欧式期权定价.ppt

期权市场概述,金融期权（Option），是指赋予其购买者在规定期限内按双方约定的价格（简称协议价格StrikingPrice）或执行价格（ExercisePrice）购买或出售一定数量和质量某种金融资产（称为潜含金融资产UnderlyingFinancialAssets，或标的资产）的权利的合约。,（一）金融期权合约的定义,例如，一个投资者购买一份基于DELL股票的期权合约，该期权合约规定，投资者在支付140美元的期权费之后，就可以获得在一个月后以32.5美元/每股的价格买入100股DELL股票的权利。到时候，如果DELL股票的价格高于32.5美元，这个投资者就可以执行期权，以32.5美元/每股的价格买入100股DELL股票，从中获利，显然这时DELL股票价格越高越好；如果DELL股票价格低于32.5美元，该投资者就可以放弃执行期权，他的全部损失就是最初支付的每股1.4美元的期权费。,而对于这个期权的卖方来说，如果到期时DELL股票的价格高于32.5美元，期权买方必然执行期权，他就必须以32.5的价格卖出100股DELL股票，遭受损失；如果DELL股票价格低于32.5美元，期权买方必然放弃执行期权，期权卖方的全部收入就是最初支付的每股1.4美元的期权费。可见，期权卖方通过获得一定的期权费收入，承担了可能会有的所有损失。这一协议乍看之下不太合理，但事实上市场是公平的，期权费的设定是通过对未来价格变化概率的精密计算得出的，在正常情形下足以弥补期权卖方所承担的一般损失。,按期权买者的权利划分，期权可分为看涨期权（CallOption）和看跌期权（PutOption）。看涨期权(calloption):持有者有权在确定时间，按确定的价格购入一定数量和质量的原生资产的合约。（买权）看跌期权(putoption):持有者有权在确定时间，按确定的价格出售一定数量和质量的原生资产的合约。（卖权）,（二）期权的分类,按期权买者执行期权的时限（实施条款）划分，期权可分为欧式期权和美式期权。欧式期权(Europeanoptions):只能在合约规定的到期日实施。美式期权（Americanoptions）:能在合约规定的到期日以前（包括到期日）的任何一个工作日实施。按照期权合约的标的资产划分，金融期权合约可分为利率期权、货币期权（或称外汇期权）、股价指数期权、股票期权以及金融期货期权，而金融期货又可分为利率期货、外汇期货和股价指数期货三种。,对于期权的买者来说，期权合约赋予他的只有权利，而没有任何义务。作为给期权卖者承担义务的报酬，期权买者要支付给期权卖者一定的费用，称为期权费（Premium）或期权价格（OptionPrice）。期权费视期权种类、期限、标的资产价格的易变程度不同而不同。期权的实质仍然是：在支付了一定的期权费之后，期权赋予了其持有者（购买方）做某件事情的权利，但持有者却不一定要行使这个权利。,（三）期权双方的权利和义务,（四）到期日期权的收益（期权的价值）：,-看涨期权,-看跌期权,其中,-敲定价格,-原生资产在到期日的价格,-到期日,期权金：期权是一种未定权益，具有价值，为获得这个未定权益所需要付出的代价称为期权金。,到期日期权的持有人(购买者或多头)的总收益,-看涨期权,-看跌期权,-期权金,到期日期权的出售人(空头)的总收益,-看涨期权,-看跌期权,购买(持有)欧式看涨期权的收益(欧式看涨期权的多头),购买(持有)欧式看跌期权的收益(欧式看跌期权的多头),出售欧式看涨期权的收益(欧式看涨期权的空头),出售欧式看跌期权的收益(欧式看跌期权的空头),期权定价问题就是求,使得,-看涨期权,-看跌期权,特别当,时,股票价格为,问,(),时期权的价格,（五）期权定价,欧式期权定价-Black-Schole公式,一、Black-Schole方程,基本假设,(a)原生资产价格演化遵循几何Brown运动,无风险利率r是常数,原生资产不支付股息,不支付交易费和税收,不存在套利机会.,是期权的价格，则在期权的到期日时,看涨期权,看跌期权,构造投资组合,选取适当的,使得在,时段内，,是无风险的。,由Ito公式,无套利原理,代入上式得,由于等式右端是无风险的，因此等式左端随机项dWt的系数必为0，即选取,消去dt后得到,Black-Schole方程,确定期权的价值,就是要在区域,上求解如下定解问题,看涨期权,看跌期权,二、Black-Schole公式,1、先作如下变换，将Black-Schole方程化为常系数抛物型方程的初值问题（Cauchy问题）令,原方程变为,看涨期权,看跌期权,方程（1）,2、定理（Poisson公式）齐次热传导方程,的解为,Poisson公式,3、将方程（1）变为热传导方程作函数变换,则,将它们代入方程（1）有,令,即,则方程（1）化为如下热传导方程形式,看涨期权的边界条件,4、求方程的解析解由Poisson公式有,令,则,再令,则,同理,变回原变量，有,欧式看涨期权的定价公式,其中,利用欧式看涨期权与看跌期权的平价公式,以及,有欧式看跌期权定价公式为,三、Black-Schole公式的风险中性定价方法,1、对数正态分布的密度函数,定理设,则,的密度函数为,2、股票价格S(t)满足的随机微分方程的解,定理若股票价格S(t)满足如下随机微分方程,则,3、ST的密度函数,ST的密度函数为,4、风险中性定价方法,所以,五、Black-Schole模型的推广（1）-支付红利,基本假设1，原生资产的价格适合随机微分方程2，无风险利率r=r(t),3，原生资产连续支付股息（红利）红利率是q(t),4，不支付交易费和税收,5，不存在套利机会.,（一）构造投资组合,选取，使得在t,t+dt内无风险，则,利用Ito公式，取,得,有红利情况下的期权定价的Black-Scholes方程,（二）方程的求解,1，作变换消除方程中包含和V的项,设,代入方程，消去，得到,原方程可化为,2，再作变换消去，取,3，应用Black-Scholes公式（其中）得,4，代回到原变量得到欧式看涨期权的定价公式,（三）看涨看跌平价公式,定理5.1:设，分别全具有相同敲定价K，到期日T的欧式看涨与看跌期权的定价，其中无风险利率r=r(t)，红利率q=q(t)，波动率，则看涨看跌平价公式为,所以，W是下面定解问题的解,设,是方程的解，把W代入方程,得,（四）欧式看跌期权定价公式,六、Black-Schole模型的推广（2）-两值期权与复合期权,（一）两值期权的类型1，现金或无值看涨期权(CONC)：在到期日(t=T)，若股票价格低于敲定价，则合约一文不值，若超过敲定价，则按合约规定支付现金1元。2，资产或无值看涨期权(AONC)：在到期日(t=T)，若股票价格低于敲定价，则合约一文不值，若超过敲定价，则按合约规定，支付股价。两值期权的模型为：,（二）标准期权与两值期权的关系,考虑具有相同敲定价K和相同到期日T的标准期权和两值期权，它们的价格分别记作V，VC与VA，因为,而V(S,t)，VC(S,t)与VA(S,t)都适合同样的Black-Schole方程，由于定解问题是线性的，得：在0S,0tT上,（三）VA与VC的关系,定理5.2：,因此，只要求出VC，则VA即可由上式求出。,（四）CONC期权价格VC的求解,1,作变换,类似Black-Scholes公式的推导，求解上述方程可得,2，换回到原变量(S,t)得,由此可得到求Black-Scholes公式的另一种方法。,七、数值方法（1）差分方法,（一）差分方法简介差分方法是通过用差商代替微商对方程定解问题离散化。常见的形式有,（向前差商）,（向后差商）,（中心差商）,（二级中心差商）,其误差为,差分方程的两种形式：显式差分格式和隐式差分格式例如下列热传导方程初边值问题,首先在区域0x,0tT上设计一个网格，以间距x等分半直线0x，以间距t等分线段0tT，记分点为(xm,tn):,显式差分格式,即,由下列公式递推,可求出所有的的值。,隐式差分格式,即,解下列包含无穷多个未知数的代数方程组,这里未知数是,注意；隐式差分格式是无条件稳定的，而显式差分格式是有条件稳定的。要求,即,（二）Black-Scholes方程的显式差分格式,则显式差分格式为,由下列公式递推,这是一个（反向）显式差分格式,定理：设，则当以及时，Black-Scholes方程的反向显式差分格式是稳定的。,八、数值方法（2）-二叉树方法与差分方法,（一）二叉树方法中出现的参数与Black-Scholes方程出现的参数之间的关系：设0=t0t1tN=T,其中tn=nt,t=N/T，设在t=tn时刻，原生资产的价格为Sn，在t=tn+1时刻，原生资产的价格Sn+1有两种可能,上扬,下跌,在风险中性世界，考虑连续支付红利的原生资产价格演化的连续模型,由Ito公式,两边从tn到tn+1积分得,在风险中性世界中，在概率测度Qqu,qd意义下,假设,则,其中待定，将它代入以上两式的得,忽略t的高阶无穷小得,定理：如果ud=1，且不计t的高阶无穷小量，那么对于欧式期权定价的二叉树方法与Black-Scholes方程的显式差分格式等价。,九、数值方法（3）-蒙特卡罗方法,十、欧式期权价格的性质,影响欧式期权价格的因素有：S(股价)，K(敲定价格)，r(无风险利率)，q(红利率)，T(有效期限)，t(时间)，(波动率)。,1,期权价格对股价S的依赖关系:,所以，当股价增加时，看涨期权价格上升，看跌期权下降。因为股价上扬时，看涨期权的持有人在未来获益的机会增大，因此期权价格上升。2,期权价格对敲定价格K的依赖关系:,所以，当敲定价格增加时，看涨期权价格下降，看跌期权上升。3,期权价格对无风险利率r的依赖关系:,所以，无风险利率上升时，看涨期权价格上升，而看跌期权下降。从金融意义上讲，无风险利率上升将产生两方面的影响：风险中性世界股票的期望回报率将上升；而对现金流来说，它使得未来(T=t)收到的现金K的现值(t时刻)下降。,4,期权价格对红利率q的依赖关系:,所以，股票支付的红利率上升时，看涨期权价格下降，而看跌期权上升。从金融意义上讲，红利率上升将使得风险中性世界股票的期望回报率将下降。因此使得看涨期权价格下降，看跌期权上升。,5,期权价格对波动率的依赖关系:,所以，股票波动率越大，股票期权价格（不论是看涨期权，还是看跌期权）越高。,6,期权价格对T与t关系:,因此，期权价值与有效期限T和时间t没有必然联系。但当股票不支付红利时，即q=0时有,所以，有效期限越长，一张没有红利支付的股票看涨期权价值越高。随着到期日的临近，一张没有红利支付的股票看涨期权价值将下降。,十一、风险管理,（一）Delta,对于一个期权的出售方来说，是一个需要选取的原生资产的份额，以次来对冲由于出售期权或期权组合所带来的风险。,对于欧式看涨期权（支付红利）：,对于欧式看跌期权：（支付红利）,的大小反映了调整的频率，如果较小，则相对于股价S变化较慢，因此可以不急于调整。当较大时。则表明对于股价的变化相当敏感，如果不及时加以调整，将带来风险。,（二）Gamma,对于欧式看涨（看跌）期权（支付红利）：,（三）Theta,是期权价格对时间的变化率，也被称为期权的时间消耗。,对于欧式看涨期权（支付红利）：,对于欧式看跌期权：（支付红利）,（四）Deita、Gamma、Theta之间的关系Black-Scholes方程给出了，与之间的关系,（五）Vega,是期权或期权组合的价格对原生资产波动率的变化率。,对于欧式看涨（看跌）期权（支付红利）：,（六）Rho,衡量期权的价格对无风险利率的敏感性。