北大理论力学作业习题 （2015年3月{7月）.pdf

理理理论论论力力力学学学习习习题题题 （2015年年年3月月月7月月月） 第一章Lagrange 方程（9） 1.1.设在图示的曲柄连杆结构中，曲柄端 点A处所受的铅垂力Q与活塞D处所受的水平 力P维持平衡。用虚功原理求Q/P(Fig. 1)。 1.2.一弹性绳圈（自然长度为l0,弹性系数 为k，单位长度质量为）水平地套在一固定 的光滑球面（半径为R，且2R l0）上， 它因自重而下滑。用虚功原理求其平衡方 程(Fig. 2)。 1.3. 一质点在半径为a的园环上运动。园环平 面保持竖直，并绕其过圆心的竖直轴以匀角 速度转动。写出质点在重力作用下的运动方 程和初级分。小于何值才能使质点不在底部 的另一处平衡，并求此位置。 1.4. 一小球m1在光滑水平桌上运动。另一个 小球m2通过桌上小孔用一根用一根不能伸长 的轻绳与m1连接。写出该体系的拉氏量和初 级分(Fig. 3)。 A l2 l1 Q P D O FIG. 1: O FIG. 2: m2 m1 O FIG. 3: 1.5. 瓦特调速器如图所示，设4根轻杆的长度 都是l，两个小球的质量均为m，质量为M 的 套管C可沿z轴滑动。写出体系的拉氏量、拉 氏方程和初级分（Fig. 4）。 1.6.一 质 点 受 到 的 作 用 力 由 广 义 势U = V ( r) + J给出，其中 r 是质点 对固定点O的矢径，J是对O点的角动量， 为 空间的常矢量。写出质点所受到的广义力和 拉氏方程。 2 C l l l l z FIG. 4: 1.7. 证明带电粒子在稳定外电磁场中的能量 积分是T + e = const。 1.8.一质量为m的质点限 于 一 光 滑 的 曲 线y = y(x),z = z(x)上 运 动 ， 质 点 受 到 的主动力为Fx= (x)，Fy= (x)，和重 力Fz= mg。1.求该质点的Lagrange 方 程。2.如曲线方程为y = 0,z = x;Fx= (x) = mgx/2c,Fy= (x) = 0，其中c 0。 由 “1.” 写 出 该 情 形 下 的Lagrange方 程 ， 求出该方程的任意一特解，并给出其物 理解释；3.再求“2.”中的方程的通解； 如t = 0时，x = 0, x = 0，求该质点的运 动。( m x(1 + y2+ z2) + m x2(yy+ zz) = (x)+(x)ymgz,x = 2c+aet+bet, = 1 2 g/c) 1.9.一质量为m的质点限 于 一 光 滑 的 曲 面z = c(x2+ y2)/2（其中c常量）上运动， 质点受到的主动力为重力mg(沿k方向） 和Fx= (x), 求该体系的Lagrange方程。 A O 45 o FIG. 5: 第二章有心运动（6） 2.1. 在地球赤道处以第一宇宙速度的一半和 仰角45发射一物体，求该物体以OA为极轴的 轨道方程(Fig. 5)。 2.2. 在地球上以第三宇宙速度v3正对太阳发射 一星体（正对太阳是指星体基本上飞出地球 的引力作用后，相对于地球的速度矢量正好 指向太阳），求其轨道方程（地球轨道近似 看成园）。 2.3. 把地球和金星绕太阳运动的轨道都近似 看成在同一平面的园，半径分别为R和0.7R， 现从地面发射一个如图中轨道所示的人造行 星去考查金星，发射速度最小为多少？ (Fig. 6)。 2.4.光 滑 水 平 桌 面 上 ，2个 质 量 分 别 为m和M的质点由一不可伸长的绳连接，绳穿 3 earth venus O FIG. 6: Mm v O FIG. 7: 过固定在光滑水平桌面上的小环O，若m获得 一垂直于绳的初速度v（俯视图如Fig. 7）， 求m的轨道微分方程并求出其轨道。 2.5. 完全相同的小球组成的均匀、平行射束 从远处以初速度v0射向月球，求能击中月球 的碰撞总截面，用月球半径a，月球的逃逸速 度u，和v0表示。 2.6. (Goldstein, p121, pr.2) A particle moves in a central force fi eld given by the potential V = k ea , where k and a are positive constants. Using the method of the equivalent one-dimensional potential discuss the nature of the motion, stating the range E appropriate to each type of motion. When are circular orbits possible? Find the period of small radial oscillations l0 k m kk +q+q m l0l0 FIG. 8: l l O A B FIG. 9: about the circular motion. 第三章小振动（5） 3.1. 两质点由三个弹簧联结在同一直线上运 动，质点的质量都是m，三个弹簧的自然长度 和弹性系数都分别是l0和k，两固定端点之间 的距离为3l0（Fig. 8）。1）求体系的小振动 频率；2）如果每个质点都带正电荷q，再求 体系小振动频率。 3.2. 一杆OA(m,l)绕固定点O在铅垂平面内摆 动，另一杆AB(m,l)绕A在同一铅垂面内运动 （Fig. 9），求双杆体系作小摆动时的频率和 运动。 4 l l, m l0 l0 k k FIG. 10: k m k C M OO M FIG. 11: 3.3. 在2根自然长度为l0，弹性系数为k的弹 簧下端悬一细棒（l,m），体系限于铅垂平 面内因两弹簧的不同伸缩情况而运动（Fig. 10），1）通过求解本征值问题求体系小振动 的频率和运动；2）通过分析简正模式，求本 征频率和简正坐标。 3.4.把二氧化碳分子CO2简单看作如Fig. 11所示的一维力学体系，处于平衡位置时， 整个体系关于C对称。1）取3个原子偏离平衡 位置的坐标x1,x2,x3为广义坐标，求小振动的 频率。2）再取x2 x1和x3 x2为广义坐标， 求小振动频率，与1）比较，可以得到什么结 论？ 3.5. 一个自由度为4的理想、完整、稳定约束 的保守力学体系，广义坐标为q, = 1,.4, 相应的势能和动能二次式的系数矩阵分别为 （0 0）： (V ) = 1 000 0 100 0 022 0 0 23 2 0, (T) = 1 000 0 100 0 011 0 0 12 , (1) 求该体系的小振动解,并由求出的本征矢量 判断哪几个广义坐标已是简正坐标； (2) 找出全部简正坐标，并求出其小振动解； (3) 已知(T)为无量纲的量，问(V ),q的量纲是 什么？ (4) 在以上求出的4个2中，哪些是简并的？ 简并度是多少？(2 1 = 2 2 = 2 3 = 2 0, 2 4 = 22 0) 第四章刚体运动学（7） 4.1.证 明 （1）TijkUki为 矢 量 ， （2）ij=xi/xj为2阶 张 量 ， （3）2阶 张量的各对角线分量之和为不变量（即标 量）。 4.2.一半径为R的轮子在水平面上作纯滚 动,如Fig. 12所示. (1) 若已知轴心O的速度vo=常数. 求轮边上 任一点A的速度和加速度的大小及方向,并在 图上标出. (2)若 已 知 轮 心O作 匀 加 速 运 动,加 速 度 为a,求 最 高 点B的 加 速 度 的 大 小 和 方 5 B A O FIG. 12: O v2 v1 a A FIG. 13: 向(t = 0,vo= 0). 4.3. 半径为a的圆柱夹在互相平行的两板间,两 板分别以v1,v2反向运动(Fig. 13), 若圆柱和板 之间无滑动,求 (1) 圆柱瞬心的位置; (2) 圆柱与上板的接触点A的加速度(A点是圆 柱上的点). 4.4. 一半径为a的圆盘O以等角速度绕其中心 转动,另一半径为b的圆O以角速度在大圆 外纯滚动(Fig. 14),试证:两圆连心线OO以角 速度 = a+b a+b 转动,并求O圆在O圆上滚一周 又回到与O 圆周上的同一起点相接触所需的 时间t1, 并求O圆回到空间原来位置所需的时 b O a O FIG. 14: Z Y X A O FIG. 15: 间t2. 4.5.高h,顶角为2的圆锥在一平面上作纯 滚动.已知此锥轴线以等角速度绕Oz轴旋 转(Fig. 15),求 (1) 此锥体运动的角速度的大小和方向. (2) 锥底面上最高点A的速度 vA和加速度 aA; (3) 总的角加速度d dt =? 4.6. (Goldstein, p185, pr.8)If A is the matrix of a rotation through 180about any axis, show 6 that if P= 1 2(1 A), then P2 = P. Find a geometric interpreta- tion of the operation P+and Pon any vector F. (Hint: A2= 1, projection operator) 4.7. (Goldstein, p185, pr.7) The body set of axes can be related to the space set in terms of Eulers angles by the following set to rotations: 1) Rotation about the X axis by an angle . 2) Rotation about the z axis by an angle . 3) Rotation about the Z axis by an angle . Show that the sequence leads to the same elements of the matrix of transformation as the sequence of rotations given in the class.(Hint: It is not necessary to carry out the explicit multiplication of the rotation matrices.) 第五章刚体动力学（13） 5.1.证 明:当 质 量 分 布 均 匀 的 物 体 相 对 于x1x2面对称时,x3轴必为惯量主轴,但逆定理 不成立. 5.2.若 刚 体 对 某 点 的 主 转 动 惯 量I1= I2= I3,意 即 其 惯 量 椭 球 为 旋 转 椭球,证明此刚体绕该点运动时J,z轴必在 同一平面上,并讨论哪个量在中间. 5.3. 一刚体对定点O的惯量张量为 (I) = 83 3 383 3 38 I0,(I0 0), l, m O M FIG. 16: 从求解本征值问题找出主轴坐标系的三 个轴的方向及其主转动惯量。简述简并的 本征值的物理后果。(I1= I2= 11I0,I3= 2I0;(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1) 5.4.（Goldstein, p239, pr.11）A plane pendu- lum consists of a uniform rod of length l and negligible thickness with mass m, suspended in a vertical plane by one end. At the other end a uniform disc of radius a and mass M is attached so it can rotate freely in its own plane, which is the vertical plane(Fig. 16). Set up the equations of motion in the Lagrangian formulation. 5.5. 当汽车在水平面内绕一曲线高速公路行 驶时,它的内侧轮子上的负重将变为零,这时将 发生翻车. 为了避免发生事故,可在车上安装一 个自旋着的大飞轮,问应该在什么方向安装飞 轮? 又应当使飞轮沿什么方向转动? 并证明:对 于质量为m,半径为R的圆盘形飞轮,为使两车 7 L l FIG. 17: 轮的负重相等, 要求飞轮的角速度和汽车的 速率v之间满足如下关系 = 2v ML mR2 , 其中，M是汽车和飞轮的总质量，L是汽车 （包括飞轮）的质心高于路面的高度。 5.6. 长为l的轴的一端装上质量为M的轮子,轴 的另一端吊在长为L的绳子上,使轮子转动起 来,因而M 在水平面上作匀速进动(Fig. 17). 已 知轮子的自转角速度为, 对过质心的对称轴 的转动惯量为I. 求绳子与铅直线的夹角. 假定 轴与绳子的质量可忽略, 且很小有sin . 5.7.（Goldstein, p239, pr.7）Prove that for a general rigid body motion about a fi xed point the time variation of the kinetic energy T is given by dT dt = N 5.8.(Goldstein, p242, pr.26(a) Consider a primed set of axes coincident in origin with an inertial set of axes but rotating with respect to the inertial frame with fi xed angular veloc- ity 0. If a system of mass points is subject to force derived from a conservative potential V depending only on the distance to the ori- gin, show that the Lagrangian for the system in terms of coordinates relative to the primed set can be written as L = T + 0 J+ 1 2 0 I 0 V, whereprimesindicatethequantitiesare evaluated relative to the primed set of axes. I is the inertia tensor. What is the physical signifi cance of each of the two additional terms? 5.9. 一旋转对称的刚体(I1= I2)受外力作用而 绕对称轴上一点作正规进动. 且自转角速度 为1,进动角速度为2,章动角为. 用角动量 定理导出对固定点总外力矩的公式为 N = I3(21)1 + I3 I1 I3 2 1 cos. 5.10.（ 梁 ，p453，pr.6.6） 匀 质 长 方 形 薄 板 ， 边 长 为a与b(a b)， 质 量 为m， 以 匀 角 速 度0绕 其 对 角 线AB 转 动 。 求 其 顶 点A和B处 的 轴 承 上 所 受 到 的 作 用 力。(m(a2 b2)2 0ab/12(a 2 + b2)3/2) 5.11.（苏，p361, pr.67）质量为m，半径 为a的均质圆板以角速度绕着通过圆心且 与圆板的法向对称轴成角的某一轴转动。 8 a O FIG. 18: 突然放开这圆板，让它在无力矩作用下绕 其中心作定点运动。从Euler动力学方程出 发，（1）求转轴相对于圆板描绘圆锥运动 一周的时间，（2）求转轴在空间描绘圆锥 运动一周的时间。(T1= 2/ cos,T2= 2/1 + 3cos2) 5.12. 一半径为a的光滑圆环,绕平面内过圆心 的铅直轴以恒定的角速度转动.一质量为m 的小环套在大环上,由 = 4处无初速下滑(Fig. 18). 问小球滑至何处开始反向? 5.13. 给放置在光滑水平桌面上的物体以一个 水平初速度,若考虑地球为非惯性系,证明物体 的轨迹是一个圆, 并求出圆半径及桌面所受的 力. 第六章正则方程（6） 6.1.若 由 变 量(q,p)变 换 为( p,p),其 中 p = H(q,p,t) q ,特征函数相应地由H(q,p,t)变 换为L( p,p,t). 按勒让得变换,应有 m k1 k2 FIG. 19: L( p,p,t) = H(q,p,t) + pq, 其中q = q(p, p,t) 由定义 p = H q 解出. 试证明由正则方程推出用L函数表示的运动方 程是 d dt( L p ) L p = 0. (由此题结果看到,q和p的地位是可以互换的). 6.2.质点m在两个弹簧的作用下作直线运 动,如Fig. 19.,设两固定点之间的距离为a, 两个 弹簧的弹性系数分别为k1和k2. 写出质点的拉 氏函数和哈密顿函数,列出正则方程并求解. 6.3.设单摆的悬点只能沿曲线z = ax2运 动,如Fig. 20所示. 写出质点的哈密顿函数. 6.4. 设质点在有心力 F = 1 2 (1 2 2 c2 ) (c为光速)作用下运动.写出其广义势,拉氏函数 和哈密顿函数. 9 m x z O FIG. 20: 6.5.在 有 心 力 势V ()作 用 下,一 带 电 粒 子(m,e)作平面运动.垂直于此平面加一均匀恒 定磁场B0, 其矢势A = 1 2 B0 r. (1) 写出粒子的哈密顿函数. (2) 选以角速度 = e 2m B0转动的坐标系里的 坐标为广义坐, 粒子的哈密顿函数等于什么? 6.6. （参见：张，p183, pr.9；Goldstein, p102 ）质量为m的质点在势场V (r) = GMm/r中 作Kepler运动，可定义Laplace-Runge-Lenz矢 量（即偏心率矢量） e = 1 GMm2 p J r r , （）证明 e,H = 0，由此说明该矢量守 恒。（）由 e r求轨道方程。证明 e取由力 心到近日点的方向，大小等于偏心率e。该矢 量守恒使近力心点方向不变，从而保证了椭 圆轨道闭和。 第七章力学变分原理（7） 7.1.捷线问题（The brachistochrone prob- lem： 苏 ，p435； 梁 ，p271；Goldstein, p42）1696年， John Bernoulli 提出：在竖直平面给定两 点O（坐标原点）和A（在O的斜下方），现 使一质点在重力的作用下由O无初速度得沿一 条光滑曲线下滑到A，求使下滑时间最短的曲 线的方程。（旋轮线） 7.2.（苏，p457,pr.9）自由落体 的Hamiltonian是H = p2/2m mgx， 已 知 实际发生的运动是x = v0t + gt2/2和p = mv0+ mgt， 现 取 一 旁 路 运 动x= v0t + gt2/2 + (t)和p = mv0+ mgt + (t)，其 中(t1) = (t2) = 0,(t1) = (t2) = 0，分别 就实际运动和旁路运动计算作用量I，说明实 际运动时的作用量既不是极大值，也不是极 小值，而是稳定值。 7.3. 证明下列变换为正则变换.