微积分答案(上册)(刘迎东版)第六章答案合集.pdf

兼职赚钱，获得经验，得到知识！ tan,arctan; 2 ,. 2 A ta g tftat A t 则 g t 在arctan , 2 a 上 满 足 罗 尔 定 理 的 条件 ， 故 存 在arctan , 2 ta ， 满 足 2 tansec0g tftt ，故 tan0ft，取tanct即可。 方法二：设 limlim x xa f xf xA ，若在, a 上 f xA，则结论显然成立。否 则 存 在,xa 满 足f xA ， 不 失 一 般 性 ， 设f xA 。 由 limlim x xa f xf xA 可 得 存 在 1 xx且 接 近a， 2 xx充 分 大 满 足 12 ,f xf xf xf x 。 f x在 12 ,x x上的最大值必在 12 ,x x中达到，其点 设为c，必有 0.fc 29.设函数 f x在, r r上有n阶导数，且 0 lim, n x fxl 证明 n fx在0点连续。 证明： 11 000 0 0limlimlim. 0 nn nnn xxx fxf fflfx x 所以结论成立。 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ f ahf ah fahfah h （2）存在0,1，使得 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ f ahf af ah fahfah h 证明： （1） 对函数 g xf axf ax在区间0,h上运用拉格朗日中值定理即可。 （2）对函数 g xf axf ax在区间0,h上运用拉格朗日中值定理即可。 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 21 21 12212 6121 1 21 21 x xx xx xxxxxx xx xx 所以 22233 3 1. 21 x xxxxxxxx xx （5） 2 4 2 1 1 xx x xx 解： 2 223 23 2 2334244 11 1122 1111 12211222. xxx xxxxx xxxxxx xxxxxxxxx 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 2, 上， 0fx ，所以 ,0 , 2,为单减区间，0,2为单增区间；0 x 为极小值点， 2x 为极大值点。 （2） ln 1f xxx 解： 1 1 11 x fx xx ， 在1,0上， 0fx ；0,上， 0;fx 所以1,0 为单减区间，0,为单增区间；0 x 为极小值点。 （3） 2 3 0,0f xab xcab 解： 1 3 2 3 fxb xc ，在xc处导数不存在。,c上， 0fx ；, c 上， 0;fx 所以,c为单增区间，, c 为单减区间；xc为极大值点。 （4） x f xxe 解： 1 x fxe ，,0上， 0fx ；0,上， 0;fx 所以,0为单增 区间，0,为单减区间；0 x 为极大值点。 （5） lnf xxx 解： 111 lnln2 22 fxxx xxx ， 2 0,e上， 0fx ； 2, e上， 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 所以 2 0,e为单减区间， 2, e为单增区间； 2 xe为极小值点。 4.求下列函数的极值点与极值： （1） 2 /yxax 解： 2 2 1 a y x ，,a 上 0,y ,0a上 0,y 所以xa 为极大值点，极大 值为2 a。0, a上 0,y ,a 上 0,y 所以xa为极小值点，极小值为2 a。 （2） x yxe 解： 1 xxx yexex e ，,1上 0,y 1,上 0,y 所以1x 为极大值点， 极大值为 1 e。 （3） 2 1 lnyx x 解 ： 2 22 ln2ln2lnlnxxxx y xx ，0,1上 0,y 2 1,e上 0,y 2, e 上 0,y 所以1x 为极小值点，极小值为0。 2 xe为极大值点，极大值为 2 4 . e 5.确定下列函数的单调区间： （1） 32 26187yxxx 解： 2 61218631yxxxx。 在, 1 上 0y ，1,3上 0y ，3, 上 0y ，所以, 1 ，3,为单增区间，1,3为单减区间。 （2） 8 20yxx x 解： 2 8 2y x 。在0,2上 0y ，2,上 0y ，所以0,2为单减区间，2, 为单增区间。 （3） 32 10 496 y xxx 解： 2 2 32 10 12186 496 xx y xxx 。在,0上 0y ， 1 0, 2 上 0y ， 1 ,1 2 上 0y ， 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 3x 附近左降右升，得极小值 347;y （2）ln 1yxx 解： 1 1 11 x y xx ，0 x 附近左降右升，得极小值 00;y （3） 42 2yxx 解： 3 44411yxxx xx ，1x 附近左升右降， 得极大值11;y 0 x 附近左降右升，得极小值 00;y1x 附近左升右降，得极大值 11;y （4）1yxx 解： 12 11 1 2 12 1 x y xx ， 3 4 x 附近左升右降，得极大值 35 ; 44 y （5） 2 1 3 45 x y x 解： 2 2 32 2 2 5 3 451 3 125 45 45 45 x xx x x y x x ， 12 5 x 附近左升右降，得极大值 12205 ; 510 y （6） 2 2 344 1 xx y xx 解： 22 22 22 64134421 2 11 xxxxxx x x y xxxx ，0 x 附近左升右 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 附近左降右升，得极小值 8 2; 3 y （7）cos x yex 解 ： cossin xx yexex，2 4 xkkZ 附 近 左 升 右 降 ， 得 极 大 值 2 4 2 2; 42 k yke 5 2 4 xkkZ 附 近 左 降 右 升 ， 得 极 小 值 5 2 4 52 2; 42 k yke （8） 1 x yx 解： 1 2 1 ln x x yx x ，xe附近左升右降，得极大值 1 ; e y ee （9） 1 3 321yx 解： 2 3 2 1 3 yx ，没有极值。 （10）tanyxx 解： 2 1 secyx ，没有极值。 2.试证明： 如果函数 32 yaxbxcxd满足条件 2 30bac，那么这函数没有极值。 证明： 2 32yaxbxc，由于 2 30bac，所以 y定号，这函数没有极值。 3.试问a为何值时， 函数 1 sinsin3 3 f xaxx在 3 x 处取得极值？它是极大值还是 极小值？并求此极值。 解： coscos3fxaxx， 若 3 x 处取得极值， 必有 1 10 32 fa ， 解得2.a 又 2sin3sin3 ,3 3 fxxx f ，所以是极大值，3. 3 f 4.求下列函数在0,上的最小值： 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 解： 2 66yxx， 15,00,11,480.ffff 所以最大值为80,最小 值为5. （2） 42 82, 13;yxxx 解： 3 416yxx， 15,02,214,311.ffff 所以最大值为11,最 小值为14. （3）1, 51;yxxx 解： 1 1 2 1 y x ， 35 556,11. 44 fff 所以最大值为 5 , 4 最小值为 56. 7.问函数 32 26187 14yxxxx在何处取得最大值？并求出它的最大值。 解： 2 61218613yxxxx， 129,361,447,yyy 所以最大 值为 129.y 8.问函数 2 54 0yxx x 在何处取得最小值？ 解： 2 54 2yx x ，所以在, 3 上函数单减，3,0上函数单增，所以在3x 处取 得最小值。 9.问函数 2 0 1 x yx x 在何处取得最大值？ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 解： 2 2 2 1 1 x y x ，所以在0,1上函数单增，1,上函数单减，所以在1x 处取得最 大值。 10. 设 1, x af xaax在, 内的驻点为 x a。 问a为何值时 x a最小？并求 出最小值。 解： ln x fxaaa， 所以驻点为 lnln 1 ln a x a a 。 2 lnln1 ln a x a aa ， x a在1, e e 上单减，在 , e e 上单增，所以在 e ae处取到最小值 1 1. e 11. 求椭圆 22 3xxyy上纵坐标最大和最小的点。 解： 220 xyxyyy，当 0y 时，2xy，代入原方程得 222 243xxx， 得 1x ，所以纵坐标最大的点为1,2，最小的点为1, 2 。 12. 求数列 n n的最大项。 解：设 1 0 x yxx，则 1 2 1 ln x x yx x ，在0,e上y单增，, e 上y单减，所以数 列 n n的最大项必在2和 3 3中产生，比较后得最大项为 3 3。 13. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m长的墙壁。问应围成怎样的 长方形才能使这间小屋的面积最大？ 解：设垂直于墙壁的边长为x，则另一边长为202x， 202,010.S xxxx 204Sxx，在0,5上函数单增，5,10上函数单减，所以5x 时面积最大。 14. 要造一圆柱形油罐，体积为V，问底半径r和高h各等于多少时，才能使表面积最小？ 这时底直径与高的比是多少？ 解： 2 V h r ，表面积 22 2 222, V S rrrhr r 可计算得 2 2 4, V Srr r 所 以在 3 0, 2 V 上函数单减，在 3 , 2 V 上函数单增，所以 3 2 V r 时表面积最小， 此 时 3 4V h ，底直径与高的比是1:1. 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 15. 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆（图 6.19） 。截面的面积为 2 5m。问底宽x为多 少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？ 解： 2 5 8 x Sxy ，所以 5 8 x y x ，周长 10 2 24 xx l xxyx x ，计算 得 2 10 1 4 lx x ，在 10 0,2 4 上函数单减，在 10 2, 4 上函数单增，所以 10 2 4 x 时周长最小。 16. 设有质量为5kg的物体，置于水平面上，受力F的作用而开始移动（图 6.20） 。设摩擦 系数0.25，问力F与水平线的交角为多少时，才可使力F的大小为最小？ 解：cos0.25 5sinFgF， 1.25 cos0.25sin g F ， 2 1.25sin0.25cos cos0.25sin g F ，函数在 1 0,arctan 4 上单减，在 1 arctan, 4 2 上单 增，所以在 1 arctan 4 时力F的大小为最小。 17. 有一杠杆，支点在它的一端。在距支点0.1m处挂一质量为49kg的物体。加力于杠杆的 另一端使杠杆保持水平（图 6.21） 。如果杠杆的线密度为5/kg m，求最省力的杆长。 解：设杆长为x，则 54.9 49 0.15, 22 xgxg Fxgxg F x 2 54.9 2 gg F x ，在 0.1,1.4上函数单减，在1.4,上函数单增，所以求最省力的杆长是1.4 .m 18. 从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗（图 6.22） 。问留下的扇形的中 心角取多大时，做成的漏斗的容积最大？ 解： 22 32 222 2 1 4 32224 RRR VR ，计算得 323 2 22 83 24 4 R V ， 所以当 8 3 时做成的漏斗的容积最大。 19. 某吊车的车身高为1.5m，吊臂长15m。现在要把一个6m宽、2m高的屋架，水平地吊 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 到6m高的柱子上去（图 6.23） ，问能否吊得上去？ 解： 2 15sin3tan2 1.5,15cos3sechh， 所以当 3 1 cos 5 时吊得最高， 最高值为 3 3 1 153 510.5 25 ，此值大于6，所以吊得上去。 20. 一房地产公司有50套公寓要出租。当月租金定为1000元时，公寓会全部租出去。当月 租金每增加50元时， 就会多一套公寓租不出去， 而租出去的公寓每月需花费100元的维 修费。试问房租定为多少可获得最大收入？ 解 ： 设 房 租 定 为x， 则 收 入 1000 10050 50 x Ix ， 计 算 得 10001 50100252 505025 xx Ix ，所以1800 x 。 21. 已知制作一个背包的成本为40元。如果每一个背包的售出价为x元，售出的背包数由 80 40 a nbx x 给出，其中, a b为正常数。问什么样的售出价格能带来最大利润？ 解：40804080 40 a Ixbxab xx x ， 计算得 1202Ibx， 所以当60 x 时利润最大。 22. 有笔直的一条河流，河的一侧有,A B，,A B两地到河的垂直距离分别是, c d，其垂足 分别是,M N，设MNh。,A B两地为了用水，需在河边建一水塔，问建在何处能最 省水管？ 解 ： 设 水 塔 离M为x， 则 管 长 2 222 lcxdhx， 计 算 得 222 2 xxh l cx dhx ，所以当 ch x cd 时最省水管。 23. 轮船的燃料费和其速度的立方成正比， 已知在速度为10/km h时， 燃料费总计每小时30 元， 其余的费用 （不依赖于速度） 为每小时480元。 问当轮船的速度为若干， 才能使1km 路程的费用总和为最小？ 解：由 3 3010k得0.03k ，所以速度为x时燃料费为每小时 3 0.03x，1km路程的费用 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 32 11480 0.034800.03,C xxx xxx 计算得 2 480 0.06,Cxx x 所以当20 x 时 费用最小。 24. 在椭圆 22 22 1 xy ab 中，嵌入一内接矩形，矩形的对边分别平行于坐标轴，求使矩形有 最大面积时的边长。 解：设平行于x轴的边长为2h，平行于y轴的边长为2v，则 22 22 1 hv ab ， 2 2 1 h vb a ， 所以 2 2 41 h Sbh a ，计算得 2 2 22 2 22 22 8 4 414 11 hbh b h aa Sbbh a hh aa ，所以当边长为 2 , 2ab时面积最大。 25. 用某种仪器测量某一零件的长度n次，所得的n个结果分别为 12 , n a aa，为了较好 地表达零件的长度，取x使得函数 222 12n yxaxaxa 为最小，试求这个x？ 解 ： 1212 2222 nn yxaxaxanxaaa， 所 以 当 12n aaa x n 时y最小。 26. 设炮口的仰角为，炮弹的初速度为 0 /v m s，将炮位处放在原点，发炮时间取作0t ， 如不计空气阻力，炮弹的运动方程为 0 2 0 cos , 1 sin 2 xv t yv tgt 问：如果初速度不变，应如何调整炮口的仰角才能使射程最远？ 解 ： 由 2 0 1 sin 2 yv tgt得 运 行 时 间 为 0 2sinv g ， 所 以 射 程 为 22 00 2sincossin2vv x gg ， 2 0 2cos2v x g ，所以当 4 时射程最远。 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 6.6 函数图形的描绘 习题 6.6 描绘下列函数的图形： （1） 42 1 687 5 yxxx 解：1.定义域：, 。 2.无对称性和周期性。 3. 2 3 14 412812 55 yxxxx，得驻点为2,1.xx 4. 2 8412 12111 555 yxxxxx，得二阶导数的零点1,1.xx 5.没有渐近线。 6.列表如下： x , 2 2 2, 1 1 1,1 1 1, fx 0 fx 0 0 fx 单减凹图极小 17 5 y 单增凹图拐点 6 5 y 单 增 凸 图 拐点 2y 单 增 凹 图 （2） 2 1 x y x 解：1.定义域：, 。 2.奇函数，无周期性。 3. 2 2 2 1 1 x y x ，得驻点为1,1.xx 4. 22 4 2 213 1 xxx y x ，得二阶导数的零点3,0,3.xxx 5.有一条水平渐近线0y 。 6.列表如下： 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ x ,3 3 3, 1 1 1,0 0 0,1 1 1, 33 3, fx 00 fx 00 0 fx 单减凸 图 拐点 4 y 单减凹 图 极 小 1 2 y 单增 凹图 拐 点 0y 单 增 凸 图 极 大 1 2 y 单减 凸图 拐 点 3 4 y 单减 凹图 （3） 2 1x ye 解：1.定义域：, 。 2.无对称性，无周期性。 3. 21 21 x yxe ，得驻点为1.x 4. 222 2 1112 2412 241 xxx yexexxe ， 得 二 阶 导 数 的 零 点 22 1,1. 22 xx 5.有一条水平渐近线0y 。 6.列表如下： x 2 ,1 2 2 1 2 2 1,1 2 1 2 1,1 2 2 1 2 2 1, 2 fx 0 fx 0 0 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ f x 单增凹图拐点 1 2 ye 单增凸图极 大 1y 单减凸图拐点 1 2 ye 单减凹图 （4） 2 1 yx x 解：1.定义域：0 x 。 2.无对称性，无周期性。 3. 2 1 2yx x ，得驻点为 3 1 . 2 x 4. 3 2 2y x ，得二阶导数的零点1.x 5.有一条竖直渐近线0 x 。 6.列表如下： x , 1 1 1,0 0 3 1 0, 2 3 1 2 3 1 , 2 fx 无 意 义 0 fx 0 无 意 义 fx 单减凹图拐点 0y 单 减 凸 图 无 意 义 单减凹图极小 3 3 1 2 4 y 单增凹图 （5） cos cos2 x y x 解：1.定义域：,. 24 k xkZ 2.偶函数，周期为2。所以不妨只在区间0,上考虑。 3. 2 22 sin2cos1 sin cos22cos sin2 cos2cos2 xx xxxx y xx ，得驻点为0,.xx 4. 24 3 cos11 4cos4cos cos2 xxx y x ，得二阶导数的零点. 2 x 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 5.有竖直渐近线 3 ,. 44 xx 。 6.列表如下： x 0, 4 4 , 4 2 2 3 , 24 3 4 3 , 4 fx 无意义无意义 fx 无意义 0无意义 fx 单增凹图无意义单增凸图拐点 0y 单增凹图无意义单增凸图 （6） 23 3yxx 解：1.定义域：, 。 2.无对称性，无周期性。 3. 2 63yxx，得驻点为0,2.xx 4. 66yx，得二阶导数的零点1.x 5.没有渐近线。 6.列表如下： x ,0 0 0,1 1 1,2 2 2, fx 00 fx 0 fx 单减凹图极小 0y 单增凹图拐点 2y 单增凸图极大 4y 单减凸图 （7） 2 1 x yx x 解：1.定义域：1x 。 2.奇函数，无周期性。 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 3. 22 2 22 22 3 1 1 11 xx x y xx ，得驻点为0,3.xx 4. 2 3 2 23 1 x x y x ，得二阶导数的零点0.x 5.有竖直渐近线1x 。因为 22 1 limlim 11,limlim0 11 xxxx yx yx xxx ，所 以有斜渐近线.yx 6.列表如下： x ,3 3 3, 1 1 1,0 0 0,1 1 1, 33 3, fx 0 无 意 义 无 意 义 0 fx 无 意 义 0 无 意 义 fx 单 增 凸 图 极大 3 3 2 y 单减凸 图 无 意 义 单 减 凹图 拐 点 0y 单 减 凸 图 无 意 义 单 减 凹图 极小 3 3 2 y 单增凹 图 （8） 1 2 x yx e 解：1.定义域：0 x 。 2.无对称性，无周期性。 3. 111 221 xxx yxeexe，得驻点为 1 . 2 x 4. 1112 22 21221 2 xxx xxx yeee xx ，恒大于零。 5.有竖直渐近线0 x 。 6.列表如下： x ,0 0 1 0, 2 1 2 1 , 2 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ fx 无意义 0 fx 无意义 fx 单减凹图无意义单减凹图 极小 2 4 e y 单增凹图 （9）arctanyxx 解：1.定义域：, 。 2.偶函数，无周期性。 3. 2 arctan 1 x yx x ，得驻点为0.x 4. 2 222 22 112 1 11 x y x xx ，恒大于零。 5.因为limlim arctan, limlimarctan1 222 xxxx y xyxxx x ，所以有斜 渐近线1. 2 yx 因为limlim arctan, limlimarctan1 222 xxxx y xyxxx x ，所以有斜 渐近线1. 2 yx 6.列表如下： x ,0 0 0, fx 0 fx fx 单减凹图 极小0y 单增凹图 （10） 1 1 x y x 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 解：1.定义域：, 11, 。 2.无对称性，无周期性。 3. 2 1 1 1 x x y x ，得不可导点为1.x 4. 3 2 4 1 12 1 1 x x x y x 。 5.有竖直渐近线1.x 有水平渐近线1y 。 6.列表如下： x , 1 1 1, fx 无意义 fx 无意义 fx 单增凹图 0y 单增凸图 （11） 2 3 1yxx 解：1.定义域：, 。 2.无对称性，无周期性。 3. 211 333 21 152 33 yxxxxx ，得驻点为 2 , 5 x 导数不存在的点为0.x 4. 414 333 152 5251 939 yxxxxx ，得二阶导数的零点 1 5 x ，二阶导数不 存在的点0.x 5.没有渐近线。 6.列表如下： x 1 , 5 1 5 1 ,0 5 0 2 0, 5 2 5 2 , 5 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ fx 无 意 义 0 fx 0无 意 义 fx 单增凸图拐点 5 3 6 . 5 y 单 增 凹 图 极 大 0y 单减凹 图 极小 2 3 3 2 5 5 y 单增凹图 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 6.7 曲率 习题 6.7 1.求椭圆 22 44xy在点0,2处的曲率。 解： 2 820,8220 xyyyyy，在0,2处带入后得 0,2.yy 所以此点曲 率为2.K 2.求下列函数在指定点处的曲率： （1）双曲线4xy ，在点2,2处。 解 ： 23 448 ,.yyy xxx 在 点2,2处 ， 1,1.yy 所 以 此 点 曲 率 为 3 2 12 . 4 1 1 K （2）抛物线 2 4yxx，在其顶点处。 解： 42 ,2.yx y 在顶点2,4处， 0,2.yy 所以此点曲率为2.K （3） 33 cos,sin,xat yat在/4t处。 解： 2 2 /4 /4 /4 3 sincos tan1. 3 cossin t t t dyatt t dxatt 22 22 /4/4 sec8 3 cossin3 2 tt d yt dxatta 。所以此点曲率为 3 2 8 2 3 2 . 3 1 1 a K a （4） x yach a ，在点0,a处。 解： 1 ,. xx yshych aaa 在点0,a处， 1 0,.yy a 所以此点曲率为 1 .K a 3.求 22 3 ,3xtytt在1t 处的曲率半径。 解 ： 11 321 . 66 tt dyt dxt 2 2 2 1 1 1 1 2 612 t t d y t dxt 。 所 以 此 点 曲 率 为 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 3 2 1 18 12 . 37 37 1 1 36 K 曲率半径为 37 37 . 18 4.求阿基米德螺线ra的曲率半径。 解：参数方程为 cos , sin xa ya ，所以曲率为 3 22 2 2 3 2 2 2 cossincossinsincos2 sincos cossinsincos 2 1 aaaaaaaa K aaaa a 曲率半径为 3 2 2 2 1 2 a 。 5.求对数螺线 m rae 的曲率半径。 解：参数方程为 cos , sin m m xae yae ， cossin , sincos , mm mm xmaeae ymaeae ， 2 2 cos2sincos , sin2cossin , mmm mmm xm aemaeae ym aemaeae 所以代入公式得曲率为 2 1 1 m r ，曲率 半径为 2 1.m r 6.求lnyx的最大曲率。 解： 2 332 2 22 2 1 11 , 1 1 1 x x yyK xx x x ， 2 5 2 2 12 1 x K x ，所以最大曲率在 1 2 x 处达到，为 2 . 3 3 7.求曲线lnsecyx在点, x y处的曲率及曲率半径。 兼职赚钱，获得经验，得到知