。劣研。 了 一 凡 , 于是 , 根据上式 , 并结合 , 立即得到 。 , 汉 , 凤习奇丈 一 , “ 其次 , 讨论几由假设 , 当充分大后 , 有 两一 , 合丈 一 卜 了 一 应用数学学报卷 故 概溉翁 一 恶 找 一 可卜 凡。 瓦 击关 一 卜 恶 溉 君 一滩了 一 尺 歹 于是 , 运用得 汕 , 。二叶“, 几 丽 最后讨论首先使用分部积分法 , 然后进行变量代换 , 可得 一 冈取卜取 一 砂 士 人 几 分别考虑和几根据定义 以及 腼会粤 二 杰 , 并运用得到 公叶其二 气二尸 叶“ 二叶。 劝 。二弓月父 歹布川瓦 二一 刃 瓦 无 一洲 再利用 , “ ,识 “ 略去证明 , 请见中式 , 可得 衬以 ,出 , 劝 弓 。二叶 矿兀 一 可 一 命关一 , “ 于是 叶国 二衬 。 一 命丈 已一 , “ 综合卜即可得到引理的结论该引理实质上是【引理的特例 引理若 , 则对 。 , 存在常数回 , 使得对一 切整数 。 全 和任意有 “ ” 。一 关 一 。 证 记 。 、 , 粤圣 手 , 引理蕴涵了 , , ,、 , ”一了 因此 , 。 , 利用 , 引理 的证明思路 , 首先证明如下递推关系 。一。 “ 关一 。 其中为与无关的常数由此递推关系 , 即可得到事实上 , 如果成立 , 则 一 ” 丈 一 。 ” 。一 。 ”一 。 “, 帆 一 期廖基定 , 龚日朝 , 邹捷中 , 刘再明经典风险模型破产概率及其局部渐近解 由于 。 , 显然 , 对有 “ , 根据上式 , 有 、 八 几 。 【 “ 户兹 又 丁,气尸认充一二厂二二 一丁 、产 气 “ 岁艺一 取 一回一“ 坏雨树而不 , 得到 一 三 , 关 一 ” 于是由立得到成立 下面来证明运用引理中对叮叶 的分解方法 , 即可叶 二 十 几 , 根据式 , 对 。 , 首先选取其中参数 , 晋 , 使得 护二一尹 人 了 一,“ ,丛 量 了 , “ “, 对一切 七。成立 然后根据定义的条件 , 选取 , 使得 一 约 浮 一蔫不二 一三石 夕 对一切 全 成立 考虑的界注意当时 , 有如下不等式 二,丁 至 一 万 二一 。己凡 页言 一 凡 二 坐一谁一一一互 二二, 一一 而当 全 时 , 根据式 , 万 一 则有 、。登巫塑旦 圣 里 。 十 昙、 。一 。 一 户 、。 结合以上两式即得 歹 。 昌 几 量 关 二 “ , 丈 一 “ “, 其次 , 对于几 , 由得 户 一 ,吕二二二, 、 , ,、 劣一二二 八 , 。 八 , , 岁了 伙劣一不厂不 甲 , 厂工一不厂 石 井一 二 二” 一一一毛, ,一一 幻 一 一 关 “ “ 等关 一 “ , 应用数学学报 至于乃 , 根据分两部分考虑 , 对人有 卷 死石兀 一 兀 一。 一 气 一 口 , 一一 人 一, 一一 其中 于是 。 恳金只孕 、飞 厂二 一 工 尸产 量 以碌万 而人满足 瓦 一 ” 立吐卫竖二 鱼 到 一 三 凡 几 兰 几 一, 一一 结合 一 可得 ” 瓦 几 了 。 关 一 “, , 了 二 令 一“ , 氢 了 , 此即为所要证的 , 引理 证毕 引理若 。 , 则对 , 。全 , 有 二迎型里 一 竺 一。一、 。 凡 、 ”一 , 少 拼“ “ 、 一 其中 几 , 几 一 证见【 , 引理 下面再给出一个引理 , 该引理应该归功于尹传存 , 然而 , 由于其证明过程中存在 一个小的间题 , 本文给予纠正 引理若闪 。 , 则对和 占 , 存在一个正常数天 二 占 , 使得 婴翁 土且 “ ,关 一 “, ”一, 七 证 记 。 互二 馨要 土三 , 劣 、工 由引理可推出 。 又利用【 的式得 一 歹 一了 一 公 一一 卜 。 歹 二一歹 出 对 占 , 我们可以选取使得 一 户 一了 几 一 一 关 “ 凡 , 期廖基定 , 龚日朝 , 邹捷中 , 刘再明经典风险模型破产概率及其局部渐近解 对所有成立另外 , 我们选取使得 侧 一 “, 对所有 全 成立并记 ” , , 严 一 严 、 走 ” 一 , 一 凡 、 忿十名一 主 几 首先讨论当 二 三 时 , 显然有 三而当 二 时 , 由有 一 关 “ 二 几 一 , 一 , 。 一 关 “ 了 一 , 。 歹 关 “ 一 “凡“, , 因此 至于 志 二 关 “ 二 “,了 , 其次 , 对于几 , 根据 , 有 一 关 “ 一“ 歹 一 。 鲁 了 关 “ 一 。 二一亡 , 一 习 ” 兰亘凡 一 , 尺 ” 三 石了 , 产 了儿 一 几 其中 其中 石 髻 二异 、认 厂【二 尸卢 于是 , 从 一 可得 习一 , 一 卜 “ 一 关 “ 一 卜 歹 , , 去 蔺 一 万 , 得到 一 三 几“ , 关 “ 一 凡“, 上面的推导过程和结果与【引理是完全一样的然而 , 【 中根据上 述递推关系得到的结论页倒数第行是 。 , , 凡 一 几 关 一 , 应用数学学报卷 这一不等式不够准确事实上 , 我们可以得到如下更准确的结果为了推导的方便 , 记 万句 砂凡 , 则以上不等式关系可表示为 。 三 , 于是可得到 几一 矛一 去头 二 由于显然有 补 , 因此取元一 孙 一 去 , 由上式立即可得、 三元矛 , 即有 矛一“ 关 一 。, 卜 也就是应该为 、 , 、 , , 二 八 。一 ” 戈 十 而不丽元筋厂 少 十 一 戈 “ 户 证毕 结果的证明 定理的证明根据著名的 叻 司 血 公式 , 得到 一一“。 艺 ,。 ” 由于 任 闪 , , 在经典风险模型下 , 二 必有 燕不劝 丈 一歹 , 畏 其证明可参见 于是 , 取引理中 。 满足 。 人拼 “, , 得到 艺 “ ”爵 三 愈 二,关 一 “ “,卜 根据控制收敛定理 , 结合引理中的式得到 塑 , 一一, 艺 。“ 二 瓦劝 一入户 界 、 夕 人科 二 或 、 件 亡 ”一 叨 一 如 、 几人拜 入 一入拼 , 一 一 一歹 一 一 期廖基定 , 龚日朝 , 邹捷中 , 刘再明经典风险模型破产概率及其局部渐近解 定理证毕 定理的证明根据著名的公式得到 , 一 叻 一 劝 一一入,。 ” 双 ” 一 了 “ 一 一 祠艺列 ”习“ , 于是有 工冲 , 一入拼答 、 刃 ” 一下 , 工, 几二二 、, 根据引理及控制收敛原理 , 得到 , 一一只 若 丁 一又 二 厂灭 一一“。 艺 。 ” 黑夔迎 公叶。 ,、 , 再由引理得 劣 申 , 劝 一入川入 一已一 艺 。 、关 一 凡, ”一 根据 艺 。, ”一 一, 一 , , 以及经典风险模型下 , 闪 。 且满足 砂 , 州约 入 一 等条件 , 有 如 “, 一 , 由此得 冲以 定理证毕 , 歹 全玉三 二鱼些里二二竺 ,一入。一 。 。 、 一 夕 , 致谢 非常感谢几位审稿人为本文提出的宝贵修改意见和指出的打印错误 , 此外还要感 谢武汉大学胡亦均教授年月在长沙举办的 马氏过程及相关论题国际学术研 讨会期间对本文的指导 参考文献 【 凡 笋丫 鳍 , , 位即 , 湘 此 目 帕 一, 应用数学学报卷 , 而 , , 即 , 】俪昭叩阮 , 旧 【 , 口 , 朋 七 , 唐启鹤重尾索赔下关于破产概率的一个等价式中国科学辑 , 叼 毛切 取 云 。乙 人。 , 一 龚日朝 , 邹捷中 重尾索赔下带干扰风险模型破产概率的局部解应用数学学报 , 托