期权的定价.ppt

金融工程,有很多人因研究证券而名闻天下，但没有一个人因此而富甲天下。,第七章期权基础和期权定价,符号说明,C：欧式看涨期权价格p：欧式看跌期权价格S0：当前股价X、K:执行价格T:到期期限:股价波动率St：t时的股价,C:美式看涨期权价格P:美式看跌期权价格ST:期权存续期内股价D:期权存续期内红利现值r:T时刻到期的无风险收益率（复利）,多头（买方）,空头（卖方）,亏损有限,亏损无限,支付期权费,基本术语：基础资产期权的执行价格期权费到期日,看涨期权：预期标的资产价格上升看跌期权：预期标的资产价格下降,第一节期权基础,一、基本术语：,美式期权欧式期权,二、期权到期时的损益：期权交易者期末的损益,1.看涨期权多头的损益,多头,2.看跌期权的损益,损益,ST,K,多头,三、期权的价值（期权费）：,期权的价值内在价值+时间价值,1.内在价值：指期权立即按执行价格执行时所具有的价值和零之间的最大值。,At-the-moneyoption：两平期权In-the-moneyoption：实值期权Out-of-the-moneyoption：虚值期权,例如某股票的现价为42元，其看涨期权的执行价格为38元，则内在价值为4元。,理解：当前的价值,内在价值特征的几个概念,内在价值不可能为负。,2.期权的时间价值：期权费-内在价值,原因：期权的权利和义务不对称，看涨期权的空头具有亏损无限而盈利有限的特征，时间价值是多头给予空头的风险补偿。,时间价值的特征：执行价格既定时，期权距到期日越远，期权的价值越大，期权越接近到期日，时间价值就越小（时间价值衰减），并且距到期日的时间很长时，期权价值的衰减几乎是线性的，在距到期日还剩几周时，时间价值就开始急剧下降，到到期日时，期权的时间价值为0,期权有效期内随其标的资产价格波动可为持有者带来收益的可能性所隐含的价值。,期权的时间衰减特征对期权的出售方是有利的，水平价差组合的构造者就是希望通过出售期权来获取这种衰减的时间价值，因为他们希望到期时期权已无价值或价值大大减少。,斜率小于1,四、期权的特征,杠杆性期权多头损失有限性和期权空头损失的无限性；权利和义务的不对称；期权的价值（或者说期权交易者的损益）与到期日基础资产的价格之间的关系是非线性的，这一点与期货不同；非线性特征使得求期权价格时，必须对基础资产建模，本章中的二叉树模型和B-S模型是典型的例子；无论基础资产市场是多头、空头还是盘整的，期权交易者都可获益。,一、单期模型,第二节二叉树模型(binomialmodel),无风险利率,股票,X100的买权,1.举例,（1）以10的利率借入资金163.64，即到期还本付息180，（2）以价格100买入2股股票（3）以价格C卖出3份期权,构建套利组合：,2.一般化,（1）以r的利率借入资金B，即到期还本付息BR（）；（2）以价格S买入h股股票；（3）以价格C卖出1份期权。,无风险利率,股票,XS的买权,令,风险中性概率,风险中性定价与风险中性概率,风险中性世界：通过数学变换（概率测度变换），把原来实际的概率空间变为一个新的概率空间，在这个新概率空间下，股价的收益率是无风险利率，同时，方差不变，因此称为风险中性定价。,这时，股票的期望收益改为无风险收益，而方差不变。,h：称为套头比，有时也称Delta()，是股票期权价格变化与标的股票价格变化之比，即对一单位现货头寸进行套期保值所需的套期工具单位数。,解决上例：,时间为T（以年为单位），将R改为：,股价=$18,股价=$22,股价=$20,例题：看涨期权，当前股票价格为$20，三个月末其价格将为$22或$18，该股票相应3个月期的看涨期权执行价为$21，假设无风险收益率（连续复利）为12%。解决：1.画出二叉树；2.求出u和d；3.求出套头比；4.求出风险中性概率；5.给该买权定价。,股价=$22期权价格=$1,股价=$18期权价格=$0,股价=$20期权价格=?,风险中性概率：,期权的价值为,100,120,90,144,108,81,A,B,C,D,E,F,二、两期模型,C,值随时间节点的变化而变化，即随时间变化而变化。,倒推算法：,风险中性概率不变,三、参数的确定,1.确定,的收益,的方差,White算法：固定求u、d,1,CRR模型：确定u、d，再求,取,注：该概率并非风险中性概率，而是期望收益为的概率。,无套利要求：,当标准差远远小于无风险收益率时，可能会产生套利，所以时间间隔的选择很重要，因为u、d是它的函数。,2.单期期限的确定,3.标准差与期望收益的计算：统计学,则：,例题,第三节Black-Scholes期权定价,一、预备知识：正态分布与对数正态分布,如果随机变量为正态分布，即，则称X服从对数正态分布,好处：若X、Y均服从对数正态分布，则,也服从对数正态分布,二、预备知识：股票价格模型的演绎,1900年Bachelier：股价服从正态分布,缺陷：有限负债，即股价不可能为负.,简单净收益率（单利R）服从正态分布：,缺陷：多期问题：多期收益是单期收益的乘积，单期是正态分布则多期不是正态分布。,对数收益率服从正态分布,股价服从几何布朗运动：和对数收益率服从正态分布一致,单期,多期,单期,多期,好处：解决有限负债和多期问题。,股价,股价,若对数收益服从正态分布，则相对收益（短期收益）服从对数正态分布，由于S0为常数，故股价服从对数正态分布。,三、对数收益：连续复合收益率，即连续复利率,1.t时刻的瞬时收益：,为常数a,为可导函数,为随机变量,四、标准布朗运动：维纳过程,一个随机过程，它在一个微小时间间隔之间变化为，如果：,（1）（2）（3）对于任意两个不同时间间隔，相互独立，即独立增量,2.性质：,称为标准的布朗运动,维纳过程处处连续但处处不可导：,有关增量,是随机变量：,这意味着：可取任意值,1.定义：,维纳过程的一阶变差和在任意区间内都非有界,这意味着：可能是无穷大,T：为任意长的时间，可能很短。,随机微分：沿用微分的符号：,随机微分规则,不存在,五、一般维纳过程：,白噪声：用于模拟不可预料的世界状态对金融产品价格带来的冲击,被放大或缩小b倍,现实的应用：离散化,六、扩散过程：伊藤过程,泰勒展开：,伊藤过程：只与S和t有关的过程,七、ITO伊藤定理：,设表示漂移率，表示波动率，是S和t的函数,则有：,例题：设,解：,解：,例题：设,证券价格的自然对数所遵循的随机过程,解：,伊藤过程是一个维纳过程驱动的过程，即基本元素是标准的维纳过程伊藤定理是实现随机过程之间的变量代换的方法随机微积分的基本公式是,证券价格的自然对数所遵循的随机过程,如果：,八、几何布朗运动描述股价,金融学中，对股票价格作如下假定：股票价格呈对数正态分布，股票的对数收益率服从正态发布；股票价格遵循几何布朗运动；三者等价。,：称为漂移率，其金融意义是股价瞬间变化的期望收益。,称为白噪声，用于模拟不可预料的世界状态对金融产品价格带来的冲击。,是瞬间方差或扩散系数，金融上是测量变量的易变性。,乘积表示股价收益变化中由不确定性因素造成的部分，即随机冲击，通过波动率放大或缩小后传导给股票价格。,此时，随机过程中的随机变量的数字特征不再是确定的数，而是时间的函数,其他表示：,是什么,年化,统计学：,是简单收益在期间的期望收益（平均收益），故称预期收益率。由于是以年为单位，是单位时间内经年化后的年收益率。,目的与步骤：为了给期权定价，为了方便，需要知道S的绝对量的分布，以便直接由S计算。为此，需要下面的两个步骤：,1.使用随机微积分，作变化：,说明几何布朗运动与正态分布的等价性,说明随机微分不同于一般意义上的微分。,是什么,是股票连续复利的收益率，是随机变量,是什么,是对数收益（连续复利）的期望收益，故称预期收益率。由于是以年为单位，是单位时间内经年化后的年连续复利收益率。,年化,统计学：,是什么,是连续复利的标准差，也是经年化后的年标准差,假设随后五年的年收益率分别为：10%,12%,8%,9%,和11%则算术平均值为：,几何平均值为：,算术平均值要略大于几何平均值，而后者也是我们事实上可能获得的实际收益率。,连续复利是无限的几何平均，二者存在的数量关系：,因为：,2.用统计学知识，获得以下变换,也服从正态分布,服从对数正态分布,总结：,伊藤定理,对数正态分布,1.逻辑起点：萨缪尔森于1965年的几何布朗运动模型：,2.模型起点：对数正态分布,3.运用统计学的知识，估计模型参数：,服从对数正态分布,4.得出ST的模型和参数,离散化模型，恰当的选择，估计出：,十、Black-Scholes微分方程：二阶线性偏微分方程,1）股价符合以和为常数的布朗运动（随机过程）；2）没有卖空限制；3）没有交易费用或税收；4）证券高度可分；5）期权有效期内没有红利支付；6）没有无风险套利机会；7）证券交易连续；8）无风险利率r为常数并对全部到期日都相同,1.假设,2.股价S遵循以和为常数的几何布朗运动，即,3.设f为依赖S的衍生证券的价格，即f是S和t的函数，由伊藤定理：,市场无摩擦（完美市场）,或,设组合包含x份股票和y份看涨期权，则组合的初始价值为,其中，买权价格c的运动遵循伊藤定理，则有：,在一个无限小的间隔内，组合的变化为：,令：,这样组合就复制了无风险证券（与S无关），组合的收益应是无风险收益,4.构造组合去复制无风险证券，即组合是收益是确定的,复制组合,衍生证券：1单位衍生证券空头标的证券（股票）：份股票多头,则：,在时间后组合价值的变化,5.组合价值在时间下是无风险的，无套利假设下，则有：,6.Black-Scholes微分方程,任何依赖于基础证券价格S的衍生证券的价格都满足该微分方程（物理学中的热传导偏微分方程，也称线性抛物线偏微分方程，）。,针对具体问题，加上一些必要的边界条件和初始条件，就形成了解决一般衍生产品定价问题的通用模式。解方程的方法：解析方法和数字方法（二叉树模型和蒙特卡罗模拟）,注意：该方程中已没有,验证远期合约是否满足B-S偏微分方程,假设股价服从几何布朗运动,求期货所遵循的扩散过程,7、Black-Scholesd的边界条件(boundaryconditions),Black-Scholesd的边界条件（终端条件）,当t=T时，,根据边界条件可以倒向解出微分方程的解,十一、Black-Scholes定价公式（欧式期权）,N(x)为均值为0标准差为1的正态分布变量的累计概率分布函数。,其中：,看涨期权与看跌期权的平价关系：,Black-Scholes定价公式的案例,一个欧式看涨期权，S0=105，K=100,r=10%，D=0，T=0.25年，=30%。计算c：,N(d1)=0.7123+0.730.7157-0.7123)=0.7148N(d2)=0.6618,其次：,最后：得到c值为：,首先：计算d1和d2,十二、影响期权价值的因素,十三、隐含波动率（波动率微笑）,BS公式,期权价值,向前,期权价格,向后,历史波动率：根据历史数据估计的波动率。隐含波动率：根据期权价格倒算出的波动率。波动率微笑：相同标的资产的不同期权应该有相同的波动率，但现实中却不同的现象称为波动率微笑。,股价,期权价值,内在价值,时间价值,期权的上限：,期权的下限：,B-S公式,平价期权,实值期权,虚值期权,股价,期权价值,内在价值,时间价值,期权的上限：,期权的下限：,B-S公式,期权交易的实际做法中，并不是将买权执行,而是将随股票价格上涨而上涨的买权卖掉而获利了解。随着时间的推移，期权的价值会随着标的资产价格的变化而变化，买权多头的损益应是一条曲线，该曲线上任何一点处的斜率都小于单位1，这也说明了期权的价值与标的资产的价格之间是非线性的（从BS公式也可知道）。,几点说明：,该曲线的斜率称为“套头率”，它表示每份标的资产的空头所对应的买权份数而进行的对冲。它在套期保值中起着重要的作用。,当时，买权的多头是亏损的，但这个亏损是缓慢增加的，最多只能达到买权的买价，这意味着：在股票价格下跌时，买权多头将该期权卖掉，多少都能卖出一个价格，而非像折线那样将原有的价格赔光。,一、期权交易所的术语：,4.分红&股票分割,假设你拥有N单位的期权，执行价格为K:现金红利并不调整场内交易的期权（当然是否考虑红利对期权估价方式有很大的影响）当存在n对m的股票分割时，执行价格变动为mK/n期权数量增加为nN/m股票红利的处理与股票分割的处理相类似一个看涨期权：以$20每股的价格买入100股股票在下列情况下，期权合约如何进行调整:2对1的股票分割?25%的股票红利?,两步二叉树案例,二叉树图如下，单个步长为3个月，r仍为12%.,二叉树图如右,X=21B节点的估值=e-0.12*0.25(0.6523*3.2+0.3477*0)=2.0257A节点的估值=e-0.12*0.25(0.6523*2.0257+0.3477*0)=1.2823,201.2823,22,18,24.23.2,19.80.0,16.20.0,2.0257,0.0,A,B,C,D,E,F,两步二叉树案例：一般结论,二叉树图如下,S0f,S0ufu,S0dfd,S0u2fuu,S0d2fdd,S0udfud,看跌期权的例子,二叉树图如下,其中X=52,u=1.2,d=0.8,r=5%,T=2,美式期权,6282,.,0,8,.,0,2,.,1,8,.,0,e,e,1.0,*,0.05,=,-,-,=,-,-,=,D,d,u,d,p,T,r,原则:最后节点的期权价值与欧式期权相同较早节点期权价值取如下两者中的较大值：-由之前方程计算出的值-提前执行所得收益,二叉树如下,X=52,u=1.2,d=0.8,r=5%,T=2,Delta,Delta()是股票期权价格变化与标的股票价格变化之比值随时间节点的变化而变化,2.做市商,大多数交易所采用做