直线与椭圆的位置关系导学案

1 / 6 直线与椭圆的位置关系导学案 直线与椭圆的位置关系导学案 教学目标： （ 1）会判断直线与椭圆的位置关系 ,理解直线与椭圆相交所得的弦长公式 ; （ 2）通过求弦长具体实例，发现求弦长的一般规律，体验从特殊到一般的认识规律； （ 3）通过几何关系与代数运算的不断转化，感悟解析几何基本思想，培养学生逻辑推理能力和运算能力 . 教学重点：直线与椭圆的弦长公式探究 教学难点：从特殊到一般规律的发现， “ 数 ” 和 “ 形 ” 之间的相互转化 . 教学过程： 教师：直线与圆有哪些位置关系？如何判断？ 学生：直线与圆 的位置关系及其判定： 几何方法：相离、相切、相交 . 代数方法：方程组无解相离、有唯一解相切、有两组解相交 . 教师：由于圆的特殊性，几何方法显得简单，而代数方法具有一般性 .自然引出下面问题 .类比直线和圆，直线与椭圆有哪些位置关系？ （板书：， E:） 学生：直线与椭圆有三种位置关系：相离、相切、相交 .或2 / 6 直线与椭圆的公共点个数可能是零个、一个、两个 . 教师：当直线与椭圆没有公共点时，称直线与椭圆相离；当有一个公共点时，称直线与椭圆相切，这条直线叫椭圆的一条切线；当直线与椭圆有两个公共点时，称直线与椭 圆相交 .（板书：相离、相切、相交） 板书课题：直线椭圆位置关系 教师：请大家研究下面问题如何解决 判断出直线与椭圆 E：的位置关系是 _ 学生 1：画图，直线与 y 的交点（ 0,1）在椭圆内部，所以直线与椭圆相交 . 学生 2：由（板书），得 , ，直线与椭圆相交 . 教师：（学生思考解答时，教师画出椭圆）学生 1 的方法简捷明了，使得我们对问题有了直观的认识，为什么多数同学没有这样解答呢？从 “ 数形结合 ” 是思考问题的首选。 但我们的认识不能停留在此，要进一步深入；如果将直线改为，在化草图的情况 下方法 1 就不适合了，而方法 2 具有一般性 .（板书 消去 y 得， . 时相离、时相切、时相交。 教师：上述问题中，设直线与椭圆交于 A,B两点，你如何求线段 AB的长 |AB|呢？ 3 / 6 （学生独立解答教师巡视）运算过程中想一想能否优化运算过程，简化运算。 教师提示 . 发现下面三种运算，请该生板书 学生 1：，； A（，）， B（，） . |AB|= . 学生 2：，； A（，）， B（，） . |AB|= =. 学生 3：，； = |AB|= =. 教师：运算是一件既容易又困难的工作，容易是指谁都会算，困难是指算得既简洁又准确。学生 2 注意到提取公因数，比学生 1 的算法要简单；学生 3（如果没有学生这样做，老师从学生 2 中引导出来）注意到与之间关系，使得要研究 4 个未知量的问题转化为两个未知量的问题。同过大家的实践，可以发现对于直线上两点，结论。这是由于直线上点的横纵4 / 6 坐标是线性变化的。 大家再仔细观察解题过程，还能发现那些结论？ 学生：在 |AB|=中，；（） 教师：上述结论是偶然还是必然？能否推广到一般情况使得我们连两个未知数都可以不求了？ 学生：当直线 与椭圆相交时 |AB|=成立。 教师：小结一下我们上面的探究， (1)计算不是一味地算，要观察数式之间的联系，比如提取公因式、配方等如学生 2；（ 2）在解析几何中利用数式的几何意义如学生 3；（ 3）从具体过程中发现一般规律，如弦长公式。 教师：解析几何思想方法告诉我们，代数结论要翻译成几何结论，那么 |AB|=在图形中的有怎样几何的意义呢？ 教师：（如果前面没有得到） |Ac|=|,|Bc|=，由勾股定理 可得 |AB|=，比较 |AB|=， 得到。 （如果前面得到了）由，可求得，那么。 教师：这说明弦 长公式我们可以从代数和几何两个角度去理解。 练习：已知直线直线与椭圆 E：交于 A,B两点，求 AoB的面积。 小结：请同学总结回顾本节课你学到了什么知识？有什么体5 / 6 会？ 直线与椭圆的位置关系及判定方法、弦长公式 |AB|=；弦在x 轴上的投影 |，或，以及用代数法解决几何问题的方法 . 解题要反思，从解题过程和结论中能否发现规律；做解析几何题目不是程序化操作，要思考运算背后的几何意义 . 检测题： 1.直线被椭圆截得的弦长为 _.； 2.直线 y=k（ x+1）与椭圆的 位置关系为 _; 3.直线被椭圆截得的弦长为 _; 4.已知直线直线与椭圆 E：交于 A,B两点，若三角形 AoB的面 积 1，求直线的斜率的值 . 5.已知直线直线与被椭圆 E：截得弦长为 ,求直