金融风险管理Chapter_2财务风险管理的数理基础.ppt

,2,高素養的財務管理人才,現代的財務管理與風險管理的能力不僅需要財金專業的背景，更需要有嚴謹的數理思維訓練，尤其是新型交易工具與策略不斷推出，定價與分析大量資料以評估風險等的能力，需要具備非常好的數理與統計的基礎。具有堅實計量分析基礎的頂尖商業人才再加上嚴謹的數理思惟訓練，已成為華爾街身價最高的搶手貨。大量利用如火箭科學（RocketScience）般艱澀的數學觀念與技巧運用在金融產品上，因此顛覆了傳統的比例分析等簡易的投資分析方法，而成為現今金融分析的主流。,3,2.1隨機過程與機率分配之建立,隨機變數（RandomVariable）：序列中任一時刻所觀察到的值卻是不確定的。時間數列（TimeSeries）：隨機變數隨著時間的經過，可以形成一組序列資料，此一跟時間有關而產生的資料。隨機過程（RandomProcess）：這些無法預知的數字稱為隨機變數，產生的過程則稱隨機過程。,4,機率三項公理,，：表示機率的數值一定會大零於或是等於零，絕對不會有負值。：所有結果出現機率的加總必為一。若(A與B為互斥事件)，則，。,5,機率分配函數,又可分為間斷（Discrete）與連續（Continuous）兩種型態。若函數滿足下列性質(間斷型)：，其中則稱函數為隨機變數的機率質量函數（ProbabilityMassFunction，P.M.F）。,6,機率分配函數,若函數滿足下述性質(連續型)：，其中稱函數為隨機變數的機率密度函數（ProbabilityDensityFunction，P.D.F.）。累積分配函數（CumulativeDistributionFunction，C.D.F.）：,7,2.2基本的敘述統計量,母體平均數與變異數樣本平均數與樣本變異數偏態與峰態共變數與相關係數,8,2.2.1母體平均數與變異數,基本統計量了解資料的特性：平均數（Mean）、變異數（Variance）、偏態係數（CoefficientofSkewness）、峰態係數（CoefficientofKutosis）。母體：描述隨機變數的真實性質。樣本：藉著分析樣本資料來推斷母體的特性。,9,母體平均數（PopulationMean）,若為離散型，則若為連續型，則,10,母體變異數（PopulationVariance）,若X為間斷型，則若X為連續型，則,11,2.2.2樣本平均數與樣本變異數,樣本平均數（SampleMean）定義為：樣本變異數定義（SampleVariance）為：s2開根號後取正根稱為標準差，以s表示。,12,表2.1資產年底可能價值,13,例子(根據表2.1),所以標準差為：,14,變異係數（CoefficientofVariance）,比較兩個隨機變數的標準差或變異數時，會因為兩者的單位不同而無法比較，變異係數（CoefficientofVariance，C.V.）可以避免這樣的問題。用以表示每一單位報酬所帶來的風險，也是可以用來衡量不同投資之標的之間相對風險的指標。,15,2.2.3偏態與峰態,偏態係數可用以瞭解投資獲利與損失的機會是否相等，兩者會不會有顯著差異。若隨機變數為間斷型，則：母體偏態係數若隨機變數為連續型，則：母體偏態係數,16,樣本偏態係數,偏態係數以表2.1為例，其樣本偏態係數為：偏態係數=,17,峰態係數,用以測量資料分佈形狀峰度有多高，因此可用以衡量風險集中密集的程度。若隨機變數為間斷型，則：母體峰態係數若隨機變數為連續型，則：母體峰態係數,18,峰態係數(樣本),樣本峰態係數=例子(表2.1)樣本峰態係數=,19,2.2.4共變數與相關係數,共變數(Covariance)可用以瞭解兩隨機變數x與y之間的關係。相關係數（CorrelationCoefficient），相關係數不受單位變化影響，一般以希臘字母表示與之間的相關係數。相關係數其值均介於（-1,+1）之間。,20,N種變數組合之平均數與變異數,組合平均數，以表示：，表示資產價值佔總產價值之比例。包含n種變數之組合變異數，以表示：，,21,2.3風險管理常見的分配函數,常態分配卡方分配Studentt分配對數常態分配,22,常態分配（NormalDistribution）,常態分配在分析上較易處理，僅需要平均值與變異數就可以表達。常態分配的圖形為鐘形曲線，具有對稱性。根據中央極限定理（CentralLimitTheorem），使得在抽樣的樣本夠大時，常態分配可做為大樣本的近似分配。許多資產報酬率假設分配的第一選擇。,23,常態分配之機率分配函數,機率分配函數：表示變數的機率密度函數，其值由x、及所決定。因此整個常態分配的形狀只需要平均數與標準差就可以表達。稱為位置參數，可以影響圖形中心的位置；則為尺度參數,，愈大表圖形散的愈開（通常也意味著波動越大）。,24,常態分配之偏態係數,常態分配之偏態係數為0。若偏態係數大於零，則稱該機率分配正偏態或右偏態（SkewedtotheRight），意味機率分配圖形往右延伸，而且出現的結果多分布在平均數的左側；反之，若偏態係數小於零，則稱該機率分配負偏態或左偏態（SkewedtotheLeft），意味圖形往左延伸，而且出現的結果多分布在平均數的右側。,25,偏態效果：右偏態與左偏態（與常態分配比較）,26,常態分配之峰態係數,常態分配之峰態係數為+3。再以峰態係數而言，是次數分配曲線與常態曲線比較，是較為尖峻或平坦（參見圖2.5），若當分配之峰態係數大於常態分配的3時，便稱該分配具有高狹峰（Leptokurtosis）或有厚尾（Fat-Tailed）的現象，此時極端事件出現的機率比常態分配預測的要來的高；反之，若分配之峰態係數小於常態分配的3時，便稱該分配具有低闊峰（Platykurtosis）或有窄尾（Thin-Tailed）的現象，此時極端事件出現的機率比常態分配預測的要來的低。,27,峰態效果：高狹峰與低闊峰（與常態分配比較）,28,標準常態分配,然而為了避免處理不同常態分配而擁有不同參數的研究困難，可以近一步將常態分配轉換。常態分配的優點是不論其平均數和標準差之值為何，均可經過標準化的變換，轉換成平均數為0和標準差為1的標準常態分配。標準化：分配函數變成為：,29,圖2.6標準常態分配區域圖,值,30,2.3.2卡方分配,將標準常態分配加以平方後所得到的機率分配，以來表示。假設個獨立之常態隨機變數，其平均數分別為，變異數為，所以：則稱隨機變數是自由度為n的卡方分配，其平均數，變異數。,31,卡方分配的性質,卡方分配為常態分配平方，故其值永遠為正。當自由度越來越大時，分佈將會越來越趨近常態分佈。,32,2.3.3Studentt分配,假設X與Y為獨立之隨機變數，分別服從標準常態分配N(0,1)與自由度為的卡方分配，則下列隨機變數被稱做是具有自由度n的t分配（tDistributionwithnDegreesofFreedom），一般以tn表示：,33,利用t分配,母體服從母體變異數未知且為小樣本時，則：其中：,34,圖2.8t分配與標準常態分配之機率分配圖形,t分配相較於常態分配而言具有厚尾的特徵，且隨著樣本數目n越大，t分配將越來越接近常態分配。,35,2.3.4對數常態分配,如果xlognormal，則lnxnormal。如果xnormal，則exlognormal。對數常態分配的機率分配函數：,，,，,36,2.4信賴區間與信賴水準,在給定水準之下，信賴區間可以用來預測未來事件發生可能範圍。信賴區間的表示方法：信賴水準（ConfidenceLevel）則進一步提供了精確的預測值，而非一個區間。,37,2.5蒙地卡羅模擬法,是一種數值研究方法，主要是利用隨機取樣（RandomSampling）的方式來模擬隨機變數的機率分配，進而取得一些重要的參數。該法可以模擬未來特定期間下，對可能發生之不同情境與其相對應之資產價格可能變化，利用一個隨機過程來重複模擬，以建立投資組合於未來特定期間之損益（或報酬）的分配，因此特色就是不需要就隨機變數的統計分配預先加以假設或預測。,38,2.6迴歸分析,相關與簡單迴歸分析判定係數與檢定多重迴歸分析,39,2.6.1相關與簡單迴歸分析,簡單迴歸模型首先假設X與Y之間符合下列線性關係：估計方程式：運用此方法之前仍需滿足下列幾個條件：-因變數y與自變數x之關係是直線的。-殘差與自變數之間互相獨立。-自變數為已知，而且非隨機（Nonstochastic）。-殘差項具有期望值為0、常態分布、獨立及變異一致性。,40,普通最小平方法,尋找儘量使得下列的殘差平方和（SumofSquaredError，SSE）為最小值的方法：利用OLS:,41,2.6.2判定係數與檢定,R2的值可以滿足R2。R2愈高代表配適度較佳，也就是迴歸模型有較高的解釋與預測能力。計算方式如下式：,or,42,的兩個性質,因為真實的母體殘差變異數不容易得到，因此以樣本殘差變異數（SampleResidualVariance）代替，的計算方式為：,43,檢定是否顯著異於零,0=010為符合自由度為n-2的t分配，故只要計算：查表之後，如果我們發現檢定t值是顯著異於零的話，則表示因變數Y與自變數X兩者之間具有顯著的統計相關程度，因此就要拒絕虛無假設H0。,44,2.6.3多重迴歸分析,多重線性迴歸模型表示如下：超過一個以上的自變數，因此需要一個額外的假設：自變數之間沒有線性相關的問題，而且樣本的個數要大於估計的參數數量。