【硕士论文】车险奖惩系统及其定价.pdf

摘要 论文题目：车险奖惩系统及其定价 学科专业：应用数学 研究生：吴建祥 指导教师：王秋萍副教授 摘要 签名：叁垒登 签名： 王丛叠 保险数学是应用数学研究领域和金融保险研究领域这两者之间形成的一门边缘学科。 汽车保险奖惩系统( B o n u s M a l u sS y s t e m ，简称B M S ) 是广泛应用于世界各国保险公司的 一种经验估费系统，主要是根据投保人索赔记录来确定续期保费。汽车保险奖惩系统与定 价密切相关，使它成为现代保险数学中一个重要的研究课题。 本文主要用马尔可夫链、数理统计理论和最优化方法等来研究汽车保险奖惩系统及其 定价，重点是奖惩系统的改进与设计，主要研究内容和成果如下： 1 在保险实践中，要求索赔的事故次数比实际发生的事故次数要少，根据这个特点， 文中用调零的复合分布类来拟合同质性保单的索赔次数，具体地讨论了该分布类中两种特 殊分布，对分布中的参数进行了估计，给出了数值算例，并分析了拟合结果。 2 提出了当索赔次数服从负二项分布和非参数混合泊松分布时确定奖惩系统各等级 费率系数的方法。这样就把B M S 的理论模型应用到奖惩系统实际的应用模型中去。 3 由于仅考虑索赔次数奖惩系统的不公平性，建立了个考虑索赔大小和所负责任奖 惩系统的应用模型。 4 在随等级变化的每次索赔额自负额模型中考虑保单的先验变量，同时对保险公司考 虑其保费收支平衡，修改原有确定自负额的方法，使其自负额的确定更加科学合理。 5 构造了一个考虑索赔事故类型的奖惩系统。将索赔事故分成财产损失和人身伤亡两 种不同的类型，并假设其索赔次数服从不同的分布，然后在期望值原则下构建奖惩系统。 关键词：奖惩系统；索赔次数；先验信息；费率系数；自负额 主要符号表 主要符号解释 4 C i Z 肘( 只，( 五) 只( ，) P ( 五) 口只 S U ( 五) u ( Z l k , ，t ) A 五 丑。( k l ，毛) 主要符号表 索赔频率平均值为兄时B I d S 的稳态概率分布 第f 等级的费率系数 第f 等级的自负额 转移矩阵 从第f 等级转移到第，等级的概率 在时间区间( O ，r ) 内发生k 次索赔的概率 索赔频率平均值为旯时B M S 的平均保费水平 第t 年的基础保费 B M G 的等级数 结构函数 后验结构函数 作为随即变量的索赔频率 索赔频率 已知信息( 七l ，”，t ) 时对五的估计值 1 1 1 第一章绪论 1 绪论 1 1 研究背景及意义 近年来汽车拥有量大幅攀升，交通事故时有发生，造成人身伤亡和经济损失，使人们 逐渐认识到汽车保险的重要性。在不远的将来，中国一定是一个汽车保险大国。 目前，我国经营机动车辆保险业务的保险公司就有1 0 多家，汽车保险的保费在非寿 险公司中的份额已经达到6 0 左右。在2 0 0 3 年前，我国实行全国汽车保险统一费率，为 了确保在不同地区、不同保险环境下各保险公司都能盈利，导致了较高费率，这违背了费 率厘定和市场竞争的公平原则。2 0 0 3 年中国保监会对车险条款和费率管理体制进行了改 革，沿用多年的全国机动车辆统一保险条款费率将不复存在，汽车保险费率将全面市场化， 各保险公司纷纷制定了各自有特色的条款和定价体系。同时各家保险公司为了抢夺市场展 开了激烈的竞争，并且随着中国“入世”，国外的保险公司进入中国，车险市场的竞争更 加激烈，同时也为了与国际接轨。保险公司逐渐认识到：要想在竞争获胜，除了加强管理， 提高服务质量外，必须科学地、合理地厘定保费。 机动车辆保险的价格不仅事关投保人的利益，而且与保险公司的命运息息相关。保费 的厘定涉及两个方面：一个是基本保费的确定，一个是续期保费的确定，其中第二个方面 由奖惩系统决定，更显重要。公平合理的续期保费不仅受初次投保人的关注，而且直接影 响投保人的续保。此外，2 0 0 5 年中法非寿险精算暨车险定价研讨会上也强调了奖惩系统 对汽车保险定价的影响，因此奖惩系统与保险定价密切相关。 然而，当前机动车辆保险中的奖惩系统无论是在理论上，还是在应用上都还存在一些 不足和有待完善的地方。因此，设计科学合理的奖惩系统己成为一个重要的课题，对汽车 保险定价具有很现实的意义。 1 2 奖惩系统简介 奖惩系统“( B o n u s - M a i n sS y s t e m ) ，它是一种经验估费系统，奖惩系统的本质是对 于发生了索赔的投保人续保时增收保费或给与惩罚( M a l u s ) ，而对没有索赔发生的投保人 续保时给与保费折扣或奖励( B o n u s ) 。在我国机动车辆保险中也被称为无赔款优待系统， 这里我们统一称为奖惩系统，简记为B M S 。 如表i - I 是一个简单的奖惩系统“，此B M S 共有9 个等级，各等级的费率系数如表 卜1 中的第二行所示，投保人在某一等级所交的保费等于该等级的费率系数乘以基础保 费。投保人进入时的初始等级为4 ，如果一年中无赔款，那么被保险人的等级下降一个等 级，反之，有索赔，其上升的等级数等于索赔次数，投保人的最高等级不超过等级8 ，最 低等级不低于0 等级。 西安理工大擘硕士学位论文 表I - I 一个奖惩系统的例子 T a b l e l lA I Ie x a m p l eo fb o n u s - m a l u ss y s t e m I i 0123456 78 I l q 7 58 09 0 9 51 0 01 5 01 7 01 8 52 5 0 I 资料来源：文献 3 1 中3 1 8 页表5 - 1 保险实践证明，在机动车辆保险中引入奖惩系统非常必要。这是因为“1 ：保险的基本 原理在于将投保人的风险集中在一起，然后进行集体分摊，进而将个体的风险分散。由于 投保人的风险不完全一样，那么一种公平的办法是要求每一个投保人缴付与其投保风险成 正比的保险费。在保险实务中，精算师在设计费率结构时，通常把所有保险单划分为一些 相对同质风险类，相同组类的投保人缴付相同的保险费。在汽车保险中，通常引入一些先 验分类变量，把风险分成一些组类，而这些先验变量往往是投保人的年龄、性别、汽车类 型、用途、停放地点等等。但是，在汽车保险中，一些影响风险的重要因素无法事先以一 种有效的方式进行度量，例如驾驶员的反应敏捷性、超车欲望、判断准确性以及酗酒的习 惯等。因此，仅凭先验变量就将他们划在同一组就不是很合理，应根据他们实际驾驶车辆 的表现来对他们应付的保险费进行调整。这就是引进奖惩系统的根本原因。 B M S 在实际应用中被证明具有以下的作用”： 第一，它使每个投保人缴纳的保费更能真实地接近于个体风险，即每个投保人的保费 更真实地反映其自身的风险水平；第二，它可以鼓励司机安全驾驶，为了避免保费上的惩 罚，司机们会尽量减少事故的发生；第三，它可以减少小额赔款的发生，因为有的投保人 为了避免保费上的惩罚，对于一些小额损失，不会要求索赔，对保险公司来说这样就可以 降低索赔成本和管理费甩， 正是这些优点，使得B I I S 保费体系受到投保人和保险人的青睐，而在各国的机动车辆 保险中被广泛应用。 1 3 研究现状与存在的问题 在B M S 研究方面，美国宾夕法尼亚大学沃顿商学院的J e a nL e m a i r e 教授、中国人民 大学的袁卫教授、天津财经学院的孟生旺教授做出了巨大的贡献。正是因为他们的研究使 得现实的B M S 有了参考依据，大大促进了B I d S 的研究和应用。 对B M S 研究总结起来主要有三个方面：一是有关B M S 基础理论和对B M S 的评价；二是 有关B M S 的设计；三是B M S 带来的影响以及其相关研究。其中第二个方面是研究的核心， 也是研究的热点。下面分别介绍喇S 在这三个方面的研究现状，然后说明B M S 研究中存在 的问题。 2 第一章绪论 1 3 1B M S 研究现状 a M S 基础性理论和对B M 8 的评估 早在1 9 7 2 年，L o i m a r a n t a “就发表了一篇开拓性的文章，在此文中，L o i m a r a n t a 用马尔可夫链来研究B h I S 的渐进属性( B i S 的效率、最小方差等级保费等) ，并系统地研 究了B M S 的转移规则、转移矩阵等。其它早期用马尔可夫链研究B M S 的还有M o l n a r 和 R o c k w e l l “1 ( 1 9 6 6 ) 、L e m a i r e ( 1 9 7 6 ) 等人。而在等级保费的确定方面，有突出贡献的 是N o r b e r g n l 、B o r g a n n l 等人( 1 9 8 1 ) 以及G i l d e 和S u n d t 1 ( 1 9 8 9 ) 等，但总的来讲， 这些等级保费的确定方法只适应于具有马尔可夫属性的B M S 。直到2 0 0 2 年，C e n t e n o 等 人“们才解决非马尔可夫B M S 的等级保费确定问题，在此文中，作者给出了在路径依赖下 求B M s 最优等级保费的方法。 B M S 投入使用后，很多精算师对其进行了分析和评估，在B M S 评估工作中做出最大贡 献的是L e m a i r e ，在他的专著L e m a i r e “( 1 9 9 5 ) 中，L e m a i r e 全面总结了有关B M S 评价 的方法与指标等，同时对包括台湾在内的3 0 个国家和地区的B M S 做了详细的分析与比较。 另外，P a o l aV e r i c o ”1 ( 2 0 0 2 ) 与F a b i oB a i o n e n ”( 2 0 0 2 ) 就基于索赔次数B M S 的充分 性与透明度做了极具意义的工作。 b B M $ 的设计 在理论上，根据转移规则的不同，将现有文献中出现过的B M S 分为两类：一方面是基 于索赔次数的B M S 的理论研究；一方面是在考虑索赔次数的同时又考虑索赔额的B M S 的理 论研究。而且，在基于索赔次数的B M S 理论研究中也包括两大类：一类是只利用后验信息 ( 索赔次数) 的B M s 研究；另一类是同时考虑先验信息的B M S 理论研究。同样，考虑索赔 额大小的B M S 的研究也包括这两类。下面对研究现状分别作介绍。 ( 1 ) 基于索赔次数的B M S 理论研究 B i c h s e l 和B u h l m a n n “蚰( 1 9 6 7 ) 等系统地提出了期望值保费原理，也就是每个投保 人所缴纳的保费应与其未知索赔次数成正比。后来，L e m a i r en 钉( 1 9 7 9 ) 在假设投保人的 索赔次数服从负二项分布的基础上，根据期望值原理和G e r b e r “”( 1 9 7 4 ) 提出的指数效 用原理，创建了奖惩系数表。在L e m a i r e “”( 1 9 9 5 ) 一文中，L e m a i r e 又用平方差损失函 数和期望值保费计算原理，以及用负二项分布作为索赔频率的拟合分布获得了一个最优 B M S 。T r e m b l a y “ ( 1 9 9 2 ) 则认为利用二次误差损失函数，零效用保费计算原理和泊松一 逆高斯分布作为索赔频率分布可以得到最优B M S 。后来，J F W a l h i n 和J P a r i s “盯( 1 9 9 9 ) 仍然根据期望值原理和零效用原理，假设索赔次数服从非参数分布模型创建了最优奖惩系 统，同时将其与索赔次数服从复合分布下的8 M S 做了比较。在国内，有关B M S 的研究主要 是基于后验信息，对此作出大量工作的是孟生旺”。孟生旺根据期望值原理、半方差 西安理工大学硕士学位论文 原理、方差原理、标准差原理、零效用原理等。同时假设索赔次数服从混合负二项模型、 二项一贝塔模型，以及其它复合泊松模型，比较系统地创建了一系列最优B M S 。 以上这些工作，虽然采用了不同的定价原理，同时做了不同损失分布的假设，产生了 不同效果的奖惩系统，但是它们的基本原理相同，都是基于后验信息索赔次数的B M S 。 为了更好的奖励“好”司机。惩罚“坏”司机，6 r e g T a y l o r “( 1 9 9 7 ) 试着将先验 信息纳入了基于索赔次数的B M S ，J e a nP i n q u e t ( 1 9 9 8 ) 研究了有无过失事故的B M S ， 等等。 ( 2 ) 考虑索赔大小的B M S 的理论研究 虽然精算师们早就认识到了基于索赔次数的B M S 的不足，但是到目前为止，有关考虑 索赔大小的B M S 的研究工作还是不多。考虑索赔大小的B M S 颇有价值的文献有 P i c a r d ( 1 9 7 6 ) 叠1 ，J e a nP i n q u e t 。“( 1 9 9 7 ，1 9 9 8 ) ，N i c h o l a sEF r a n g o s 和S p y r i d o n D V r o n t o s 衢( 2 0 0 1 ) 的文章。P i n q u e t 协( 1 9 9 7 ) 考虑事故严重程度设计奖惩系统，按 事故的严重程度分成两类：大损失和小损失。为了把大损失从小损失中分离出来，有两种 选择：一是规定一个限额，在这个限额以下的被认为是小损失，其余的是大损失；二是对 造成财产损失和人身伤害的事故进行细分，对造成人身伤害事的被保险人惩罚更为严厉。 而N i c h o l a sE F r a n g o s 和S p y r d o nD V r o n t o s ”的主要工作也是将索赔次数与索赔额 大小一同考虑在B M S 里，但是他们假设索赔大小与索赔次数相互独立。另外，N i c h o l a s E F r a n g o s 哺1 还建立了一个广义B M S 模型。在此模型中，他们同时考虑了投保人的先验信 息，也就是投保人的个人特征。 在国内，孟生旺呦1 首先涉及到了这方面的工作，他侧重的是在不同分布、不同保费 原理下的考虑索赔大小的B 淤。他分另目根据期望值原理、方差原理以及标准差原理，研究 了在负二项一帕累托损失模型、负二项一对数正态损失模型以及负二项一伽玛损失模型下的 B b I S 。而另外一篇文章王奕渲和周叔子协1 ( 2 0 0 2 ) 的主要工作是，他们在假设索赔次 数服从负二项广义帕累托分布，索赔大小服从指数一伽玛分布，假设索赔次数与索赔大小 相互独立的前提下，根据期望值原理和期望值一方差原理，推导出了计算奖惩系统保费的 公式。 c B M S 的影响以及其他相关研究 我们知道，基于索赔次数的B M S 有很多不足，其中一个关键问题是引起追逐奖励行为。 为此。H o l t a n ”1 1 认为是否向保险公司索赔是一个决策问题，决策行为取决予投保人的 索赔和不索赔这两种选择给投保人带来的预期回报的大小。由于追逐奖励行为的存在，保 险公司的索赔次数与索赔大小数据不能真实地反应投保人的风险，为解决此闯题，J e a n F r a n c o i sW a l h i n 。1 ( 2 0 0 0 ) 利用L e m a i r e 算子模拟出了B M S 系统下索赔次数与索赔大小 的真实分布。既然在基于索赔次数的B M S 下追逐奖励行为不可避免，有人就提出，是否可 4 第一章绪论 以用其它办法来取代B M S 昵? 对此，J o nH o l t a n “1 ( 1 9 9 4 ) 找到了一种替代办法，J o n H o l t a n 认为，高t l 负额奖惩系统可以解决追逐奖励行为问题，同时也具备B M S 的某些优 良特性。针对J o nH o l t a n 的观点，L e m a i r e 和H o n g m i nz ib ”( 1 9 9 4 ) 马上给予了回应， 并指出了高额免赔额系统存在的优点与不足。S a n d r aP i t r e b o i s 驼1 ( 2 0 0 5 ) 提出用不同等 级的罚金来代替传统的B M S 。 1 3 2B M S 研究中存在的问题 a 怎样提高损失数据的拟合精度 因为机动车辆保险中B 牺的研究是建立在投保人索赔历史记录的基础之上，而索赔历 史主要包括索赔额大小和索赔次数。而目前绝大部分保险公司的B M S 都建立在历史索赔次 数记录上，索赔次数拟合精度的高低直接影响B M s 的执行效果。因此，如何提高索赔次数 数据拟合精度一直是讨论的热点。 b 对考虑索赔次数B M S 的改进 现在的绝大多数B M S 只考虑到索赔次数( 韩国和香港除外) ，而且关于奖惩系统讨论 的文献大部分都是理论模型n “”，与实际操作中的B M S 还有一定差距，数学理论上正确， 但与现行的保险条款不是很相符。比如，理论模型中假设奖惩系统中等级数是无限，但实 际中等级数是有限的，那么。根据不同索赔次数分布，建立最优准则，确定最优的各等级 费率系数，这是汽车保险定价的关键。 c 怎样在B M S 中考虑索赔额的大小 现有的B M S 只是考虑了索赔次数，而没有考虑索赔大小，这样的B M S 没有全面利用投 保人的风险信息。索赔次数固然反映了投保人的一部分风险，但它不能全面衡量保单的风 险，因为相同索赔次数带来的实际损失往往差别是很大的。有入已经在这方面有所研究， 但是他们的主要工作是考虑索赔大小B M S 的理论模型。如何设计考虑索赔额的奖惩系统， 建立其相应的应用模型，使其在保险实践中简便可行，是有待解决的问题。 d 在酬s 中考虑自负颧和先验变量 针对现有B M S 存在的不足，在B M S 中考虑自负额，即投保人也要负担部分赔付责任， 从长期看，高风险的投保人要比低风险的投保人多付自负额这部分费用。从某种程度来说， 自负额与B M S 有着同样的目的啪。 随着保险越来越细分和注重考查投保人的先验信息，所以我们有必要在自负额模型中 考虑投保人的先验信息，同时对保险公司考虑保费的收支平衡，使其自负额的确定更加科 学。 西安理工大学硕士学位论文 1 4 本文主要目的与研究内容 通过前面的分析与阐述，可以看到，奖惩系统与汽车保险定价密切相关，使它成为现 代精算学中一个重要的研究课题。 本文的主要目的是对阴S 进行了研究，包括人保B M S 的实证分析，索赔次数服从特殊 分布肘费率系数的确定，以及在一定假设下对现有B M S 进行了改进。具体的研究内容如下； 第二章，先介绍了汽车保险定价的基本思想，列举出了损失分布即索赔额和索赔次数 的常用分布。重点讨论了受免赔额和无赔款优待等因素的影响，使得保单组合中索赔次数 为零保单数相对较多，根据这个特点引出了同质性保单索赔次数的一种分布类，即调零的 复合泊松分布类。然后讨论了这类分布中两种特殊的索赔次数分布模型，对模型中相应参 数的进行了估计。最后给出数值算例，并对拟合效果进行了分析。 第三章。先介绍B M S 的基本数学理论，然后以我国人民保险公司的奖惩系统为例，对 人保B M S 进行性质分析，指出入保B M S 存在的优缺点，为理论研究和保险实践提供参考。 第四章，我们主要讨论了当索赔次数服从负二项分布和非参数混合泊松分布时确定各 等级费率系数的方法。这样就把B M S 的理论模型应用到B 弱实际的应用模型中去。 第五章，针对仅考虑索赔次数B M S 的不公平问题，对B M S 进行了三点改进。首先，构 造了考虑索赔额和应负责任的B M S ，给出了求费率系数的方法；然后在考虑投保人先验信 息的基础上，对传统B M S 和随等级变化自负额相结合的B M S 模型进行了改进。最后给出了 一个考虑索赔事故类型( 把事故分为财产损失和人生伤亡) 奖惩系统的定价方案。 第六章，对本文所做的工作进行了总结，指出了尚待解决的问题。 对汽车保险中的B M S 做了研究，其逻辑结构如下： 6 第1 章IB M S 研究绪论 绪论I + 一 磺篡羡喀 汽车保险定价基I 足r 原埋 本原理与索赔次r 。4 数分布l 棼尸 中国人民保险公厂一一 司B M s 的性质1 分析I 图卜1 论文结构 F i g u r e l 1P a p e r ss t r u g t u r e 第5 章 对现有B M S 的改进 第6 章 工作总结和有 待解决的问题 薹f 惩统 其价 奖系 及定 第一章绪论 1 5 小结 本章阐述了论文的研究背景与研究意义，简要地介绍了奖惩系统，然后重点介绍奖惩 系统的研究现状与存在的问题，针对研究中存在的问题指明了尝试研究的方向。最后指出 了本文研究目的与研究内容。 7 g _ - 章汽车保险定价的基本原理和索赔次数分布 2 汽车保险定价的基本原理和索赔次数分布 2 1 汽车保险定价的基本原理 本文讨论汽车保险尤其是第三者责任保险。汽车第三者责任保险是指因使用被保 险的汽车发生意外事故致使第三者人身伤亡或第三者财产损害，被保险人依法应负经济赔 偿责任时，保险人依照汽车责任保险条款的规定，对被保险人依法应承担的经济赔偿责任 进行赔偿2 “1 。汽车第三者责任保险费率厘定的基本思想是“。1 ：首先使用保单的某些先 验特征变量( 如被保险人的年龄、性别、婚姻状况、汽车的类别和使用性质等) 对被保险 人进行分组，形成若干个相对同质的风险集合，并根据损失分布厘定各组的先验保费；然 后在此基础上根据被保险人的索赔记录对其续期保费进行调整，形成后验保费。对续期保 费进行调整的系统就是奖惩系统。 一般地，汽车保险费由纯保费和附加保费构成，其中纯保费是用于补偿保险公司赔付 而支出的费用，它的大小确定以保险开发人员的对历史损失数据的统计为基础。保险公司 经营业务需要一些必要的费用，如业务人员招揽新合同、签发保单、佣金等项工作，都需 要支出相当的费用。这部分于纯保费之外为经营车险业务所必须的费用，称为附加保费， 这部分保费也要由投保人承担。纯保费和附加保费的和，就是毛保费，毛保费就是每位投 保人实际缴纳的保费。其中附加保费又包括安全附加和费用附加两部分。从下图2 1 可以 清楚地了解汽车保费的构成情况。 图2 - 1 汽车保险费的构成 F i g u r e 2 一lT h es t r u c t u r eo f a u t o m o b i l ei n s u r a n c ep r e m i u m s 本文是在纯保费的基础上讨论汽车保险费的确定，没有考虑附加费用。 9 西安理工大学硕士学位论文 从理论上讲，纯保费应该等于期望年索赔成本，即P = E 岱) ，其中S 是某类保单的年 索赔总额。把所有的保单视为一个整体，以每一次索赔为基本对象，索赔总额就是所有单 个保单索赔额之和，即有 s = X l + X 2 + X 其中，工。表示第f 次索赔额，表示索赔次数，Z 与都是随机变量。为了使模型在数 学上容易处理，我们往往假设索赔次数与索赔额置相互独立，且索赔额X ，是独立同分 布的随机变量。此时有 P = E ( s ) = 【E s I ) 】= E M 【E ( z ) 】= E ( ) E ( x ) 即纯保费等于年索赔次数的均值E ( ) 和每次索赔额均值E ( 工) 的乘积。 无论是保单的基本保费还是包括奖惩系统在内的保费调整都与总理赔额有关，而总理 赔额与索赔次数，索赔额有关。在厘定保险费的过程中需要考虑的两个重要因素是保单的 索赔额和索赔次数。 非寿险精算数学中的索赔额z 是个非负的随机变量，它的分布般是正偏斜，它的 密度函数在右边有长“尾巴”，所以我们主要用正偏斜的分布来拟合索赔额。索赔额常用 的理论分布主要有指数分布、伽玛分布、对数正态分布、p a r e t o 分布等8 “。各种索赔 额分布的评析见文献1 3 4 1 ，也可以用复合分布来讨论索赔额的分布“，如指数和伽玛分 布的复合分布。H o g g 和K l u g m a n ( 1 9 8 4 ) 对索赔额分布的选择以及分布中参数的估计进行了 系统的研究 3 4 1 。王晓军嘲等人提出用一些常用分布的叠加来拟合索赔额， 此外，高洪忠提出了用广义p a r e t o 分布来拟合高于临界值的超额分布，即 Y = X 一( 若X a ) 的分布。陈飞跃脚1 讨论了免赔额和赔偿限额情况下索赔额的分布， 并讨论了在此情况下的纯保费计算问题，关于免赔额、赔款限额或两者结合对赔款损失的 影响可以参看文献【2 0 】，这里就不作详细的介绍。 下面讨论索赔次数常用的理论分布模型。 2 2 常见索赔次数分布模型 保单组合的索赔次数模型是指在一特定时间( 通常是一年) 内保单组合中任意抽取的 一份保单发生七次( k = 0 , 1 ，) 索赔的概率。下面列举出常用拟合索赔次数分布模型1 0 2 2 1 同质性保单组合的索赔次数分布 所谓同质性保单组合的索赔次数是指一个保单组合中的每份保单具有相同的索赔频 率，且各自相互独立。在一个单位时问内，同质性保单组合的索赔次数服从参数为五的泊 松分布，即 只伍) = 丢e ，七= o l 2 ， 一般用泊松分布来拟合同质性保单组合的索赔次数不能很好地反映保单的个体差异。 1 0 第二章汽车保险定价的基本原理和索赔次数分布 2 2 2 非同质性保单组合的索赔次数分布 在保险实践中，尽管大多数险种都按先验变量对被保险人进行分组，希望尽可能地反 映被保险人的风险水平。但被划分到同一组的保单仍然不可避免的存在某种程度的非同质 性。此时常常用复合分布来拟合其索赔次数。 对于一个保单组合而言，每份保单的风险水平又是有差异的，这种差异性可通过保单 泊松参数的不同加以反映。因此，要准确描述一个非同质性保单组合的索赔次数分布，就 首先需要确定这一保单组合中泊松参数的变化规律。由于保险公司的保单往往是大规模 的，因此可以假设一个保单组合的泊松参数服从连续分布。这种描述一个保单组合泊松参 数变化规律的分布称作结构函数。在假设一保单组合的泊松参数五服从参数为U ( 肋的前 提下，那么，从此保单组合中随机抽取的任意一份保单在单位时间内发生k 次索赔的概率 为 最= f 等U ( d A 其中U ) 称为结构函数。当U ( 五) 取不同的分布时可以得到不同的复合分布。 例如，当假设一个保单组合的泊松参数五服从参数为位，卢) 的伽玛分布时，从保单组 合中随机抽取的一份保单在单位时间内发生七次索赔的概率为 只= r 等删A = f 等等姒 = i 磊孑= ；忑再彳f P 一1 ( “所【A ( 1 + ) 】+ 。1 d z ( 1 + ) 】 七! r ( 口) ( 1 + f 1 ) ”b 、 ：! 坠竺2笆 r ( k + 1 ) r ( 口) ( 1 + f 1 ) 2 + 。 = ( “叫h 卫l + , 0 1 J 。( 瑚1 k = 0 , 1 , - - 缇- ， 其中球 O , f l o ，这是一个参数为( 口，若，_ ) 的负二项分布，也称为泊松一伽玛分布其均 值、方差分别为 2 芳一22 弘旁 类似的还有泊松一逆高斯模型、负二项一贝塔分布、二项一贝塔分布等伽1 。 对规模较小的保单组合，可以假设泊松分布参数取有限个值，比如取大、中、小三种 值，分别代表高、中、低三种风险。如孟生旺汹文章中的二元、三元泊松分布，这种分 布称为非参数的混合泊松分布，它适合于规模相对较小的保单组合。 此外，还有带回归成分的负二项分布模型油1 。在用泊松分布来刻画保单的索赔次数 时，因为每个保单的风险不同，所以参数A 不是一个常量，而是一个随投保人i 变化的量。 投保人i 的风险与其风险特征变量有关，记他的七个特征变量组成的向量为 西安理工大学硕士学位论文 = n ，一2 ，h ) ，则 丑；e x p ( x 。卢) ( 2 2 ) 因为影响投保人风险的因素远不止这k 个，因此，上式( 2 2 ) 还不能完整的刻画投 保人的风险。但是另外的那些因素是很难度量的，因而可以通过一回归成分来准确地描述 投保人的风险，即 = e x p ( x , p + 毛) ( 2 3 ) 记= e x p ( 6 ，) ，且假设“，服从伽玛分布( e ( u ，) = l ，V a r ( u ，) = 1 a ) ，则有啪1 ： 州吣甓者 望笋n 晋下“ 眩4 ， 这是一个参数为口和e x p ( x j 历的负二项分布，且有： 占( M ) = c x p ( x , ) ， V a r ( N 1 ) ：毗刃l1 4 - 竺咝l L 口 j 以上列举出了常用索赔次数的分布，高洪忠“和毛泽春“n 的博士论文中提出了一些 新的索赔次数分布模型。 由于受地域、气候、人们的生活习惯以及承担业务范围等因素的影响，各保险公司关 于索赔损失历史数据不一定遵循相同的规律，也就是说，各保险公司在拟合数据时选择的 损失模型不一定相同。各保险公司可以根据自己的数据采用适合自己的拟合分布，至于索 赔次数模型的选取可以参考孟生旺。1 编的书和许芹”的硕士学位论文。 下面引入调零的复合分布。 2 3 调零的复合分布类 毛泽春船1 考虑免赔额和无赔款优待对实际索赔次数的影响，提出了同质性保单( 所 谓的同质性是指保单具有相同的风险) 组合索赔次数的G P 分布。对同质性保单，一般用 p o i s s o n 分布，事实上，只有在较为理想的环境下，单位时间内的风险事件出现的次数才 服从p o i s s o n 分布。 在保险实务中，单位时间内保单组合中无索赔记录的保单所占比例较大，主要是保险 公司采用了回避风险的机制，如免赔额、无赔款优待费率体系等，使得投保人在发生事故 时会权衡利益得失而决定是否索赔，往往使得风险事故次数比实际索赔次数大得多。基于 索赔次数的这个特点，本文引出用调零的复合分布类来拟合同质性保单的索赔次数。 用随机变量x ，y 分别表示保单个体在单位时间内发生的事故次数和保单实际的索赔 次数。假设随机变量X 和y 的概率函数之间满足如下关系式 e ( r = O ) = 缈+ ( 1 一尹) P ( X = 0 ) ( 2 5 ) 以Y = - ，) = ( 1 一神以X = D - ，= 1 ，2 ( 2 6 ) 其中随机变量X 可以服从的分布有泊松分布、一般泊松分布、负二项分布和双参数 的泊松分布等。般把形如式( 2 5 ) 与式( 2 6 ) 这样的分布类称为调零的复合分布1 4 4 1 。 1 2 第二章汽车保险定价的基本原理和索赔次数分布 由式( 2 5 ) 中P ( 】，= 。) = 伊+ ( 1 一纠户( x = 。) 。，可以得到妒 F - j P ( 沥X 瓦= 面o ) ；由式( 2 6 ) 知矽1 ，当伊 o 俐 1 。注意，当口= o 时，一般泊松分布就变成泊松分布。此时， 随机变量】，的均值和方差分别为 占= 0 一力南 V a r ( Y ) ；E ( r ) 咕= 历1F + i 茜一以即J l l C 功，l _l C ， 下面讨论调零的一般泊松分布中参数的极大似然估计。 构造似然函数 坛咖。确1 。加一咖号等孚， 令Z = ( 1 - 咖( 1 一P 却) ，则对数似然函数为 l n L n o 唧一A ) 十雄 I n f ( 1 - e 。) 。】+ u 1 ) l n ( 1 + j a ) 4 - j ( 1 n e a o ) 一口一l n U ! ) 从而似然方程组为 等= 高1 + 喜考= o 亿埘 舰 一A 智A ”7 警= 薹_ 裙一j o = o 警=若萎州姜n，石11一和恻= 。亿 a 口 一F 一9 缶。_ 、缶J 7 7 口台“、l 。，“一u 、1 二7 由式( 2 1 0 ) 得A ；竺丑。 下面说明用N e w t o n 迭代算法求解非线性方程组( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 的方法。记含有”个未 知数刀个方程的非线性方程组为F = 0 ，则N e w t o n 迭代算法的迭代公式为： x 州= 一( F ( ) ) 一1 F ( x ) f 些1 常用矩估计求得的参数估计值作为迭代初值，此例中的，( = l 盔 ，迭代的关键是求 【百矿J 出以x ) 的导数，由式( 2 1 1 ) 、式( 2 。1 2 ) 可以求出 第二章汽车保险定价的基本原理和索赔次数分布 伽巨0 2h a L 霉0 2 1 n L 警= 一妻J = ln ，丽j 2 ( j - 1 ) 。a 2 h a L 一 。) 蔷枷一二-一 0 0 ( 1 8 - 。) o 一a2haL：童-，乃Oa 0 0 鲁7 ，这样，用数学软件m a t l a b 编程即可求得参数砺0 的极大 2 3 3 数值算例与拟合效果分析 采用某保险公司1 9 9 6 年3 5 0 7 2 辆投保车辆的第三责任险索赔次数的数据，数据来源 于文献 4 3 1 。表2 一l 中的前两列来自于该文献，然后用泊松分布、调零泊松分布和调零 的一般泊松分布分别进行拟合，采用数学软件m a t l a b 编程( 程序见附录程序1 ) ，计算的 结果见表2 - 1 的后三列。 表2 - 1 索赔次数数据和拟合结果 T a b l e 2 1n 犯d a t eo f c l a i mn u m b e ra n df i t t e dr e s u l t s 拟合值 索赔次数观察值 调零的一般 泊松分布调零的泊松分布 泊松分布 0 2 7 1 4 12 5 5 2 8 62 7 1 4 1 0 2 7 1 4 2 1 2 15 7 8 98 1 0 7 9 85 4 0 7 4 25 7 8 0 7 4 21 4 4 31 2 8 7 5 61 9 5 3 9 21 4 6 8 2 9 34 5 71 3 6 3 1 24 7 0 6 8 54 4 6 3 3 5 41 5 5l O 8 2 3 38 5 0 3 8 7 1 4 9 6 3 7 55 60 6 8 7 5 01 2 2 9 1 25 3 3 6 4 0 6 2 7 0 0 3 6 3 91 4 8 0 41 9 8 5 8 3 720 0 0 1 6 50 1 5 2 87 6 2 3 4 2 81 O 0 0 1 3 82 9 9 6 8 9 9lO0 0 0 1 1I 2 0 0 3 9 1 0OO0 0 0 0 0 8 0 4 8 8 1 4 6 Z 2 3 0 3 0 7 6 1 8 0 7 1 I 9 5 9 3 3 3 彳9 5Z 7 2 , 0 9 5 = 1 4 1砣0 9 5 = 1 2 6庙= 1 1 0 7 在调零的泊松分布中，参数的极大似然估计值为：矿= 0 5 6 0 5 2 ，口= 0 7 2 2 6 8 。z 2 统计 量的查表值z ；。m = 1 2 6 ，远远小于真实值1 8 0 7 1 l ，因此调零的泊松分布的拟合效果不 理想。 1 5 西安理工大学硕士学位论文 在调零的一般泊松分布，参数的极大似然估计值为：口= 0 2 0 1 5 ，口= 1 0 6 1 0 ， 伊= - o 2 3 9 1 ，z 2 统计量的查表值赢”= I I 0 7 大于真实值9 5 9 3 3 3 ，因此调零一般泊松 分布的拟合效果较好。 此外，对同质性保单组合其索赔次数是服从泊松分布还是多零混合泊松分布也可以作 出检验，当伊= 0 时，索赔次数就服从泊松分布。因此，提出假设风：矿= 0 ，备择假设 甄：妒0 ，V a n d e n b r o e k ( 1 9 9 5 ) 提出了检验的方法”1 ，构造的统计量为 s j 塑= 堡2 二：( 2 1 3 ) ，妒o ( 1 一p o ) 一行即； 其中n 为保单总数，为索赔次数为零的保单数，是保单组合索赔次数的均值， P o = P 1 ，“是在零假设下( 即保单组合索赔次数服从泊松分布时) ，拟合索赔次数得到的 泊松参数值。在疗很大时，统计量S 近似服从自由度为1 的z 2 分布。取检验水平为0 0 5 ， 查z 2 统计量查表值为z 乙m = 3 8 4 ，按式( 2 1 3 ) 计算S = 2 4 8 8 2 8 7 0 ，远远大于3 8 4 ，因 此，拒绝日。，即认为用泊松分布来拟合此保单的索赔次数是不适合的，这与拟合的结果 也是相符的。 2 3 4 对调零复合分布的近一步讨论 其实调零复合泊松分布并不难理解，就是特别考虑索赔次数为零次的概率，调零分布 的引入，保证了零次索赔概率的真实性。而在建立B M S 时，零次索赔概率也是计算等级费 率的关键。 此类分在在生物统计和产品统计上也有广泛的用途。此外，由式( 2 5 ) 、式( 2 6 ) 知：当随机变量Z 服从泊松分布、二项分布或负二项分布时，有 错P ( Y = 错P ( x = 4 + 鱼J ，= 1 ，2 ，= n= n 一 把这样的分布类称为( a ，b ，1 ) 族m ”。P a n j e r 档1 给出了当索赔次数服从( a ，b 。1 ) 族时， 计算( a ，b ，1 ) 族总理赔额的递推算法( 见文献 4 7 1 的1 3 8 页) 。此递推算法在非寿险精 算中有着广泛的应用，那么这里引进的调零分布也可以使用该递推公式求总损失的分布。 2 4 小结 本章首先介绍了汽车保险定价的基本思想，指出在汽车保险定价过程中需要考虑的两 个重要因素：保单的索赔次数和索赔额，列举出了索赔次数和索赔额的常用分布。提出用 调零的复合泊松分布类来拟合同质性保单的索赔次数。然后讨论了这类分布中两种特殊的 索赔次数分布模型，分别给出了分布中参数的极大似然估计，通过数值算例表明拟合效果。 1 6 第三章删S 的教学理论及中国人民保险公司B M S 的性质分析 3B M S 的数学理论及中国人民保险公司B M S 的性质分析 3 1 B M S 的数学理论 按照1 2 节中奖惩系统的定义，一般从以下三个方面来描述一个B M S 2 1 1 ： ( 1 ) 假设8 M S 有s + 1 个等级，分别用o ，1 ，j 表示，各等级保费系数f = ( c o ，q ，c s ) ， 其中第f 等级的费率系数为c ，它们一般按递增顺序排列，即c o q f 2 4 9 6 9 7 8 9 2 4 0 7 0 4 4 3 9 O 1 0 6 ，9 7 4 数据来源：文献 2 1 的第2 0 页 用矩法估计得到负二项分布的参数口= 1 6 0 4 9 ，卢= 1 5 8 7 7 8 ( 见文献 2 1 中的1 2 5 页) ， 由式( 2 1 ) 我们可以得到索赔频率值，如下表3 - 3 所示。 1 9 西安理工大学硕士学位论文 表3 - 3 索赔频率 T a b l e 3 - 3C l a i mf i e q u e n c y f f0l 2 3 - 4 l 易 0 9 0 6 60 0 8 6 20 0 0 6 70 0 0 0 4 7 4 0 0 0 0 0 2 6 由于人保保险公司索赔次数数据采集的困难，我们采用了文献 2 1 中的数据，再根 据人保的B M S 的转移矩阵，由式( 3 1 ) 可以求出稳态分布口0 1 0 ”为 a o = ( 0 8 8 9 1 ，0 0 9 6 1 ，0 0 1 6 4 ，0 0 0 2 9 ) 3 2 3 人保B M S 的性质分析 以稳态分布为基础，以下从保单组合的平均保费水平、奖惩系统的弹性、奖惩系统的 收敛时间和财务平衡四个方面来分析人保奖惩系统的性质。 a - 平均保费水平 当奖惩系统达到稳定状态时，由系统的平均保费水平公式 4 而= 研q ) l - l 可以求出此时投保人的平均保费水平是及正而面= 7 1 3 4 。 在索赔次数服从泊松一伽玛分布的假设下，图3 1 显示了平均索赔频率名( 五界于0 和0 5 之间时) 与平均平稳保费水平丽之间的关系。 图3 - 1 平均保费 F i g u r e 3 1A v e r a g es t a t i o n a r yp r e m i u m 图3 - 1 刻画了当奖惩系统达到稳定状态