期权定价及应用.ppt

期权定价原理及其应用,5.1期权定价原理,期权,期权赋予期权持有人在到期日、以执行价格（从期权出售方）买入或卖出相关资产的权利（但不是义务）。,看涨期权,合约中指定：相关资产、执行价格(X)、到期日(T)欧式看涨期权赋予期权持有人只能在到期日T、以执行价格X（从看涨期权出售方）买入（“看涨”）相关资产的权利（但不是义务）。美式看涨期权赋予期权持有人在到期日T前或到期日、以执行价格X（从看涨期权出售方）买入（“看涨”）相关资产的权利（但不是义务）。,到期日看涨期权的价值,ST到期日T相关资产或股票的价值或价格。CT在到期日执行价格为X的看涨期权的价值是ST的函数如果STX，则成为“实值期权”。如果STX，则成为“虚值期权”。如果ST=X，则成为“两平期权”。,看跌期权,指定：相关资产执行价格(X)到期日(T)欧式看跌期权赋予期权持有人只能在到期日T、以执行价格X（向看跌期权出售方）卖出（“看跌”）相关资产的权利（但不是义务）。美式看跌期权赋予期权持有人在到期日T前或到期日、以执行价格X（向看跌期权出售方）卖出（“看跌”）相关资产的权利（但不是义务）。,到期日看跌期权的价值,ST到期日T时，相关资产或股票的价值或价格。PT在到期日、执行价格为X的看跌期权的价值是ST的函数如果STX，则成为“虚值期权”。如果ST=X，则成为“两平期权”。,Black-Scholes公式,欧式看涨期权的公式计算是：这儿：S相关资产或股票的现价T-t剩余到期时间r连续无风险收益率e2.71828相关资产或股票连续复利报酬率的标准差（即波动）N(y)均值为0、方差为1的标准正态分布随机变量小于y的概率,期权定价基本原理,问题：一只股票目前价格100元，未来可能上涨到120元，也可能下跌至80元；如果现在你为了规避股票下跌的风险，买入一份看涨期权（执行价格为110元）那么，你应该支付多少钱得到这份看涨期权（对方需要多少钱才会愿意承担此风险）？,期权的支付,无套利原理,如果不同的资产在未来带来相同的现金流，那么资产（当前）的价格应该相等，否则就会存在套利的机会；横向套利：不同市场纵向套利：不同期限,二叉树期权定价,二叉树期权定价（BinomialoptionPricingModel）由Cox,Ross,Rubinstein等人提出为期权定价模型为B-S模型提供一种比较简单和直观的方法,12,例：远期汇率与即期汇率,抛补利率平价,抛补利率平价公式,(1+美元利率)=(1+英镑利率)x(美元/英镑远期汇率)/(美元/英镑即期汇率)所以存在平价关系：即期汇率=远期汇率x(1+外币利率)/(1+本币利率),例：人民币抛补利率平价,例：2010年4月利率:中国是2.25%美国：最高1.5%汇率即期汇率是6.823远期汇率是6.647,投资策略：在纽约的银行存1美元，一年以后得到1.015美元将1美元换成RMB6.823,存入中国的银行可以获得:6.823x1.0225=RMB6.9765用远期汇率换成美元，可获得：6.9765/6.647=$1.0495策略可获得有无风险的利润,期权定价的基础就是无套利原理构建一种资产组合，其未来的现金流支付等于期权的支付，那么期权的价格就应该等于该资产组合的价格,二叉树定价模型：,Astockpriceiscurrently$20Inthreemonthsitwillbeeither$22or$18,18,StockPrice=$22,StockPrice=$18,Stockprice=$20,A3-monthcalloptiononthestockhasastrikepriceof21.,19,构建无风险组合,ConsiderthePortfolio:longDsharesshort1calloptionPortfolioisrisklesswhen22D1=18DorD=0.25,20,股股票1份期权=无风险证券1份期权=D股股票-无风险证券,单期二叉树期权定价模型,考虑一个买权在当前时刻t，下期t=T到期，中间只有1期，=T-t假设该买权的标的股票是1个服从二项分布的随机变量。当前股票价格为st=S是已知的，到期股票价格为sT，且满足,21,其中，u为上涨因子，d为下跌因子,22,问题：如何确定该期权在当前时刻t的价值ct？设想：构造如下投资组合，以无风险利率r借入资金B（相当于无风险债券空头），并且在股票市场上购入N股股票（股票多头）。目的：在买权到期日，上述投资组合的价值特征与买权完全相同。,在当前时刻t，已知股票的价格为s，构造上述组合的成本为,23,在到期时刻T，若希望该组合的价值v与买权的价值完全相同则必须满足,由上两式得到,由此得到的组合称为合成期权（syntheticoption），由无套利定价原则，在当前时刻t买权的价值为,例子,假设有1个股票买权合约，到期日为1年，执行价格为112美元，股票当前的价格为100美元，无风险利率为8（连续复利折算为单利）。在到期日股票的价格有两种可能：180美元或者60美元，求期权的价值？,25,26,Dicussion:Risk-neutralprobability,pisRisk-neutralprobabilityforallsecurities。stocksexpectedrelativereturnis,27,Optionsexpectedrelativereturnis,So，pisavariablewhichmakeriskfulstockandcalloptionsexpectedreturnarebothonlyrisklessinterestrate.Fortheabovereason,Wecallp“riskneutralprobability”.,Dicussion:Risk-neutralprobability,在风险中性世界中，主观概率q没有出现。虽然个人对q的信念是不同的，但是在期权的定价过程中并没有涉及到q，也就是人们对q认识的分歧并不影响对期权的定价结果。投资者最终都一致风险中性概率p，它只取决于r，u，d这三个客观因子。,28,Dicussion:Risk-neutralprobability,风险中性世界，不必考虑风险，这等价于假设投资者是风险中性的。若在期初构造如下组合：以S的价格买入N股股票，同时以c的价格卖出1个期权，则该组合的投资成本为NSc必然等于B。若sTsu,29,若sTSd,投资者虽然投资于有风险的股票和期权，但是由二者构成的组合NSc，即相当于投资1个无风险的证券。组合贴现率的贴现率只能是无风险利率由于是无风险证券，对于理性投资者，不论其偏好如何，其风险态度对于这样的组合是无关紧要。只要考虑收益的大小即可，由此大大简化资产的定价。基于上述的理由，只要以上述方式构建投资组合来对期权定价，就等价于假设投资者是风险中性的，既然是风险中性的，则对这样的组合定价就不必考虑风险问题。,30,两阶段二叉树定价模型,由于标的资产市场价格是1个连续（接近连续）的随机变量，不可能只有2种情形，因此可以考虑将时间T-t分为多段处理，首先介绍两阶段模型。,31,两阶段模型（Two-stepbinomialtree)若把从定价日t至到期日T的时间区间T-t，划分为2个阶段，在每1个阶段，仍然假设标的资产价格只可能取2种状态，上涨和下跌，且上涨和下跌的幅度相等，则第2阶段结束时候（t=T），标的资产价格的取值为3个，并且令h为每个阶段的时间长度,两阶段模型示意图,32,其中，u1/d,两阶段模型,第2期本来有4种状态，为简化分析，不妨规定u=1/d，则第2、3两种状态为同一结果，故将其合并。期权到期日价值的所有可能值为,33,由1阶段模型可知，在风险中性条件下,34,注意：风险中性概率p只与r，h，u，d有关，当上述值确定下来后，两个阶段的p就完全相同，这也正是阶段平分的优点。,35,当前时刻t，期权的价值为,定价思路：倒推定价法,首先得到2期节点的股票价格，从而得到该期的期权价格。采用风险中性定价，通过贴现得到1期节点的股票价格和期权价格。由1期的股票价格得到期权价格，得到当前期权的价格。风险中性定价下，每一期的风险中性概率都是相同的。,36,5.4n阶段二叉树定价模型,将定价日t到到期日T的时间进一步等分为n个阶段，每个阶段的长度为h,37,标的资产在到期日的状态可能取值为n1个.若n，即每个阶段所对应的长度无穷小，则完全有理由用二叉树来近似表示标的资产价格的连续变化过程。数学意义：根据中心极限定理，若n充分大，则二项分布收敛于正态分布思路：推导出n期的二项式模型，然后令n趋于无穷。,标的股票当前价格为St=S，而在以后任意一期，股价的变化有上升和下降两个可能。这样经过n期后（到期日T），若该股票上涨j次，下跌n-j次，到期日T股价ST为,38,由概率论可知，sT服从二项分布（binomialdistribution)，所以，具有j次上涨，n-j次下降的股票价格sT的概率为,recall：binomialdistribution,假设在一个不透明的袋子中有N个球，其中M个是白色的，其余N-M个球是黑色的，则每次取球取到白球的概率是p=M/N。若有放回地取球n次，称之为n重贝努里试验。在贝努里试验中刚好取到j次白球的概率记为b(j;n,p),39,recall：binomialdistribution,由于b(j;n,p)刚好是二项式,40,例如第j项就是,故上述分布又称为二项式分布，并且成立,recall：binomialdistribution,由于二项式分布计算复杂，为简化计算。当n，可以用正态分布逼近（定理：独立同分布下的中心极限定理）。设随机变量Ynb(j;n,p)，则随机变量,41,42,参照2阶段模型的思路，从最后的n期（T时刻）开始逐期向前推导，则期权在当前时刻t的价格为,公式意义：在风险中性世界里，将期权到期时所有的可能值对当前时刻贴现，并以风险中性概率加权，得到的是期权现值的期望值。此期望值是期权的真实值吗？,Forexample:two-stepbinomialtrees,43,CRRmodel:n-stepbinomialtrees,44,45,46,Howtocomputeuord?,Choosinguandd,Onewayofmatchingthevolatilityistoset,48,wheresisthevolatilityandhisthelengthofthetimestep.ThisistheapproachusedbyCox,Ross,andRubinstein.Neutral-riskprobabilityis,Simplifyfirstterm,49,=1,50,Binomialequation,51,Simplifysecondterm,52,Simplifyallterms,53,Nextstep,wemustdeduced1andd2whenn,deducingd1andd2(form),54,deducingd1andd2(forp),55,56,57,deducingd2,58,Result:Black-Scholesformula,59,Howtochooseuandd,Black-scholesmodelassumethemotionofstockpricesatisfiestheGeometryBrownmotionorlogarithmnormaldistribution,60,Howtochooseuandd,61,Inbinomialmodel,weassume,qisprobabilityofstockpriceupinrealworlds.,Howtochooseuandd,62,63,64,So,wefindonesolveoftheequation,Inrisk-neutralworld,thereturnofsecuritiesmustber,whichmeans,Disscusion:Choosinguandd,Wehaveknowneutralprobabilitypforanystep,65,Wecanget,66,Prove:inrisk-neutralworld,Varianofastocksreturnin,AccordingtoGeometryBrownmotion,67,68,Substitutingforuandd,thetermsofhigherthan2powerareignored.,FromCox，RossandRubinstein(1979),美式期权可以提前执行，提前执行从表面上看是一个非常微小的变化，但是欧式期权与美式期权（尤其是看跌期权）价值有很大的不同。WeknowthevalueoftheoptionatthefinalnodesWeworkbackthroughthetreeusingrisk-neutralvaluationtocalculatethevalueoftheoptionateachnode,testingforearlyexercisewhenappropriate美式期权没有解析解，故采用二叉树方法来逼近。,69,5.7Application:Americanoptionpricing,Americanoptionpricing,70,以无收益证券的美式看跌期权为例。把该期权有效期划分成N个长度为h的小区间，令表示在时间时第j个结点处的美式看跌期权的价值，同时用表示结点处的证券价格，可得：后，假定期权不被提前执行，则在风险中性条件下：,71,Example:AmericanPutOption(SeeExample16.1,page391),S=50;X=50;r=10%;s=40%;T=5months=0.4167(year);h=1month=0.0833(year);Theparametersimplyu=1.1224;d=0.8909;=1.0084;p=0.5076,72,为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，每段一个月（等于0.0833年）。可以算出：,73,Example,74,X50,二叉树模型的程序,example：PriceanAmericancalloptionusingabinomialmodel.Again,theassetpriceis$100.00,theexercisepriceis$95.00,therisk-freeinterestrateis10%,andthetimetomaturityis0.25years.Itcomputesthetreeinincrementsof0.01years,sothereare0.25/0.01=25periodsintheexample.Thevolatilityis0.50,thisisacall(flag=1),thedividendrateis0,anditpaysdividendof$5.00afterthreeperiods(anex-dividenddate).Executingthetoolboxfunction,75,MATLABfinancialtoolboxAssetPrice,OptionPrice=binprice(Price,Strike,Rate,Time,Increment,Volatility,Flag,DividendRate,Dividend,Ex