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数学分析中的上下极限 1 引言 上下极限是数学分析中的难点,它是后续课程实变函数论、泛函分析、拓扑 学的基础。 我在刚开始自学实变函数论时， 对于集合的上下极限无法理解， 然后， 就去看了数学分析中的上下极限， 打下一个基础， 才慢慢掌握了集合的上下极限， 再后面几章节都碰到了上下极限的符号， 我渐渐地适应了。作为一个自考生毕业 后，有一些人还想考研，考研就必须考数学分析，有时会出现上下极限的题目， 好多人因为复习时没有注重上下极限的复习，往往在考场上不知所以然。我写这 个论题上下极限， 一个主要目的就是帮助自考生毕业考研时， 能有一个解题思路， 同时对分析也是一个自我的提升。 本论题从上下极限的定义性质出发， 讲述了考研中出现的一些上下极限的运 算和证明题。另外还有一些很深刻的结论，不是一步就写完，而是把深刻的结论 分化成几个相对比较简单的题目来证明，最后得到深刻的结论。 本论题以北大数学分析习题集和历年考研题为例题，并对个别习题，作了拓 广，得到比原题更深的结果，同时也对一些性质作了证明。除了引用了泛函分析 中的一个稠密性的定义以外，内容全是数学分析的范围。 数学分析中的上下极限 2 1.1 上下极限的定义和性质 定义 1an是一列实数， 它的所有收敛的子列的极限值中最小 （最大） 值称为an 的下极限（上极限） ，记着 an n lim + （ an n lim + ）. 性质 1 任何实数列an的上下极限必存在，并且 aaaamnnn mn n n + + + =,min 1limlim lim ， aaaa mnnn mn n n + + + =,max 1limlimlim . 性质 2 an为收敛数列充要条件是 an n lim + = an n lim + . 性质 3 an为收敛数列，在下面两式右边有确定意义，有 ,)( lim lim lim n n n n nn n baba + + + +=+ .)( limlimlim n n n n nn n baba + + + +=+ 性质 4 设an和bn都是数列，在下面的左式有确定的意义时，有 ),( limlimlim nn n n n n n baba+ + ).( limlimlim nn n n n n n baba+ + 性质 5 设an和bn都是数列，在下面的不等式中中间有意义时，有 )()( limlim limlim nn n n n n n nn n bababa+ + 性质 6 设an是数列，是正数，是负数，那么 an n lim + = an n lim + ， an n lim + = an n lim + ， an n lim + = an n lim + ， an n lim + = an n lim + . 数学分析中的上下极限 3 1.2 数列的上下乘法极限性质证明 命题 1.设 n a和 n b都是正实数，且左边有意义，则 nn n n n n n baba + limlimlim nn n n n n n baba + limlimlim 证：仅对上极限证明, 令,limxan n = + ,limybn n = + 如果 x,y 中有一个是,+另一个不是 0，从而 xy=+， nn n n n n n baba + limlimlim成立.如果 x,y 中有一个是 0，另一个不是,+设 x=0,y 不是,+ n b有界，0 nn ba， nn n n n n n baba + limlimlim成立的. 现在只要证明 x,y 既不是无穷也不是 0 的情况，任取 nn ba的收敛子序列 ba nn kk , 于是又可取, 21 nn的子列 nki（i=1,2,3， .） 使得 ba nn kiki , 都收敛，从而.lim,limy n x n ba i k i k ii + 所以 .limlimlimlimlimlim n n n niiik bayx nnnnnn bababa i k i k i k i kkk + = = 则 nn n n n n n baba + limlimlim 命题 2.设 n a和 n b都是正实数，且中间有意义，则 nn n n n n n nn n bababa + + limlimlimlim 证：只证明右边，令 ,limxan n = + ,limybn n = + 如果 x,y 中有一个是 0，另一个不是 +，从而 xy=0， nn n n n n n baba + + limlimlim.如果 x,y 中有一个是 0，另一个不 是,+设 x=0,y 不是,+ n b有界，0 nn ba， nn n n n n n baba + + limlimlim成 立的.现在只要证明 x,y 既不是无穷也不是 0 的情况，取 nn ba的收敛子序列 ba nn kk , 于是又可取, 21 nn的子列 nki（i=1,2,3， .） 使得 ba nn kiki , 都收敛，且.limy n b i k i = + 所以 数学分析中的上下极限 4 .limlimlimlimlimlimlim n n n n iiiik baxyy nnnnnnn abababa i k i k i k i k i kkk + + + = = nn n n n n n baba + + limlimlim 由命题 1 的方法同样可以证明第一节性质 3,4,5,6. 例 1.设1 1 limlim0= + n n n n n x xx并且，求证： n n x + lim存在. （北大数学分析习题集 116 页 9.8.3） 1=1 1 limlim 1 limlim 1 lim= + + n n n n n n n n n n nx x x x x x n n n n n n n nx x x x 1 limlim 1 limlim + + = n n x + lim存在 例 2.设 n x0,0a.求证： （1）axn n = + lim的充要条件是 22 limaxn n = + ； （2） axn n = + lim 的充要条件是 22 limaxn n = + . （北大数学分析习题集 116 页 9.8.11） 证明（1）)(i)由命题 1， 22 )lim(lim n n n n xx + 当a=0 或+，显然成立的，取 n x有界且, 0a取 n x的收敛子序列 k n x, 于 是 又 可 取, 21 nn的 子 列 nki （ i=1,2,3 ， . ） 使 得 2 n x ik 收 敛 ， 22 )lim()lim( xx nn i kk ik+ = 22 limlim n ni x n x i k+ 22 )lim(lim n n n n xx + = 22 limaxn n = + )( 22 )lim(lim n n n n xx + =， 22 limaxn n = + 22 )lim(axn n = + axn n = + lim. (2)证法与（1）相同. 数学分析中的上下极限 5 1.3 数列的上下极限运算 例 1.设an和bn都是有界数列，且 baa nnn =+ + 2 1 ，若 bn n lim + 存在，求 证： an n lim + 也存在。 （北大 2009 年数学分析） 证一: ab abab a n n n n n n n n nn n n n 1 11 limlim limlimlimlim 2 1 2 1 2222 + + + + + + + + = += =, ab abab a n n n n n n n n nn n n n 1 11 limlim limlimlimlim 2 1 2 1 2222 + + + + + + + + = += =, 两式相减得， aaaaaa n n n n n n n n n n n n lim lim lim lim lim lim 11 2 + + + + + = ， .0 lim lim lim limaaaa n n n n n n n n+ = 证二： () () aa aaaa bbaaaaaa n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n n n n n n n lim lim lim lim lim lim limlimlim lim lim lim 22 222 11 111 + + + + + + + + + + + + + = += =+=+ 例 2.设an和bn都是数列，且 baannn =+ 2 1 ，若 bn n lim + 存在有界，求证： an n lim + 也存在。 分析： 此题与例 1 基本相同， 但是有一个不同的地方就是条件弱化了， 要证明an 是有界的. 证明： + + += 有界 aa abbbabbabab a n nn nnnnnnnnn n M). 2 1 2 1 2 ) 222 () 22 ( 2 1 22222 1 2 1 1 1 2 2 12111 后面的证明与例 1 相同。 数学分析中的上下极限 6 1.4N语言上下极限 定义 1 上极限 M= n n a + lim，(1)+MaNnN n 时，恒有当0, 0. (2)+MaNnN n 时，有, 0, 0 下极限 m= n n a + lim ,(1)maNnN n 时，恒有当0, 0 (2)maNnN n 时，有, 0, 0 例 1 证明：若 n a0,（n=1,2,),则 a a a n n n n n n 1 limlim + + .(同济大学数学分析试 卷） 证： 令 x= a a n n n 1 lim + + ,若 x=+,显然成立， 只要证明+时，当NjN, 0有. 1 +N,j=N,N+1,n-1,得 + + + Nn n n N N N N x a a a a a a )( 11 21 +N,nN,恒有+N,+N,nN,有N，0，证明： （i）,lim 11 e a aa n n n n + + + (ii)上式中的 e 为最佳常数.(大学生数学竞赛题） 证： （1）反证法，假设,lim 11 e a aa n n n n + + + 那么 数学分析中的上下极限 7 , 1lim) 1 1 (lim 11 1111 =N，,Nn , 1) 1 1 ( 11 nN 时，有, 11 , 11 1111 + + + + + m a m a m a n a n a n a mmnn 将上式各式相加得到现固定 n N ,令 m,则右边无界，这与固定 n, n an 有界 矛盾. (ii）令, 0 1 =a), 3 , 2(=nnan,则 +nlim n n n ) 1 ( + = +nlim n n n ) 1 ( + = +n lim (1+ n +1 )= +1 e, 由于0取任意性，得知 01+ e=e 是最佳常数. 命题 1 设 n a为有界数列，(i)M 为 n a的上极限，则,Mx数列 n a大于 x 的项至多有限多个；,My令,Mx=M 是数列的上极限， ,0, 0 xMaNnN n =+时，恒有当故 n a中只有至多有限多个. ,MyMaNnN n 时，有, 0, 0=y,数列 n a中大 于 y 的项有无限多个. 下面对第一节性质 2 进行证明 an为收敛数列充要条件是 an n lim + = an n lim + . 证明： （1） 当an为收敛数列时， 任一序列 ank 使 n nk a n a k + = limlim， 因此，an 的子序列只能有一个， an n lim + = an n lim + = n n a + lim. (2)如果 an n lim + = an n lim + ,可取an的子列 ank 使得 n nk a n a k + = limlim.如 数学分析中的上下极限 8 果 an n lim + =,则 n n a + lim=.如果 an n lim + =c(c 为有限或正无穷大） 下证 n n a + lim=c,反证法，如果an为不收敛， （i)an 有界， 0 0,an中有 无限多项不属于（c- 0 ,c+ 0 ),那么an有一子序列 ank ，其中每一项都小于 或等于 c- 0 .否则的话，an中有一子序列，每一项都大于或等于 c+ 0 ，这个 子序列中有一个子序列收敛于小或等于 c+ 0 的数，是矛盾的，于是 ank 中有一 个子序列收敛于小于或等于 c- 0 的数， 从而 0 -c lim + an n ， 与 an n lim + = an n lim + 矛盾.(ii） an 无界， an中有无限多项小于 N， ,那么an有一子序列 ank ， 其中每一项都小于 N,于是 ank 中有一个子序列收敛于小于 N 的数， an n lim + 小于 N，这与 an n lim + = an n lim + 矛盾. 数学分析中的上下极限 9 1.5 数列上下极限的一个性质 命题 1.设数列an有界,且, 0)(lim 1 = + + nn n aa令 m= n n a + lim,M= n n a + lim. 证明：,)( | k Mmkx n aRx = + .(北大数学分析习题集118页习题9.6） 如果删去, 0)(lim 1 = + + nn n aa结论如何？ 证： （i)m=M,Mman n = + lim,Mmkx n aRx = + )( | k . (ii)mxaNkN k n 由, 0)(lim 1 = + + nn n aa , 0 1 N , 11 +nn aaNn 取 10 ,maxNNN=,则, , 2, 1 +nn aa中必有两项an， , an 使得, 0 x an 否则如果, 0 x an , 0 x an 无大于a的项， 0 limxan n + , 矛盾.现设, nn 那么，n 摇摆向n 靠近时，则在 0 x an 的最小序数 * n， 0 * x an ,., 0, * 10 00 01 +aaxaxannnn NnN，则 下面只要证明 n ax是 0 的聚点，取; 1),1(, 1, 1 .011 11 =x n n n N aa 使 再; 2 1 ),(, 2 1 01211 22 =x n nn n nN aa 使，这得到 一个子数列a k n ,满 足 k x n a k 1 0 ， 在an中的子列 0 x a k n . 所以Sx 0 的充要条件是 0 x的任意邻域中an的无限多项。现设, 0 Sy即 0 y是 S 的极限点， 则 0 y的任意邻域),( 0 y中有数 y,从而),( 0 y是 y 邻域.因此),( 0 y中 有an无限多项，所以, 0 Sy那么 S 是闭集. 例 1.设 S= =Nnnan|sin 2 1 ，求 S 的导集 S. 解:)( 2 1 ) 1 ( 2 1 1 ) 1 1 () 1( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 +=+=+=+nnn nn n n nn ()() + +=+= + 2/1sin2/1cos2sin) 1sin( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 nnnnnnxx nn ()(0 ) 1(2 1 sin2/1cos2 2 1 2 1 2 1 2 1 + + +=n nn nn 由命题 1，得出 S=m,M,m= n n a + lim,M= n n a lim + . 因为) 14/(2 , 2 1 +knZkNn在 R 上是稠密的，)(, 2 2 2 1 +nZkkn , M=1,同理，m=-1,S=-1,1. 定义 1 设 A,B 为是数集，B 在 A 中稠密，是指对任意的0，有 A 中任意点 a的任意邻域),(a含有 B 中的点.由此可见AB. 命题 3.设数列an有界,且, 0)(lim 1 = + + nn n aa令 m= n n a + lim,M= n n a lim + .求 证:,)( | k Mmkx n S aRx = += . 证明： （i）m=M,S 是一点，显然成立. (ii）mcd 12 ,使 得, 2 +Md n a ,( 1 cm n a . 2 n摇摆向 1 n靠近时，在 a kn+ 2 的序数使得 , 1 d n a k + 于是存在Nk 0 ,使得cd aa knkn +1 0101 ,故，cd aa knkn +1 0101 ， 其中,1 101 Nnkn+得出了与., 1 矛盾Nncdaa nn 证毕. 由此可知 S 是在（m,M)中稠密，即 S 是m,M中稠密，Mms,，S 是闭集， MmSS,=,由题意MmS,所以 S=m,M. 命题 4.设数列an有界,且 , 0 )(lim 1 = + + nn n aa令 m= n n a + lim,M= n n a lim + .求 证:,)( | k Mmkx n S aRx = += . 证明：与命题 3 相同方法. 对于命题 1 和命题 3，为了方便讨论，我们假定数列an有界，如果无界，我 们取 M=+或 m=,同理可得出证明. 数学分析中的上下极限 12 1.6 数列nsin的上下极限 北大数学分析习题集120 页 9.13 习题 （1）设 q 为正无理数，n 为任一自然数，可分解, nn rqmn+=其中 n m为自然数 或零，0 n rq,求证：存在自然数子列 k n使得. 0, lim =+= + rrm nn q n n kkk k k 其中 （2）求证：单位圆上1 22 =+yx上每一点是复数列 in e聚点. (3)求证：1 , 1的每一点是数列nsin的聚点. 证明： （1）对任意的 k,Nk,Q,Rkq则 kq 必在两相邻整数之间， )( , 1Nkikqi kk +，从而. 10 k ikq 现设) 1 , 0( k x，,Nk对（0,1）中的1+k个点， xx nn xx kk1 , 21 + 中存在 两点 xx kk 21, ，可知, 1 0 21kkk xx 因为假设结论是不成立的，则每两点的距离 大于, 1 0 k 那么这1 0+ k个点大于或等于 1，这与 0 k+1 个点在（0,1)中矛盾. , 0)()( 1212 i 12 = ikkxx kk q kk 令 ii kk nk 12 0 =， ) 1 2 0 ( x x r k k nk = ，() 12 0 kk n m k =， 0 1 0 0k n r k ， 当+ 0 k，0 0 rnk .即存在自然数子列 k n使得 . 0, lim =+= + rrm nn q n n kkk k k 其中 (2)设单位圆上1 22 =+yx上每一点 i e,要证明 i e是 in e的聚点.由(1)可 , nn rqmn+=,取)2 , 0( rn ,. 1 )2( 00 = + eee rmnn iiin 记 0 2+= rm nn l， 那么 （1) 得存在 k,使得. 0, lim =+= + rrm ll q l l kkk k 其中01lim 2 = + + rm e kl k l i k 故单位圆上1 22 =+yx上每一点是复数列 in e聚点. （3)sincosi+是 cosn+isinn 的聚点， 0)sin(cos)sin(coslim=+ + nini kk k 得到 数学分析中的上下极限 13 0)sin(sinlim= + n k k ,所以sin是sinn的聚点.1 , 1是数列nsin的聚点. 显然. 1sinlim, 1sinlim= + + nn n n 顺便说一下sin 2 1 n=-1,1,sin 2 1 n的子列sink，sink=-1,1,故 1 , 1sin 2 1 n,又 1 , 1sin 2 1 n故 1 , 1sin 2 1 =n. 数列nsin的聚点是1 , 1，但是 2 1 sin 2 12 cos2sin) 1sin( + =+ n nn,上下极 限为 2 1 sin2, 2 1 sin2，都不等于 0， 回顾上一节的命题 3,4 用不着.我们来猜想 一下这个命题. 设 数列 an 有 界 ,且 存在 子 列 a k n ，0)(lim 1 = + aa nn kk k 使 得令 m= n n a + lim,M= n n a lim + .求证:,)( | k Mmkx n S aRx = += . 证明：与上一节命题 3 思路一样. 数学分析中的上下极限 14 1.7 上下极限的等价表达 引理 1 设 n a是一实数列，那么 ;,maxlimsup 10m m n n aaaa + =,minliminf 10m m n n aaaa + = 证明：只对上确界证明，令 X=,sup n n a,max 1mm aab=. m b是单调增加数列， 所以它是有极限的.(1)X=+, n a中必有子列 k n a，使得 k n a+，由于 a y n n k k ，+ yn k ，则结论成立.(2)X必存在an 0 ,使得, 0 X n a 所以当 m n,-X ym 令 0，,limXym n + 故.limXym n = + 证毕. 显然有 n n n n n n n n aaaasuplimliminf + + 第一节命题 1 任何实数列an的上下极限必存在，并且 ;,min 1limlim limaaaa mnnn mn n n + + + = aaaa mnnn mn n n + + + =,max 1limlimlim . 证 明 : 只 说 明 上 极 限 . 首 先 要 证 明 右 边 的 二 重 极 限 的 确 存 在,() nmnmn aa + =,maxX , ，固定 n 时，数列, 2 , 1| , =mX mn 是单调增，必有极 限， k nk mn m n aXX + =suplim , ,由于集,1|+nkanka kk 所以前者的上确界 大于或等于后者的上确界，所以 n X又是单调减,极限存在，故 X= n n X + lim， 即 X= aaa mnnn mn + + ,max 1limlim . 其次是证明 X 是实数列an某个子列的极限.(1)an有上界，由于 nkNnaX nn nk n = ,sup使得. 1 nnn Xa n X k 在kn选取子列k i n k k nn 21 ，使得. 1 nnn Xa n X i k 在kn选取子列k i n ，0 时，f(x)在（a,b)上严格单调增. 只要说明 f(x)在(a,b)上单调不减就行了，因为如果有 , 21 ba xx 0 矛盾.反证 f(x)在(a,b)上任意点的 邻域),(上严格单调减，, 21 0,F(x)在（a,b)上严格 单调增，)()(, 2121xxxx FFba，即 )()()()(,