数学分析课后习题答案3.1.pdf

第三章第三章 函数极限函数极限 1 函数极限概念函数极限概念 1、按定义证明下列极限: (1); 6 56 lim= + x x x (2)2)106(lim 2 2 =+ xx x ; (3) ; 1 1 5 lim 2 2 = x x x (4) 04lim 2 2 = x x ; (5) 0 coscoslim 0 xx xx = 证: (1)当0x时, xx x5 6 56 = + ,于是对任给正数,只要取 5 =M,当Mx 时,有 + 6 56 x x .故6 56 lim= + x x x (2) 当120 x时, 有422)106( 2 =+xxxx23)22(2+xxx, 对任给正数,只要取 3 , 1min =,则当20 x时,有x时, xxxx x4 11 4 1 1 5 2 2 时,便有,取 4 2 =,则当820x,即21x时, 2 4x, 故04lim 2 2 = x x . (5)因为 0 00 0 2 sin 2 sin2coscosxx xxxx xx + =. 从而对任给正数,只要取=,当 0 0 xx时,就有 0 coscosxx. 0 coscoslim 0 xx xx = 故 0 coscoslim 0 xx xx = . 2、参照定义 2 正面陈述Axf xx )(lim 0 . 解:设函数f在点 0 x的某空心邻域),( 0 0 xU内有定义,A是一个确定的常数.若存在某个 正数 0 ,使得对任意的正数,总存在 x ,满足 0 0 xx,且 0 )(Axf 则称当 0 xx 时)(xf不以A为极限,记为Axf xx )(lim 0 . 3、 证明: )(lim)(lim 0 0 0 hxfxf hxx += . 证明: 设Axf xx = )(lim 0 ,则对任给正数,存在正数,当 0 0 xx时, 有 Axf)(.从而当 h0时,有+ 00 )(0 xhx,于是+Ahxf)( 0 , 故Ahxf h =+ )(lim 0 0 . 反之,设Ahxf h =+ )(lim 0 0 ,则对任给正数,存在正数,当 h0时, 有+Ahxf)( 0 .从而当 0 0 xx时, 0 xxh=满足 h0, 从而= Axf)(+Ahxf)( 0 故Axf xx = )(lim 0 . 4、 证明Axf xx = )(lim 0 ,则Axf xx = )(lim 0 .但反之不真. 证: 设Axf xx = )(lim 0 ,则对任给正数,存在正数,当 0 0 xx时, 有 Axf)(.因此当 0 0 xx时, 有AxfAxf)()( 故Axf xx = )(lim 0 . 但逆命题不真. 如对 = 0,1 0,0 0, 1 )( x x x xf,有 = = 0,0 0, 1 )( x x xf 且1)(lim 0 = xf xx ,但)(lim 0 xf xx 不存在. 5、 证明定理 3.1 定理 3.1 Axf xx = )(lim 0 的充分必要条件是)(lim)(lim 00 xfxf xxxx + =A=. 证: 必要性 设Axf xx = )(lim 0 ,则对任给正数,存在正数,当 0 0 xx时, 有 Axf)(. 因此,当 0 0 xx时,有 Axf)(.故Axf xx = + )(lim 0 当xx00时,有 Axf)(.故Axf xx = )(lim 0 . 充分性 设Axfxf xxxx = + )(lim)(lim 00 ,则对任给正数,分别存在正数 1 和 2 , 使得当 0 0 xx或xx00时,都有 Axf)(. 现 取,min 21 =, 当 0 0 xx时 , 有 100 0xxxx, 或 200 0xxxx 因而由(1)知x时, 1)(= x x xf,故1)(lim 0 = + xf xx . 当0 x时, )(xxf=0=,故0)(lim 0 = + xf xx . 当01,使得当Mx 时,有 2 )( Axf. 当 x0时,有 2 ) 1 ( B x f. 令 1 ,min M =,则当 1 , 从而由(1)知 2 ) 1 ( A x f. 于是当 x0时,由(2)与(3)知,使得 0 x的空心邻域),( 0 0 xU内不含这样的