从近两年高考谈用数学归纳法解物理高考题第一期.pdf

2 0 0 9年第 4期 河北理科教 学研究 考试指导 从近两年高考谈用数学归纳法解物理高考题 湖北省阳新县高级 中学柯岩4 3 5 2 0 0 湖北省阳新三中 龚介群4 3 5 2 0 0 理科综合物理学科 的考试说 明要求学生 加强应用数学知识处理物理问题的能力 ，如 利用函数关系、不等式关系、判别式法求极 值问题 ，将物理现象抽象转化为数学表达式 求轨迹问题 ，用数学归纳法思想写出多过程 问题的通式再用数列知识求解等 纵观 2 0 0 7 、2 0 0 8两年物理高考 中连续 出现 “ 多次作用”问题 所谓 “ 多次作 用” 问题 ，是指在某些物理过程中，系统内物体 间存在着多次不 同的相互作用过程 的问题 ， 求解这类问题 ，往往需要使用数学归纳法先 总结出规律或先推导出一个通式 ，然后在此 基础上求 出问题 的解 下 面举 几例并作 剖 析 ，旨在说明数学归纳法在 “ 多次作用”问 题中如何应用 例 1( 2 0 0 7全 国 理综 卷 I 2 4 )如 图 1 所示 ，质量为 m 的由 绝缘材 料制成 的小球 与质量为 M =1 9 m 的 金属 球并排 悬挂 现 、 、 、 、 、 将绝缘球 拉至与竖 直 图 1 方向成 0=6 0 的位置 自由释放 ，下摆 后在 最低点与金属球发生弹性碰撞在平衡位置 附近存在垂直于纸面的磁场已知 由于磁场 的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最 低点处 求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直 方 向的最大角度将小于 4 5 。 分析 ： “ 自由释放 ”意味着刚释放时初 速度为零 ；“ 金属球将于再次碰撞前停在最 低点处” ，说 明每次碰前金属球都静止通 过读题概括出题 目的三个主要过程及其中遵 循的规律 ：过程一 ，绝缘小球释放后 向下运 动过程 ，机 械能 守恒 ；过程 二 ，两 小球 碰 撞 ，动量和动能都守恒 ；过程三 ，绝缘小球 到最高点再返 回，机械能守恒 以后重复以 上过 程 解答 ：设小球 m 的摆线长度为 Z ，小球 m在下落过程 中与 相碰之前满足机 械能 守恒 m ( 1 一c o s O ) = 1 mv 0 m 和 M 碰 撞过程满足 my o =M V +mv l ， 1 mv 0 = m l 2 + 2 ，联 立 上 式 得 1： 。说明绝缘小球被反弹，而此后绝 缘小球又以反弹速度 和金属小球 发生碰 撞 ，满足 my l =M V l +my 2 ， 1 mv 1 2 = 1 m ：2+ 1 。 2 ， 解 得 ： = l Y l I ， 整 理 得Y 2 = 一( 等 ) 。 ， 所 以V n = I( 0 】 4 7 2 0 0 9年第 4期 河北理科教学研究 考试指导 而偏离方 向为 4 5 。 的临界速度满足 mg f 1 ( 1 一 c o s 4 5 。 )= 1 my l豳 界 ，联立以上算式代 人数据解得 ，当 n=2时， 2 临 界，当 n = 3时 ， 3 1 ) 断开轻 绳 ，棒 和环 自由下 落假设棒 足够长 ，与地 面发生 碰撞 时，触 地时 间极 短，无动能损失 棒在整个运动过程中始终 保持竖直 ，空气阻力不计求 ：( I )棒第一 次与地 面碰撞弹起上 升过程 中，环 的加速 度 ；( 2 )从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞 的瞬间，棒运动 的路程 S；( 3 )从断开轻绳 到棒和环都静止 ，摩擦力对 环及 棒做 的总 功 分析： “ 无动能损失”说 明棒与地碰撞 后以原来的速率反弹 ；“ 棒足够长”说明环 始终未着地第 ( 1 ) 、( 2 )问只要选准研究 对象 ，分析环棒与棒的运动过程 比较容易解 出第 ( 3 )由于不知道棒到底与地面碰 多 少次，但题 目中出现与次数、个数等有关的 48 问题 ，常考虑 用归 纳法解 解答 ：( 1 )设棒第一次上升过程中，环 的加 速 度 为 a T，环 受 合 力 F 环=k mg mg ，由牛顿第二定律 F 环=m0 环，由上式 得 n 环= ( k一1 )g ，方向竖直向上 ( 2 )以地 面为零 势能面 ，向上为 正方 向，棒第 一次落地 的速 度大小为 ，由机 械能守恒 2 my 1 2 =2 mg H 解得 ： l = 2 g H，设棒弹起后的加速 度为 a T，由牛顿第二定律 0 环= 一 ( k+1 ) g ，棒第一次弹起的最大高度 日l =一 ， 解得 H = ，棒运动的路程 s = +2日1= 日 ( 3 )棒第一次弹起经过 t 时 间，与环 达到相同速度 I ，环 的速度 1 1 =一 l + a T t 1 ，棒 的速度 I r = l +0 环t l ，环 的位 移 环 1 =一 l f 1 + 告n 环f 1 ， 棒的位移 棒 l = 1 1 + 1 0 棒 l ，相对位 移 1 = 环1 一 h 棒l ，解得 X I ：一 ，棒环一起下落至地 z y l 2 = 2 g h 棒 。 ， 解 得U 2 = 同 理 ，环第二次相对棒的位移 2 = 环 2 一 棒 2 ：一 ：一 ， 环相对棒 的总位 一 一 n 一 、 日 0 俘 廿 移 = l + 2+ + n+， W = k mg 得 W=一 点评 ：在解题 的过程中，同学要 自己独 立地探究环与棒的相对位移的规律 ，这就是 归纳法解题 例如本例中用牛顿定律和运动 学公式，根据物理规律写出方程式 ，求解出 2 0 0 9年第 4期 河北理科教 学研 究 考试指导 第 1 个物理 过程 的解 ，本例 中的 ，然后 根据 第 2 、3个 物 理过 程 的结 果 ( 如 2 、 s) ，找 出其 中的规律 性 ( ：= ， 。 = 等 ， 等 ) ， 列 出 递 推 公 式( 如 = 等 ) ， 最后根据递推公 式求解未知 量 ，如 ： + 2 + + +这是第 ( 3 )问的一 种常规解法不过 ，若能考虑到最终棒和环 会静止 ，就能把多次作用过程看成一个全过 程 ，用能量守恒定律得到另一便捷解法 解法二 ：设环相对棒滑动距离为 Z ，根 据能 量 守 恒 有 mg H + mg ( + Z ) = mg Z ，摩 擦 力 对 棒 及 环 做 的 总 功W = 一Ii mg z ，解得 W：一2 k mg 1 H 例 3 ( 2 0 0 8 年高考四川 卷理科 综 合 能 力 测 试 2 5 题 )如 图 3所示一 倾角为 =4 5 。 的斜 面固定 于地面 ，斜 面顶端离地面的高 图3 度 h 0 =1 m，斜面底端有一垂直于斜面的固 定挡板 在斜 面顶端 自由释放一质量 m = 0 0 9 k g 的小物块 ( 视为质点 ) 小物块与斜 面之问的动摩擦因数 =0 2 当小物块与 挡板碰撞后 ，将以原速返 回重力加速度 g = l O m s 在小物块与挡板的前 4次碰撞过 程中，挡板给予小物块的总冲量是多少? 分析 ：“ 自由释放”意味着初速度为零 ； “ 以原速返 回”意味着每次下滑与挡板相碰 再返回，小物块 在斜 面上 的受力情况相 同， 只是每次下滑时的高度 由于 “ 摩擦生热”而 降低不防先求出第一、二次下滑与档板相 碰过程档板小物块动量的变化 ，由动量定理 得出一 、二次挡板对小物块的冲量表达式 ， 观察有无规律可循 若有规律 ，看能否写出 通 式 解法一 ：设 小物块从 高为 h处 由静止 开始沿斜 面向下运动，到达斜面底端时速度 为 由功 能 关 系 得mg h= 1 my + mg c o s O ，以沿斜面向上为动量的正 方向按动量定理 ，碰撞过程中挡板给小物 块的冲量 ，=mym ( 一 ) ，设碰撞后 小物 块 所 能 达 到 的 最 大 高 度 为 h ，则 专 m = m g h + m g e 。 s ， 同 理 ， 有 mg h = m + mg c 。 s 0 ， = my 一m ( 一 ) ，式 中 为小物块再 次到达斜面底端时的速度 ， 为再次碰撞过 程中挡板给小物块的冲量 由式 得 ， ， = k I (D ， 式 中 Jj = 詈 ， 由 此 可知，小物块前 4次与挡板碰撞所获得的冲 量成等 比级数 ，首项为 ， l = 2 m2 g h 0( 1 一 c o t O ) ，总冲量为 ， = ， l +， 2 +， 3 +， 4 ：， l( 1 +k+k 2 +k ) ， 由 1+ + + = 得 ，= 2 m 、 r 瓦 丁 = ， 代 人 数 据 得 ，： 0 4 3( 3+ 6 )N s 解法二 ：设小物块从 高为 h处 由静 止 开始沿斜面向下运动 ，小物块受到重力 ，斜 面对它的摩擦力和支持力 ，小物块 向下运动 49 2 0 0 9年第 4期 河北理科教学研 究 考试指导 的加速度为 a ，依 牛顿 第二定律得 m g s i n 0 一 g c o s 0=m0 ，设 小物块与挡板碰撞 前的速度为 ，则 =2 a ，以沿斜 面向上为动量的正方 向按动量定理 ，碰撞 过 程 中 挡 板 给 小 物 块 的 冲 量 为，= mum ( 一 ) ，由 式 得 ， = 2 m 2 g h ( 1 一 c o t 0 ) ，设小物块碰撞后 沿斜面向上运动的加速度大小为 。 ， 依牛顿 第二 定 律 有 mg s i n 0一 mg c o s 0=m。 ， 小物块沿斜面 向上运动的最大高度为 h = U - s i n 0 (，由 式得 h =k 2 h ，式 中 =v tt a n 0 + - “ z ( ) ，同理，小物块再次与 挡 板 碰 撞 所 获 得的 冲 量 ， = 2 m 2 g h ( 1 一 l c o t 0 ) ，由 式 得 ， = ， ，由此可知 ，小物块前 4次与挡板 碰撞所获得的冲量成等 比级数 ，首项为 ， = 2 m 2 g h 0( 1 一 l c o t 0 ) ，总冲量为 ， ： ， 1 +， 2 +， 3+， 4=， l ( 1+ + 2+ ) ，由 1 + + + + = ，得 ， = 2 m 二 ，代人 数据得 ， =0 4 3 ( 3+ 6 )N- s I 点评 ：以上第 一种方法 是用 能的观点 解 ，第二种解法是用力和运动关系解 ，这两 种方法学生都较熟悉求解的关键是能用数 5 0 学归纳的思想 写第 7 , 次小物块 与挡板相碰 的通式 ，然后用数列知识求和 小结 ：1 数学作为工具学科 ，其思想 、 方法和知识始终渗透贯穿于整个物理学习和 研究的过程中，为物理概念、定律的表述提 供简洁、精确的数学语言 ，为学生进行抽象 思维和逻辑推理提供有效方法为物理学的 数量分析和计算提供有力工具中学物理教 学大纲对学生应用数学工具解决物理问题的 能力作 出了明确要求 2 高考物理试题的解答离不开数学 知 识和方法的应用 ，借助物理知识渗透考查数 学能力是高考命题的永恒主题 可以说任何 物理试题的求解过程实质上是一个将物理问 题转化为数学问题经过求解再次还原为物理 结论的过程 3 凡涉