偶数P级数与相关级数的求和递推公式.pdf

第2 1 卷第6 期 2 0 0 8 年1 2 月 高等函授学报( 自然科学版) J o u r n a lo fH i g h e rC o r r e s p o n d e n c eE d u c a t i o n ( N a t u r a lS c i e n c e s ) V 0 1 2 1N o 6 2 0 0 8 高职高专教学 偶数P 级数与相关级数的求和递推公式 吴亚敏 ( 鄂东职业技术学院湖北黄冈4 3 8 0 0 0 ) 摘 要：利用函数，( z ) = z 在L O 丌j 上的付星叶级教展开式和函数的特点给出四类级数 蚤击蚤击圣与乒圣高寻斋的隶和递推公式和相互关系。其中： 蚤嘉，蚤若茄的递推公式中分别不涉及到贝努利数和欧拉数。 1 】 关键词：付里叶级教；运项积分；和函数，递推公式I 内积 中图分类号：0 1 7 4 2 I文献标识码：A交童编号：1 0 0 6 7 3 5 3 ( 2 0 0 8 ) 0 6 0 0 3 9 0 3 为了讨论方便不妨记口z m2 蚤嘉，既m 一 蓦面b 心。= 薹譬， - = 薹器 其中m 为自然数 1 坑一2 蚤赤射z 井- 一 妻l i r a | 器的求和递推公式 引理( 1 ) 蚤赤c o s ( 2 1 ) 一 岛。一阮c 一”着+ 以( 一。，若+ + ( - - I ) 川6 z 赢岛- F ( - 矿高 ( O z 7 【) ( i ) 茎南s 嗽2 n - - 1 ，z 幽。z 一 6 z ( 葑+ 6 2c 一爵+ + ( 钏m - - I b 2 南 + ( 一胪高( 。z 丌) ( 2 ) 证明对m 进行数学归纳法证明 ( 1 ) 当m 一1 时，将，( z ) 一z 在 O ，7 【 上展 开成余弦函数的付里叶级数 2 1 ： z = 詈一鲁耋面杀c 。s c 2 n - - 1 ，z z2i i 刍西i 可5 k ( 0 z 7 【，下同) 茎d 奇c o s ( 2 n - - 1 b 生8 4 3 ， 令z = o 得6 z2 蚤由一等 X q ( 3 ) 式逐项积分得 圣丽bs i 讹一m = b z x 一詈着 ( 4 ) ( 3 ) 、( 4 ) 说明当m = l 时，引理成立。 ( 2 ) 假设当m 一是时，引理成立，即 蚤由瞄 一D b s t - - 坛豸+ 6 2c 看+ + (1)：芒矗(-i)b X - - - 4 - 赫( 1 ) 2 蕊= 研旋南 蚤由蜘一k 6 z p 山z c 收稿日期：2 0 0 8 0 7 0 6 作者简介：吴亚敏( 1 9 6 0 一) 男湖北黄冈人双学士学位湖北大学在职硕士副教授研究方向：基础教学 3 9 万方数据 圣1 2 L ( 2 n - - 1 ) z “z c 0 S ( 2 以一1 ) x 咄H 2 一。；l c 0 5 ( 2 以一= 6 2 H 2 一 坛豸+ 6 2 t 磊+ 州叫饥丽Z , 2 k + ( 一i ) 蚪- ! 兰竺 。4 ( 2 k + I ) ! 再对( 6 ) 式逐项积分得 (2岛sin(2玎一1)z：n 1鲁一) 2 i “玎一u z 2 z z 一如玎Z - 3 + 岫，爵+ - + = 如m 詈嘞鑫+ 6 2 ( 一j 鑫+ + (-1)m-lb2谛尢2m-!(2m1 + ( _ 1 ) “赫一) 1 2 2 一I 、17 斫瓦i 而 ( 9 ) ( 6 )用内积简记为 如卅l 。岛一坛一”，6 2 ， ) ( 号，一击( 詈) 3 ， 一1 ) 一1 砭磊雨i ( 号) 抓l ，( 一1 ) “西薪( 号) 加) ， ( 一I ，+ 6 z 鑫+ c 一- ，州焉c 7 ， ( 6 ) 、( 7 ) 说明当m = k + l 时引理( 1 ) 、( 2 ) 也 成立。 由数学归纳法原理对于一切自然数m ，引理 成立。 定理“递推公式1 蚤瓣1 = 如m - 6 z 旧t ，爵叫z c 爵+ + 卜胪6 ：嘉南“州志 用内积简记为b z 。= ( 6 2 ( 一。) ，b ：。，2 ，b 2 ，c 着，一爵。，c 一- ，m 鑫，c 一，叶- 矗吾汀) ，归纳法得如。有因子玎 证明 在引理( 2 ) 中令z = r 整理可得公式 ( 8 ) 成寺 4 0 推论( 1 ) 圣面与1 1= 警 ，o ) 一 、Zn h o U 善面b = 嚣 蚤面可1 2 n1 = 1 9 6 0爿( 一) 6 一一 证明 在引理( 2 ) 中令z = 詈整理可得公式 ( 9 ) 成立。 推论圣杀军= 三4 蚤杀等= 墨 圣丽( - - 1 可) ”x = 志丌s 圣丢等= 蒜丌， 圣杀等= 蒜一 2 2 圣警钆= 蓦万1 的求和递 推公式 定理3 ( 递推公式3 ) 生杀三： 一z ”翥一z c 矗+ + ( 一1 ) ：砭历7 9 两2 m - 2 + ( 一1 ) 卅1 及斋一1 ) ：砭历两+ ( 一1 ) 卅1 及焘 用内积简记为c 。： 专，c 蓦，一爵，c 一，m ( c 2 ( J ，卜1 ) ，C 2 ( m - - - 2 ) ，c 2 ， 熹(2)，(lm1 。- - - _ - - _ _ - 一一_ 、”H 一) ! ”、一1 ，。 高) ，归纳法得c ：。有因子，r 跏。限于篇幅 万方数据 推论茎爿# = 壁1 2 薹竽= 去一 薹爿二= 丽3 1 一 薹爿# = 揣一 定理4 ( 递推公式4 ) 毒万1 一口。： z t 一，着一n zc z ，蚤+ + c 一，“：焉, r t -2 一1 豇一n zc z ，豇+ + ( 一1 ) “z 霞历珂 所_ 以口z m ，如m ，f z 。成等差数列，归纳法得都有 因子一“ 化因为2 蚤击2 萎西丽1 r t +J m J ，o 1 、m I n = f ， 蚤研1 = c 1 2 m + 刍所。= 南既。 由( 1 ) 、( 2 ) 得。一2 b 。- - ( A 2 m ：等名 ( 3 ) 由( 2 ) 变形可证得。 因为一妻n = l 竽1 ) , , - - i = 蓥赤一 + 善两1 磊= 一万1 ，所以= 2 钿( 一c 2 。) ( 叫州燕 用内积简记为2 。= ( 口2 ( 一J ) ，口2 ( 一) ，：。，口2 ， m ，c 着，爵，c 一，”鑫，归纳法得 ( 2 2 。有因子丌抽。限于篇幅定理4 证明从略。 推论蓦1 1 = 菩； I 一E 月= 一 薹嘉= 生9 0 ； 茎嘉= 未潮，姜嘉= 燕 刍= H = l 生弓# 三者之间的关系 = = l 定理5 ( n z 。，b z 。，c 。之间的关系) ( 1 ) z 。，b 2 。，c z 。成等差数列，都有因子一* ， 一 2 孙 ：2 2 h 。m 。歹j 毗m = 爹j k r ”2 l2 一1 3 口z m = 2 芝百哂c z m ，6 z m = = i 可= ：乏c z ，。 ( 4 ) a e 。= 2 2 ”( b z 。f 。) 证明( 1 ) 因为托。= 姜击+ 薹譬= 2 妻n - I 丽备硼。 例 计算： 圣1 = 舀警= 警 一籍x 壁8 = 壁1 2 2f z 一歹j x 一2 二 ( 2 ) 圣矛1 = 口t = 矿乌生9 6 = 丽9 1 4 姜弓芝= 啊2 4 - - 2 嘉：丽7 丌。 薹嘉= 舀未：未 善弓芝= 籍立9 6 0 = 志耳e刍i r2 。2 歹j 2 葫蒜矿 茎嘉= 啊2 8 志拈鑫 1 2 7 。 西面丽矿 = 籍志一=2 2 歹j 赢矿5 参考文献 I 数学手册编写组数学手册 M 北京：人民教育 出版社1 9 7 9 ：2 2 5 2 3 1 2 候风波高等数学 M 北京：高等教育出版社 2 0 0 3 ( 8 ) ：2 6 4 2 6 9 竽 。州 。 = 肿 口 文 笋 生 。 万方数据 偶数P级数与相关级数的求和递推公式偶数P级数与相关级数的求和递推公式 作者：吴亚敏 作者单位：鄂东职业技术学院,湖北,黄冈,438000 刊名： 高等函授学报（自然科学版） 英文刊名：JOURNAL OF HIGHER CORRESPONDENCE EDUCATIO