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必修2高中数学试卷1 选择题（共12小题）1某三棱锥三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A2+ B4+ C2+2 D52一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）ABCD3已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A若,垂直于同一平面，则与平行 B若m,n平行于同一平面，则m与n平行C若,不平行,则在内不存在与平行直线 D若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面4 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AD1与BA1所成的角为（）A30B45C60D901题图2题图4题图5过三点A（1，3），B（4，2），C（1，7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A2 B8 C4D106直线xsin+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）A0，）B0，）C0，D0，（，）7过三点A（1，0），B（0，），C（2，）则ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）ABCD8圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）A(x1)2+(y1)2=1B(x+1)2+(y+1)2=1C(x+1)2+(y+1)2=2D(x1)2+(y1)2=29一条光线从点（2，3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A或B或C或D或10直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b=（）A.-2或12 B.2或-12C.-2或12D.2或1211一个结晶体的形状为平行六面体ABCA1B1C1D1，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，则=（）A B2CD12已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）AB C2D4二填空题（共4小题）13如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为，则cos的最大值为 13题图14现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为15 已知点P（0,1），Q（0,1），若直线 l：y=mx-2 上至少存在三个点 M，使得PQM 为直角三角形，则实数 m 的取值范围是16若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r0)相交于A,B两点，且AOB=120，O为坐标原点，则r=三解答题（共6小题）17已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y26x+5=0相交于不同的两点A，B（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由18 已知F1、F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，曲线C是坐标原点为顶点，以F2为焦点的抛物线，过点F1的直线l交曲线C于x轴上方两个不同点P、Q，点P关于x轴的对称点为M，设=（）若2，4，求直线L的斜率k的取值范围；（）求证：直线MQ过定点19 如图菱形ABCD,ABC=120，E，F是平面ABCD同一侧两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE=2DF，AE丄EC（）证明：平面AEC丄平面AFC（）求直线AE与直线CF所成角的余弦值20如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1CBC1=E求证：（1）DE平面AA1C1C；（2）BC1AB121 已知函数f(x)=x33x及y=f(x)上一点P（1，2），过点P作直线（1）求使直线和y=f(x)相切且以P为切点的直线方程；（2）求使直线和y=f(x)相切且切点异于P的直线方程22已知点M是圆心为C1的圆(x1)2+y2=8上的动点，点C2(1，0)，若线段MC2的中垂线交MC1于点N（1）求动点N的轨迹方程；（2）若直线：y=kx+t是圆x2+y2=1的切线且与N 点轨迹交于不同的两点P，Q，O为坐标原点，若=且u，求OPQ面积的取值范围高中数学组卷参考答案 一1C2D3D4C5C6B 7B 8D9D10D11D12B二130.41415m-或m162三17解：（1）圆C1：x2+y2-6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x-3）2+y2=4，圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组(x3)2+y24，ykx，消去y可得：（1+k2）x2-6x+5=0，由=36-4（1+k2）50，可得k20.8由韦达定理，可得x1+x2=6/(1+k2)，线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为x=3/(1+k2)，y=3k/(1+k2)，其中-2/5k2/5，线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x-1.5）2+y2=9/4，其中5/3x3；（3）结论：当k-2/7，2/7-3/4，3/4时，直线L：y=k（x-4）与曲线C只有一个交点理由如下：联立方程组(x-1.5)2+y29/4，yk(x4)，消去y，可得：（1+k2）x2-（3+8k2）x+16k2=0，令=（3+8k2）2-4（1+k2）16k2=0，解得k=3/4，又轨迹C的端点（5/3，2/3）与点（4，0）决定的直线斜率为2/7，当直线L：y=k（x-4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为-2/7，2/7-3/4，3/418 解：（I）令P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意，可设抛物线方程为 y2=2px由椭圆的方程可得F1（-1，0），F2 （1，0 ）故p=2，曲线C的方程为 y2=4x，由题意，可设PQ的方程 x=my-1 （m0）把PQ的方程代入曲线C的方程 化简可得 y2-4my+4=0，y1+y2=4m，y1y2=4 又 =，x1+1=（x2+1），y1=y2，又 (y1+y2)2/y1y2=+1/+2=4m22，4，2+1/2+1/4+1/4，9/8m225/16，4/51/m2/3, 直线L的斜率k的取值范围为4/5，2/3（II）由于P，M关于X轴对称，故M（x1，-y1），KQF2-KMF2=y2/(x21)+y1/(x11)=2ky1y22(y1+y2)/(x11)(x21)=0，M、Q、F2三点共线，故直线MQ过定点F2 （1，0 ）19解：（）连接BD，设BDAC=G，连接EG、EF、FG，在菱形ABCD中，不妨设BG=1，由ABC=120，可得AG=GC=，BE平面ABCD，AB=BC=2，可知AE=EC，又AEEC，所以EG=，且EGAC，在直角EBG中，可得BE=，故DF=/2，在直角三角形FDG中，可得FG=/2，在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，FD=/2，可得EF=3/2，从而EG2+FG2=EF2，则EGFG，ACFG=G，可得EG平面AFC，由EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC；（）如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（）可得A（0，-，0），E（1，0，），F（-1，0，/2），C（0，0），即有=（1，），=（-1，-，/2），故cos，=/|=-/3则有直线AE与直线CF所成角的余弦值为/320证明：（1）根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DEAC；又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC，因为AC平面ABC，所以ACCC1；又因为ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1=C，所以AC平面BCC1B1；又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1平面B1AC；又因为AB1平面B1AC，所以BC1AB121解：（1）由f（x）=x3-3x得，f（x）=3x2-3，过点P且以P（1，-2）为切点的直线的斜率f（1）=0，所求直线方程为y=-2（2）设过P（1，-2）的直线l与y=f（x）切于另一点（x0，y0），则f（x0）=3x02-3又直线过（x0，y0），P（1，-2），故其斜率可表示为y0(2)/(x01)=(x033x0+2)/(x01)，又(x033x0+2)/(x01)=3x02-3，即x03-3x0+2=3（x02-1）（x0-1），解得x0=1（舍）或x0=-0.5，故所求直线的斜率为k=3（1/4-1）=-9/4，y-（-2）=-9/4（x-1），即9x+4y-1=022解：（1）由已知得|MN|=|NC2|，则|NC1|+|NC2|=|NC1|+|MN|=2|C1C2|=2，故动点N的轨迹是以C1，C2为焦点，以2为长轴长的椭圆，a=，c=1，b2=1，动点N的轨迹方程为x2/2+y2=1；（2）直线l：y=kx+t是圆x2+y2=1的切线，|t|/(1+k2)=1，t2=k2+1，直线l：y=kx+t代入椭圆方程可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2-2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则=8k20可得k0x1+x2=-4kt/(1+2k2)，x1x2=(2t22)/(1+2k2)，y1y2=（kx1+t）（kx2+t）=(t22k2)/(1+2k2)，t2=k2+1，x1x2=2k2/(1+2k2)，y