商品定价的几个数学模型与春运客票价格的政府调控政策研究.pdf

商品定价的几个数学模型与春运客票价格的政府调控政策研究 化存才 云南师范大学数学学院，数学科学研究所，昆明6 5 0 0 9 2 c u n c a i h u a s o h u t o m 摘要：本文主要综合性地给出关于商品定价的几个 数学模型，其中包括商品的浮动价格与二次需求函 数模型，凸需求函数与多种价格并存的优化模型， 价格的需求概率分布模型，商品价格的l 维微分方 程动力学模型，春运客票调价的2 维微分方程动力 学模型，其中后三者是本文新建立的模型。将这些 数学模型都应用于分析春运中客运票价的政府调 控政策，提出了许多合理的建议。 关键词：商品定价模型，需求风险模型，微分方程 动力学模型，政府调控政策 自从我国实行社会主义市场经济以来，经济发 展蒸蒸日上，成绩喜人。但是，在发展的同时，出 现了许多为社会所关注热点经济问题，比如春运， 旅游黄金周，房地产，金融证券与投资，教育的投 资与商品化等。以春运为例，春节是中华民族的传 统节日，回乡过年已成为中华民族不可改变的风俗 习惯，且大多数中国人都是乘举火车回家。因为大 量的客流拥挤铁路，而铁路的运力有限，所以就形 成了严重的铁路客票供求矛盾的极端现象，购票 难，乘车难的问题不可避免地出现。如何通过制定 合理的宏观调控政策去解决象春运这样的热点经 济问题是政府面临的重要问题。事实上，数学建模 在解决热点商品经济问题和引导政府制定调控政 策方面是大有可为的。 近年来，我们就以一些热点商品经济问题为背 景，围绕商品的定价问题，系统地建立了一些新的 数学模型，并且分别将它们应用于分析有关的商品 经济问题。在本文中，我们主要综合地介绍商品的 浮动价格与二次需求函数模型，凸需求函数与多 种价格并存的优化模型【2 l ，商品价格的需求概率分 布模型，商品价格的1 维微分方程动力学模型，春 运客票调价的2 维微分方程动力学模型，并侧重地 应用它们分析春运客票价的政府调控政策。 1 商品的浮动价格与二次需求函数模型 第十届中国青年信息与管理学者大会论文集， 洛阳，2 0 0 8 年8 月3 7 日，第1 2 1 7 页 人们普遍认为，商品的高折扣价带来是销售量 的增加，低折扣价则带来销售量的减少，因而认为 商品的需求函数是一个单调减少的函数p J 。实际上， 由于缺乏数学上的分析，故销售商在制定商品的折 扣价格时人为的因素很大，因而制定出的高低两极 的价格往往不是最优价格，也难以得到消费者的认 可。同时，大多数消费者对于折扣定价机制也是知 之甚少的，他们在购买商品时常常处于被动的地 位。从社会现象来说，一种商品在其供求矛盾十分 突出时，其销售价格往往也需要考虑适当地向上浮 动，但是，这种涨价对于有些公共商品而言就是一 个很敏感的社会问题，比如在春运经济活动中的客 运票价格，生活中的水电气价格等，此时就需要正 确地处理好相关的社会问题。为此，我们建立了如 下商品的浮动价格模型和二次需求函数模型，给出 商品价格上浮和保持的条件，一种商品价格折扣定 价策略。 现设商品的批发价为口，在供求关系正常时， 零售价格( 标准价格) 定为P q 。在零售时，需求 函数为0 ( P ) ，非批发成本为C ，销售纯利润为缈， 则有： W = ( P 一口) 秒( p ) 一C ( 1 ) 现考虑商品购销中供求矛盾突出时的浮动价 格。我们假设要确定的价格浮动率记为口，相应的 需求量记为以，非批发成本记为C 。，而由此产生 的纯币0 润为0 ，贝0 有： 睨= ( 口P g ) 眈一c 。 ( 2 ) 1 1 商品价格上浮和价格保持的条件 在保证商品销售利润的前提下，在商品的供给 大于需求时，就要下调口使需求量增加，薄利多销： 在供给小于需求时，又要上调口使得需求量减少， 少销多利，或者采取其它相应措施保价供应。因此， 总的要求是良 乡和睨W 。于是，我们有价格 浮动率满足： 商品定价的几个数学模犁与春运客票价格的政府调控政策研究 蛇约P P 伊等P 吨，) 9 ： e ， “l 一 如果在商品供求矛盾十分突出时采取的某些 相应措施得当( 比如增加销售网点，人员，运营车辆 等) ，那么应有C 。C 。于是，我们有价格上浮的 充分条件和价格保持的必要条件： 当Q C ( p g ) ( 眈一0 ) 时，有口1 ，即 价格必须上调，上调的最小浮动率为口。； 反 之，对 于任何 口，都 有 C 。一C ( P g ) ( 眈一0 ) + ( 口一1 ) 以。特别地， 要保持价格不变( 口= 1 ) ，就必须要求满足： C 。一c ( p g ) ( 吼一0 ) 。 1 2 商品折扣定价策略 对于商品价格下调的情况，称为折扣定价，口 称为折扣率。现考虑折扣定价策略问题。对于薄利 多销的实际情况，我们可设C 。= C 。以万= 羔表 “P 示价格比。在折扣价格下，销售商需要多付出销售 量为：眈一0 ：旦二坐0 ，由此而造成了销售的“ 口P q 收益损失为： 睨( P ) = ( P 一9 ) ( 吃一0 ) =( 1 - a ) p ( p - q ) 8 口P g 通过选取标准价P 和折扣率口，使得销售的收 益损失达到极小值，我们得到关系式： a = 2 6 一万2 = 1 一( 1 一万) 2 ，( 5 ) 该式表明，存在与商品的销售量无关，而只与价格 比万有关的最大折扣率。 进一步分析，还可知，存在使商品需求量最大 的价格，记为P i 。，可称为商品的标准价。 1 3 二次需求函数模型与利润最大价 商品的销售至少可以定出三个基本价格：最低 价P 。( 接近于批发价) ，最高价P M ( 新批发商品的价 格，政府的指导价) 和标准价P i 。( 如使销售量达到最 大的价格) 。实际上，由于需求量满足条件：当 P P f o 时，有秒( p ) 0 是待定系数。在给定 e o = O ( p o ) ，= 目( 乓) 之后，积分( 6 ) 后便得到： O ( p ) = 皖+ 尼( 2 p 。一P o p ) ( p P 。) ( 7 ) 其中七：万三堑L 二肇_ 。式( 7 ) 就是 ( 2 p i o P M P o ) ( p o P 吖) 一个二次需求函数模型。由( 7 ) 可见，当 P 加一毕时， 有护( p ) 一0 0 ，这表明： 采用 最低价和最高价的平均价销售商品时，需求量将会 增大。在二次需求函数模型下，由形( p ) = 0 可得 利润最大价格为： P 宰= 寻p 。+ g + !( 8 ) 。_ _ 。_ - 。_ _ - 。_ 。_ _ _ _ _ - 。_ _ _ _ _ _ - - _ 。_ _ - 。_ - 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。_ _ _ _ _ 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - 。_ _ _ _ _ _ _ - 。- 。- - 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。一 、， 三等卿却3 见+ g ) 1 4 春运中客运票价的政府调控政策建议 在春运中，乘客多，运力有限是实际情况。现 在，我们利用上述得到的价格上浮的充分条件、价 格保持的必要条件和折扣价所带来的商品销售收 益损失孵来分析客运票价的政府宏观调控政策。 我们可提出如下建议：如果C 。一C 孵，即在春 运中客运企业投入的各种成本差超过了客运票价 收入，面临亏损，那么政府就必须允许上调客运票 价；相反，要保持客运票价不变，前提条件是在春 运中客运企业投入的各种成本差低于客运票价收 入。 2 凸需求函数与多种价格并存的优化模型 前面给出的二次凸需求函数模型可以推广为一 般的凸函数。在条件0 ”( p ) 0 下，O ( p ) 是一个充 分光滑的凸函数。假设O ( p ) 有一个极大值点P ，。， 则我们有：矽7 ( p 。) ：0 和 护( p ) = ( P P i o ) 矗( p ) ( 9 ) 由0 ”( p f o ) = h ( p i o ) 0 知函数h ( p ) 的选择是 比较灵活的。如取h ( P ) = 一k 为常数时，则我们得 到前面的二次需求函数模型。通过积分( 9 ) ，可得到 1 4 化存才 一般的凸需求函数： O ( p ) = O ( p 。) + I ( P P 。) h ( p ) d p ( 1 0 ) 其中P o 为某一价格。利用T a y l o r 展开，戥n ( 1 0 ) 在P ，o 附近有二次凸需求函数近似： 矽( p ) = 秒( p 。) + 去办( P 。) ( p p 。) 2 + D ( p p 。) 2 】( 1 1 ) 特别地，如取 一f 二旦Q h ( p 1 = e 2 a 2 ， 则我们有如下形式的凸需求函数： 郎瑚( + 掣I P 一一l ( 1 2 ) e1 乒一1 LJ 当IP P f oI 仃时，式( 1 2 ) 可以用一个二次凸 函数作近似。 可以证明，P m 是需求最大价，且是利润增长 价格。又设P 掌为利润最大价，它满足h ( p 幸) 0 ， 则有P 宰P f o ，且P 牛是需求下降价格。 在市场调节的条件下，商品常常需要针对不同 的需求情况采取多种不同价格并存的销售方式。如 机票就有不同的折扣率，水按不同用途而确定不同 的价，电价也类似。 在凸需求函数下，我们可以很好地分析多种价 格并存的优化问题。事实上，设商品的由小到大排 列的M + 1 个价格P o ，P l ，一，P M 均是独立的决策 变量，销售商分别按照这些价格销售时得到的销售 量吼( p o ) ，o l ( P 1 ) ，O M ( P M ) 也是独立函数，政 府规定的最低限价与最高限价分别为P 0 0 与P M o ， 商品的总量为G 。考虑算术平均价格在需求最大价 格P i o 附近波动的最优定价问题，我们有如下的商 品定价的非线性规划模型： M a x 嘶溉，P M ) = 一q ) O , ( p 3 - C , 】， s I P o o - P o - P l p ，p M o ， ( 1 3 ) 丛铲嘞， O o ( p o ) 0 岛( p 。) o ，钆o M ) 0 O o ( p o ) + 瞑p I ) + + C ) = G 上述优化模型需要借助于软件才能计算，但 是，在以下三种简单情况下是较容易求解的。 ( i ) 当忽略约束条件时，( 1 3 ) 就是一个函数极值 问题，我们有如下结论： 1 ) 设O o ( p o ) ，q ( P 1 ) ，0 M ( P M ) 都是凸需求 函数，P 0 0 ，P ，P 吖。分别是它们的极大值，且 | 】l ， 谚( p ，o ) 咖，= 0 ，则P 0 0 ，p ，P 吖。就是模型 i = 0 ( 1 3 ) f 拘最优定价。 2 ) 设O o ( p ) = q ( p ) = = 钆( p ) = 汐( p ) 是 同一个凸需求函数，P ，o 是其极大值，而 p 孟，p 二，p 二。是模型( 1 3 ) 的最优定价，则 p 二，p ，p ：，o P f o 是需求下降价。 ( i i ) 当指定销售量O o ( p o ) ，鼠( p 。) ，钆( P 吖) 时，( 1 3 ) 是确定最优定价的线性规划模型。 ( i i i ) 当指定价格p o ，P l - - ，P M 时，( 1 3 ) 是最优 分配销售量的线性规划模型。 3 春运中客运票价的调控政策建议 利用多种价格并存的优化模型可分析春运中 客运票价的政府调控政策。综合权衡春运中客运企 业的利润和各类乘客的不同经济承受力，可提出建 议：在春运中试行以大多数乘客所能承受的客运原 票价作为基础，让票价适当上下浮动，以达到优化， 适应各类乘客的需求。 4 商品价格的需求概率分布模型 在商品经济中，商品的价格往往起着主导作 用，如大型超市的商品价格( 即所谓的平价) ，航空 机票的优惠价格等。商品的价格能否被消费者所接 受是事先不能完全确定的，由此带来了销售量的随 机性，这就表明商品的价格以一定的概率产生相应 的需求量。因此不同的价格将导致不同的需求概 率，从而也就必须要承担由于定价而引起的风险。 为此，文献【2 】提出了商品的概率分布模型，而文献 【4 N 给出了商品的离散型需求概率与需求风险模 型。 在本节中，我们利用 2 】中概率分布密度函数的 商品定价的几个数学模型与春运客票价格的政府调控政策研究 1 5 定义，基于需求函数口( p ) 给出商品价格的一种需 求概率分布模型，计算得到了平均价格的公式；又 通过定义价格的可调性，比较需求最大价的上调 性，需求最小价的上调性与利润最大价的下调性的 大小。 同前面所述，仍设P ，。是需求函数O ( p ) 的驻 点，它满足条件( 只o ) = 0 ，此时根据T a y l o r 展开 式，O ( p ) 在P 。o 附近有如下二次函数近似： 9 ( p ) = 护( B 。) + 去口。( B 。) ( p P i 。) 2 + D ( p 一只。) 2 1 ( 1 4 ) 现假设价格P 是随机变量，它服从由需求函数 所定义的如下概率分布密度函数： 抑卜篙惫，P i o - P - P 肘 ( 1 5 ) 其中P M 为利润最大价格。 我们有价格P 的期望价格为： E p 2p1(p)dpIp，o ( 1 6 ) l = H o P f o + H I P 肼+ H 2 ， 其中 Hz=三。瓦万8(P丽,o)(P丽M-而Pjo)38O ( pP ( 1 7 ) 2 j o ) + 口”( p f o ) ( p 肼一加) 2 、 。 当p 盯一p f 。时，有印斗毕p f o 此 时，如果还有曰”( p i o ) 0 成立的话，那么，通过对 比正态分布密度函数在P 。o 附近的近似： 击P 警击 一譬 ， 我们就有价格的需求概率分布( 1 5 ) 可用正态分布在 有限区间匕作近似，即： ， P 口N ( a ，盯2 ) ，P o P P f ， ( 1 9 ) 其中口只。，盯2 = 二O 丽( P i o ) 因此，概率分布模型 舫差可近似耵= 貉 定义称价格P ，的可调性a d ( p ，) 为价格P I R p 的邻近价格时的概率，即： 矽( p ) 2 ：，一卸 p P ) ( 可下调性) ， ( 2 0 ) = I ，( p ) 咖 卉，￥ 矽 ，) 2 ：! ： p P + 卸) ( 可上调性) ， ( 2 1 ) = Il ( p ) d p 卉J 下面比较需求最大价的上调性，需求最小价的 上调性与利润最大价的下调性的大小。 事实上，在需求概率的分布密度函数( 1 5 ) 下， 利用积分中值定理，我们有利润最大价P 1 l ，的可下 调性与需求最大或最小价P j o 的可上调性分别为： a d ( p ) = P ( p ，一卸 P P M ) 2 黜舯篙 a d + ( p f o ) = P ( 只o P 0 时，让价格 上调，当利润W ( p ) 一W ( p 加) 0 为比例系数， W ( p ) = ( p - q ) O ( p ) 一C ( p ) 可见，价格P ，。是微分方程的平衡点。如果价 格在时刻t = t i o 达到p ( o ) = P f o q ，那么，在利 润最大化与价格稳定的双重原则下，利用极值方法 和平衡点的稳定性判别法 6 】，我们得到如下结论： ( i ) 当C ( 只。) = 伊( 只。) 时，只要 矿( 尼。) g 世， ( 2 4 ) P i o q 就有p m 是利润最小价，且价格要上调。 ( i i i ) 当C7 ( 只o ) O ( p j o ) 时，P ，o 是稳定的和利 润下降的价格。 ( i V ) 当C ( p j o ) O ( p f o ) 时，仍。是不稳定的和 利润增长的价格。 我们可将以上关于商品价格的动力学模犁的 分析结果应用于春运中客运票价的政府调控政策 分析，有如下建议： 由( i ) 知，在条件( 2 3 ) 下，当C ”( p ，。) 0 时，有 臼”( p j o ) 0 和0 O ，g ( o ) 0 时，平 衡点是稳定的；当矿( p i o ) = 0 ，g ( o ) 0 时，模型 ( 2 5 ) 产生H o p 分支，因而存在周期解。 根据这一结论，我们可提出春运客票调价的稳 定性调控政策建议：当客流量增加时，客运企业只 有通过增加交通工具来满足需求，才能保持客运票 价稳定不变；当客流量开始增长时，客运企业可以 在不减少交通工具配备的条件下，在较小范围内上 下浮动客运票价。 7 结论 本文主要系统地给出了关于商品定价问题的 几个数学模型，即：商品的浮动价格与二次需求函 数模型，凸需求函数与多种价格并存的优化模型， 价格的需求概率分布模型，商品价格的1 维微分方 程动力学模型，春运客票调价的2 维微分方程动力 学模型其中，后三者则是本文中新建立的数学模 型。将它们综合地应用于春运中客运票价的政府调 控政策分析，从几种不同的角度提出了一些合理的 建议。 本文的主要结果部分地解决了春运经济中客 运票调价的理论问题，它们为进一步定量地分析春 运客票调价的实际问题提供了必要的理论依据。 参考文献 I 】化存才商