吉林大学 随机数学 概率论 第四章随机变量的数字特征.pdf

第四章 随机变量的数字特征第四章 随机变量的数字特征 1随机变量的数学期望随机变量的数学期望E(X) Expected value, mathematical expectation. 定义：数学期望是随机变量的平均值定义：数学期望是随机变量的平均值. 它不是观测到的平均值它不是观测到的平均值,是期待的平均值是期待的平均值. 例例1.1 X678910 nn1n2n3n4n5 , 1 = = = = n i i nN = =+=+= =+ += = )10(10)7(7)6(6XpXpXpL N nnnnn 54321 109876+ N n N n N n N n N n 54321 109876+=+= = =X k k kp x = = 5 1 ,2 , 1 , 0,)( 1 绝对收敛若设绝对收敛若设 = = = k kkkk pxkpxXPL .)( 1 = = = = k kkp xXE则则 定义定义1.1 否则不存在否则不存在. 1)离散型离散型 例如例如 X -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.4 0.3 = = k kkp xXE)(=-10.2+00.1+10.4+20.3=0.8 则则 例例1.2, 1.3(自己看自己看) 则绝对收敛若设则绝对收敛若设,)(),( + + dxxxfxf + + = =dxxxfXE)()( 2) 连续型连续型 否则不存在否则不存在. 例例1.4 若若X服从服从a,b区间上的均匀分布区间上的均匀分布,求求E(X). = 其它 = 其它0 , 1 )( bax abxfX 22 11 2 ba x ab b a + = + = 解解 = + + dxxxfXE)()(= = b a dx ab x 1 =+=+= + + + + 0 0 dxexe xx 例例1.5 设设X服从参数为 的指数分布服从参数为 的指数分布,求求E(X). 解解:)0( , 00 0 )( = = x xe xfX x + + 0 )( x exd + + + + 0 1 )(lim xx x exe . 11 0 =+=+ = + + dxxxfXE)()(故故= + + 0 dxex x =+ =+ = + 1 )(lim x x e x =+ =+ + 1 ) 1 (lim x x e 例例 1.6 2 2 2 = = + + dte t =+=+=)20( 2 1 ),( 0 2 2 奇函数奇函数= = + + dtte t 因为因为 dtet t 2 2 )( 2 1 + + + + ) ( 2 1 2 2 22 + + + + +=+=dtedte t tt ).(),( 2 XENX求求 + + = =dxexXE x 2 2 2 )( 2 1 )( = = x t dtdx = = + += = tx解解: 常见随机变量的数学期望及方差常见随机变量的数学期望及方差 E(X) D(X) ),(pnBX),(baUX)( EX ),( 2 NX np npq 2 ba + + 12 )( 2 ab 1 )( X 2 2 1 自己看例自己看例 1.7 例例 设随机变量设随机变量Xf(x),E(X)=7/12,且且 + = 其它 + = 其它0 10 )( xbax xf求求a与与b的值的值. 解解b a + + 2 23 )( 1 0 ba dxbaxx+=+=+ + = 其它 + = 其它0 10 2 1 )( xx xf解得解得a=1,b=1/2 = + + dxxf)(1=+=+ 1 0 )(dxbax = + + dxxxfXE)()( 12 7 ,2 , 1 , 0,)( )1L=kpxXPX kk 离散型设 离散型设 .)()()( 1 = = = k kk pxgXgEYE = = = = 1 )( k kkp xXE比较比较 1.2.随机变量的函数的数学期望随机变量的函数的数学期望E(g(X) Th1.1 设设Y是是X的函数的函数, Y=g(X) 则绝对收敛若则绝对收敛若,)( 1 = =k kk pxg 否则不存在否则不存在. X-1012 Y=(2X+3)2 192549 P(X)0.10.10.40.4 例例1.8 .)()32( 2 =+=+ xAll xPx =+=+= 2 )32()(XEYE 则绝对收敛若则绝对收敛若,)()(),( + + dxxfxgxfX + + =dxxfxgXgEYE)()()()( + + = =dxxxfXE)()(比较比较 2)连续型连续型 Y=g(x) 否则不存在否则不存在. 例例 设随机变量设随机变量X服从服从0,的均匀分布的均匀分布, ).(),(sin 2 XEXE求求 解解: 21 sin 0 = = dxx = 其它 = 其它0 , 0 1 )( x xfX 3 1 2 0 2 = = dxx = =)(sin XE = = + + dxxxf)(sin = =)( 2 XE = = + + dxxfx)( 2 例例 1.9 )( 2 1 2 2 x exd + + = = ).(),1 , 0( 2 XENX求求 + + = =dxexXE x 2 22 2 2 1 )( dxxeed xx )()( 2 2 22 = 1 2 2 1 = )( 2 1 2 2 22 + + + + =dxexe xx )0( 2 1 2 2 + + =dxe x = + + dxe x 2 2 2 1 2 2 2 = = + + dte t 解：解： P(X=xi ,Y= yj)=pi,j(i,j=1,2,) ij ij ji pyxgYXgEZE = = = = = 11 ),(),()(则则 1) 设设(X,Y)离散型离散型,且且 设设Z是是X,Y的函数的函数, Z=g(X,Y),则则Z也是 一个随机变量 也是 一个随机变量. Z-1012 P(X)0.10.10.40.4 2) 若若(X,Y)连续型连续型,且且(X,Y) f(x,y), 则则 + + + + =dxdyyxfyxgyxgEZE),(),(),()( 设设Z是是X,Y的函数的函数, Z=g(X,Y),则则Z也是 一个随机变量 也是 一个随机变量. 例如例如 .),()( + + + + + +dxdyyxfyx .),()( + + + + dxdyyxfxy =+ += =+ += )( , 1. YXE YXZ 则 若 则 若 = = = = )( , 2. XYE XYZ 则 若 则 若 若若(X,Y)连续型连续型,且且(X,Y)f(x,y), = = + + + + dxdyyxxf),( .)( + + dyyyfY = = = = )( , 3. XE XZ 则 若 = = 则 若 = = )( , 4. YE YZ 则 若 则 若 = = + + + + dxdyyxyf),( .)( + + dxxxfX + + = =dyyyfY)( 证明证明: + + + + = = = = dxdyyxyfYE YZ ),()( , 则 若 则 若 + + + + = =dydxyxfy),( .)( + + = =dyyyfY =)(, 4.YEYZ则若则若 + + + + dxdyyxyf),( 例例1.10 ).()( , 0 0, 0, ),(),( )( XYEXE yxe yxfYX yx 和求 ， 其他 = 和求 ， 其他 = + 1) 解：解： + + + + = = 00 )( dxdyxe yx + + + + = =dxdyyxxfXE),()( + + = = 00 dyedxxe yx 111= . 1)10(= )|( 0 0 + + + + =dxexe xx 其中其中 + + + + = = 00 xx xdedxxe =+=+= + )|)00( 0 x e 同理同理1 0 = = + + dyye y 例例1.10 ).()( , 0 0, 0, ),(),( )( XYEXE yxe yxfYX yx 和求 ， 其他 和求 ， 其他 = = + 2) 解：解： + + + + = = 00 )( dxdyxye yx + + + + = =dxdyyxxyfXYE),()( + + = = 00 dyyedxxe yx 111= 1.3 数学期望的性质数学期望的性质 )()()2XCECXE= = CCE= =)()1 )()()( 3)YEXEYXE = = )()()()( 1) 2121nn XEXEXEXXXE=LL )()()(2) 1111nnnn XEaXEaXaXaE =LL 推广得推广得 .)()()()3cYbEXaEcbYaXE+=+=+ 证明证明)()()(YEXEYXE = = )()(YEXE = = .),()( + + + + = =dxdyyxyfYE + + + + = dxdyyxfyx YXE ),()( )( + + + + + + + + =dxdyyxyfdydxyxxf),(),( 证明：证明： ,),()( + + + + = =dxdyyxxfXE 则独立设推广则独立设推广, 21n XXXL . )()()(,)4YEXEXYEYX= =则独立设则独立设 )()()()( 2121nn XEXEXEXXXELL= = 证明证明 )()()(YEXEXYE= = 证明：证明：由由X,Y相互独立得相互独立得 )()(YEXE= = + + + + = =dxdyyfxfxy YX )()()( 则独立，设则独立，设,),(),(YXyxfYX + + + + =dyyyfdxxxf YX )()( + + + + = =dxdyyxfxyXYE),()()( 性质性质3的应用的应用-例例1.11 解解: 令令Ni i i Xi, 2 , 1 0 , 1 L= = =， 个盒中无球，第 个盒中有球第 ， 个盒中无球，第 个盒中有球第 )()( 1 i N i i XNEXE = = = = 设设n个球随机放到个球随机放到N个盒中个盒中,每只球落入每个 盒子的可能性相同 每只球落入每个 盒子的可能性相同,求有球的盒子数求有球的盒子数X的数学期 望 的数学期 望. = = = )()( 1 N i i XEXE )(nN , 1 = = = = N i i XX则有则有 )()()( YEXEYXE+=+=+ 01 i X n n N N)1( n n N N)1( 1 , )1( 1 n n N N n N N N 1 1 = = =)()( i XNEXE = =)( i XE ( () ) i XP 课后作业课后作业 A21 例例 设国际市场每年对我国某种商品的需求量为 随机变量 设国际市场每年对我国某种商品的需求量为 随机变量X(单位单位:吨吨),它服从它服从2000,4000上的均 匀分布 上的均 匀分布,已知该商品每售出已知该商品每售出1吨获利吨获利3万美元万美元,若销 售不出去 若销 售不出去,每吨将损失各种费用每吨将损失各种费用1万美元万美元,问如何 组织货源可使收益最大 问如何 组织货源可使收益最大? 设设y为组织的货源数量为组织的货源数量,Y为收益为收益,则则 , )(3 3 )( = = yXXyX yXy XgY , 0 4000,2000 2000 1 )( = 其它 = 其它 x xfX 分析分析: += += 3 2000 1 4000 y ydx 解解 设设y为组织的货源数量为组织的货源数量,Y为收益为收益,则则 , 0 4000,2000 2000 1 )( = 其它 = 其它 x xfX 4000 2000 )( 2000 1 dxxg y dxyx 2000 )4( )1047000( 1000 1 62 +=+=yy ，得）令（，得）令（35000)(=yYE由实际情况知由实际情况知E(Y)存在最大值存在最大值, 所以组织所以组织3500吨货源可使收益最大吨货源可使收益最大. , 4 3 )( = 其他其他 0 2 )( )2( ye yfY y Y = = x xe xfX + + + + + + = 0 2 0 222 )()()( xx edxdxexdxxfxXE )( ,)(0 1 = XE + + 0 2dxxe x =+=+= + + + + 0 0 2 2dxxeex xx 例例 2.5 + + dtet t 2 22 2 2 1 ).(),( 2 XDNX求求 =)()( 2 XEXEXD = = x t 解解: + + dxxfx)()( 2 + + =dxex x 2 2 2 )( 2 2 1 )( = + + dxet t 2 22 2 2 1 2 dtdx = = tx= = 由例由例1.9的结果 有的结果 有 1 2 1 2 2 2 = = + + dtet t 常见随机变量的数学期望及方差常见随机变量的数学期望及方差 E(X) D(X) ),(pnBX),(baUX)( EX ),( 2 NX np npq 2 ba+ + 12 )( 2 ab 1 )( X 2 2 1 例例, 0 212 10 )( = 其它 设 =XDXE . * 的标准化随机变量为则称的标准化随机变量为则称X X X = = 1)(, 0)( * =XDXE且且 设随机变量设随机变量X的数学期望和方差为的数学期望和方差为 )0( ),(, 2 NX若特别地 若特别地 ).1 , 0( * N X X =则 =则 证明证明: = )( 1 XE =)( 1 2 XD 易见由于易见由于 , 0 )(,)( 2 =XDXE = = = X EXE)( * = = = X DXD)( * 1)(, 0)( * =XDXE证明证明: 0)( 1 = XE 1)( 1 2 = =XD )()(2)()( )( YEYXEXEYDXD YXD += += )()()(YEXEXYE= = 对任意对任意X,Y有有 X,Y相互独立时有相互独立时有, 回顾回顾 )()()()()(YEXEXYEYEYXEXE = = 3 协方差与相关系数协方差与相关系数 则称之为则称之为X与与Y的协方差的协方差, 记作记作 ,)()(存在若存在若YEYXEXE ),(YXCov 定义定义3.1 设设(X,Y)是二维随机变量是二维随机变量, 注注:协方差的单位是协方差的单位是X和和Y的单位的乘积的单位的乘积. 2. 协方差的计算式协方差的计算式 )()()( )()( ),( YEXEXYE YEYXEXE YXCov = = = = ),(),()1XYCovYXCov= = 常数常数baYXabCovbYaXCov,),(),()2= = 3. 协方差的性质对任意协方差的性质对任意X,Y, )()()(),(YEXEXYEYXCov = = 证明证明 ),(),(),()3ZYCovZXCovZYXCov= ),(ZYXCov ),(ZYCov )()()(ZEYEYZE )()()()(ZEYEZEXEm )()()(ZEYXEZYXE= )()()(),(YEXEXYEYXCov = = )()()(ZEXEXZE= ),(ZXCov= = )()(YZEXZE= 性质性质4对任意对任意X,Y,Z ),(2)()()(YXCovYDXDYXD + += = ),(2),(2),(2 )()()( )( )( ZYCovZXCovYXCov ZDYDXD ZYXD += 做笔记推广 += 做笔记推广 例例3.1 0),( 2 = =XXCov故故 ).,(),1 , 0( 2 XXCovNX求求 解解: 其中其中),()()(),( 232 XEXEXEXXCov= )(奇函数奇函数, 0 2 1 )( 2 2 33 = + + dxexXE x ，又，又0)(= =XE . )()( ),( 的相关系数与为称的相关系数与为称YX YDXD YXCov XY = = , 0)(, 0)(YDXD当当定义定义3.2 相关系数相关系数 注注: 相关系数表示相关系数表示X与与Y成线性关系的大小成线性关系的大小,无单位无单位. );(,0无线性关系不相关与时当无线性关系不相关与时当YX XY = = 计算相关系数需要计算的量：计算相关系数需要计算的量： )( );()(),();()(),( 22 XYEYDYEYEXDXEXE )()( ),( YDXD YXCov XY = = ),()()(),(YEXEXYEYXCov= 22 )()()(XEXEXD= A17, 0 2020)( 8 1 ),(),( + = 其它 + = 其它 yxyx yxfYX 解解: + + + + = =dxdyyxxfXE),()(6/7)( 8 1 2 0 2 0 =+=+= dxdyyxx 3/5)( 8 1 2 0 2 0 2 =+=+= dxdyyxx 由对称性得由对称性得 + + + + = =dxdyyxfxXE),()( 22 .3/5)(, 6/7)( 2 =YEYE . 36 11 )()(=YDXD故故 . XY 求求 22 )()()(XEXEXD= + + + + = =dxdyyxfxyXYE),()()( 3/4)( 8 1 2 0 2 0 =+=+= dxdyyxxy 11 1 )()( )()()( = = YDXD YEXEXYE , 6 7 )()(=YEXE, 36 11 )()(=YDXD 于是于是 = )()( ),( YDXD YXCov XY 相关系数的性质相关系数的性质 1)1 XY 为常数为常数baabaXYP XY , 0, 1)( 1)3 =+= = =+= = 0)2= = XY YX 相互独立，则与若相互独立，则与若 of tionInteptreta increases. as increases isThat . and between iprelationsh linear positiveperfect a impliesthat , 1 If x yyx = = increases. as decreases isThat . and between iprelationsh linear negativeperfect a impliesthat , 1 If x yyx = = . and between iprelationshlinear noor little implies 0 to equalor closeofvaluetheIf yx . and between ncorrelatio positive strong aimpliesthat 1, to closeisofvaluetheIf yx . and between ncorrelatio negative strong aimpliesthat 1,- to closeisofvaluetheIf yx Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-67 Types of Relationships Y X Y X Y Y X X Linear relationshipsCurvilinear relationships Types of Relationships Y X Y X Y Y X X Strong relationshipsWeak relationships (continued) Types of Relationships Y X Y X No relationship (continued) 独立与不相关独立与不相关 独立必不相关独立必不相关,不相关未必独立不相关未必独立. ., ),( 故未必独立关系 但可能有其他无线性关系不相关与当 故未必独立关系 但可能有其他无线性关系不相关与当YX ., ,)( 不相关与故关系 也无线性时即无任何关系相互独立与当 不相关与故关系 也无线性时即无任何关系相互独立与当 YX YX 0= XY )()()(YEXEXYE= 不相关与 不相关与YX 等价命题等价命题 0),cov(=YX )()()(YDXDYXD+=+= 例例3.2 .,)2( ;(1) 1| ),(),( XY 22 是否独立求分布， 上均匀在 是否独立求分布， 上均匀在 YX yxyxGYX +=+= ., 0)()()(),(不相关故不相关故YXYEXEXYEYXCov= = = = 解解: 1) )0cos0sin02sin( 2 0 2 0 2 0 = ddd，因为，因为 0cossin 1 1 0 3 2 0 = = drrd 0cos 1 1 0 2 2 0 = = drrd 0sin 1 1 0 2 2 0 = = drrd = + dxdyxyXYE yx1 22 1 )( = + dxdyxXE yx1 22 1 )( = + dxdyyYE yx1 22 1 )( = 其他 = 其他 0 11 12 2 x x = = = = + + 其他 同理 其他 同理 0 11 12 ),()( 2 y y dxyxfyfY .,),()(),(不独立于是不独立于是YXyfxfYXf YX 解解: 2) + + = =dyyxfxfX),()( = = 其他其他 0 11 1 2 2 1 1 x x xdy 可见不相关未必独立可见不相关未必独立. 0= = 相互独立与 相互独立与YX 不相关独立不相关独立的特例的特例: 例例3.3 ),;,;,(),( 2 2 2 121 NYX设设. = = XY 可以证明可以证明 不相关与 不相关与YX 故对二维正态随机变量有故对二维正态随机变量有 0= = XY . , 2 , 1,)( 阶中心矩 的则称之为存在如果 阶中心矩 的则称之为存在如果 k XkXEXE k L= 定义定义4.1 设设X是随机变量是随机变量. 4 矩矩 ., 2 , 1),(阶原点矩的则称之为存在如果阶原点矩的则称之为存在如果kXkXE k L= = )., 2 , 1()(L=kXE k k 记做记做 P122 性质性质1, 2, 3. 性质性质1n维随机变量维随机变量(X1,