风险理论 第2章_个体风险模型.ppt

第2章个体风险模型,本章讨论保险人风险组合的总索赔额的分布函数。,总索赔（随机变量的和）的分布要用卷积，因此非常麻烦。常用到均值，方差，矩母函数，特征函数，母函数等。有别于中心极限定理的近似方法。风险随机变量往往不能用纯离散和连续随机变量来刻画。因此常用Riemann-Stieltjes积分。,2.1引言,2.2混合分布和风险,本节我们讨论保险风险的一些实例.由于纯离散随机变量和纯连续随机变量都不能描述这种风险，所以我们必须先拓展分布函数类,根据概率论的知识，任何一个分布函数都满足,离散型的随机变量,连续型的随机变量,在概率论中所学到的所有的随机变量要么为离散型要么为连续型，几乎无一例外然而保险领域却不总是这样许多被用来模拟保险理赔支付的分布函数有连续增长的部分，同时也有离散的、正的跳跃部分,设Z代表某个保单的理赔支付，则有三种情况：保单合同无理赔，因此Z=0.保单合同的索赔数额大于最大的保险金额M，则Z=M.保单合同产生正常的索赔数额，则0Z0,2.4变换,随机变量的矩母函数与分布函数一一对应。,如果X和Y相互独立，则,对于某些具有重尾的分布，如柯西分布，其矩母函数不存在但是特征函数总是存在的特征函数定义为,利用展开式可以得到,随机变量的特征函数与分布函数一一对应。,所以X的k阶矩等于,概率母函数（pgf）仅用于取值为自然数的随机变量，定义为,累积量母函数（cgf）其定义为,随机变量X的偏度定义为,其中,累积量母函数、概率母函数、特征函数和矩母函数之间有如下的关系：,2.5近似分布,这样，我们就可以用下式来逼近的分布函数：,例2.5.3（两种不同的近似）,假设1000个男性年轻人购买了保险期间为一年的保单每个投保人在一年内死亡的概率为0.001，且死亡发生的理赔支付为1.我们要计算这批保单总的理赔支付至少为4的概率。,(3)正态近似,正态在这种情形下的估计很差！,选择伽玛分布的理由,伽玛分布包含了常见的一些分布，如指数分布G(1,)，卡方分布(k/2,1/2)等。伽玛分布是不对称的，右拖尾分布。与保险精算中的风险的分布往往具有类似的性质。,密度函数：,矩及偏度：,矩母函数：,平移伽玛近似可以表述如下：,=0.01,Y（4，0.002)2*0.002Y2(8),NP近似,对分布函数作展开，考虑分布的偏性而得到的一种近似的计算方法。,等价于，当时，,例2.5.8（用NP近似重新计算例2.5.5）我们用（2.62）决定资本量，以使资本以95的概率不小于理赔额S:,S的95的分位点为,我们对和应用（2.63）,2.6应用：最优再保险,一个保险人希望对20000份一年期寿险保单寻求一个最佳再保险，这批保单按保险金额可以分为以下三种：,保险人希望通过对最佳自留额的选取，即每份保单的最大支付，尽量提高其在业务运营中能够满足其财务职责的概率一次理赔中扣除自留额以外的剩余部分是由再保险人支付,例如，对于1.6的自留额，保险金额为2的某个被保险人死亡，该保险人赔偿1.6，再保险人赔偿0.4收到保费后，保险人持有资金B以应付理赔和支付再保险保费再保险保费是净保费的120%.,首先，置自留额为2，从保险人的角度看，保单是如下分布,保险人总的理赔数额S的均值和方差分别为,由中心极限定理，我们得到成本超过可用资